高中数学选修2-3教学课件：计数原理2

高中数学选修2-3教学课件：计数原理2

分类加法计数原理与分步乘法计数原理 2 分类计数原理 : 完成一件事 , 有 n 类方式 , 在第 1 类方式中有 m 1 种不同的方法 , 在第 2 类方式中有 m 2 种不同的方法 , … , 在第 n 类方式中有 m n 种不同的方法 , 那么完成这件事共有 N=m 1 +m 2 + … +m n 种不同的方法 分步计数原理 : 完成一件事 , 需要分成 n 个步骤 , 做第一步有 m 1 种不同的方法 , 做第 2 步有 m 2 种不同的方法 , … , 做第 n 步有 m n 种不同的方法 , 那么完成这件事共有 N=m 1 ×m 2 × … ×m n 种不同的方法 分类加法计数原理是一次性能够完成任务 , 各种方法之间没有顺序 ; 而分布乘法计数原理 是不能一次性能够完成任务 , 需要分多步才能完成 , 各步之间是有顺序的 . 巩固复习 1. 两个计数原理 : 2. 两者的区别 : 典例分析 : 例 1 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有 0 或 1 两种数字的记数法，即二进制。为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 8 个二进制位构成。问： （ 1 ）一个字节（ 8 位）最多可以表示多少个不同的字符？ （ 2 ）计算机汉字国标码（ GB 码）包含了 6763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 例 2 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试 . 程序员需要知道到底有多少条执行路径 ( 即程序从开始到结束的路线 ), 以便知道需要提供多少个测试数据 . 一般地 , 一个程序模块由许多字模块组成 . 如图 , 它是一个具有许多执行路径的程序模块 . 问 : 这个程序模块有多少条执行路径 ? 另外 , 为了减少测试时间 , 程序员需要设法减少测试次数 . 你能帮助程序员设计一个测试方法 , 以减少测试次数吗 ? 开始 字模块 1 字模块 2 字模块 3 18 条执行路径 45 条执行路径 28 条执行路径 字模块 4 字 模块 5 38 条执行路径 43 条执行路径 结束 例 3 随着人们生活水平的提高 , 某城市家庭汽车拥有量迅速增长 , 汽车牌照号码需要扩容 . 交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法 , 每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字 , 并且 3 个字母必须合成一组出现 ,3 个数字也必须合成一组出现 . 那么这种办法共能给多少两汽车上牌照 ? 排数字问题 例 4 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字 , (1) 可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数 ? (2) 可以组成多少个各位数字不重复的小于 1000 的自然数 ? (3) 可以组成多少个大于 3000, 小于 5421 且各位数字不允许重复的四位数 ? 升华发展 变式 : 1. 将数字 1,2,3,4, 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里 , 每格填一个数字 , 则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有 _____ 种 2. 自然数 2520 有多少个正约数？ 映射个数问题 : 例 5 设 A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z}, 从 A 到 B 共有多少种不同的映射 ? 变式 : (1)6 个人分到 3 个车间 , 共有多少种分发 ? (2)6 个人分工栽 3 棵树 , 每人只栽 1 棵 , 共有多少种不同方案 ? 染色问题 : 例 6 有 n 种不同颜色为下列两块广告牌着色 , 要求在 ①② ③ ④ 四个区域中相邻 ( 有公共边界 ) 区域中不用同一种颜色 . (1) 若 n=6, 为 (1) 着色时共有多少种方法 ? (2) 若为 (2) 着色时共有 120 种不同方法 , 求 n ① ③ ① ④ ③ ④ ② ② (1) (2) 综合问题 : 例７ 若直线方程 ax+by=0 中的 a,b 可以从 0,1,2,3,4 这五个数字中任取两个不同的数字 , 则方程所表示的不同的直线共有多少条 ? 1 、要从甲、乙、丙三名工人中选出两名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ 2 、某艺术组有 9 人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中 7 人会钢琴， 3 人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各一人，有多少种不同的选法？ 3 、用红、黄、蓝不同颜色的旗各三面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成多少种不同的信号？ 三．课堂练习： 4 、（ 1 ） 8 张卡片上写着 0,1,2, … ,7 共 8 个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？ （ 2 ） 4 张卡片的正、反面分别写有 0 与 1 、 2 与 3 、 4 与 5 、 6 与 7 ，将其中的 3 张卡片排放在一起，共有多少个不同的三位数？ 5 、书架上原来并排放着 5 本不同的书，现要插入三本不同的书，那么不同的插法有多少种？ 四 . 课堂小节 用两个计数原理解决计数问题时 , 最重要的是开始计算之前要进行分析 —— 需要分类还是分步 . 分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法原理求和，得到总数。 分步要做到“步骤完整” —— 完成了所有的步骤，恰好完成任务，步与步之间要相互独立。分步后再计算每一步的方法数，最后根据分布乘法计数原理，把完成每一步的方法相乘，得到总数。 五、作业 1 、同步作业本 2 、课本 P12 A 、 B 两组。 再见 good bye