2018-2019学年四川省三台中学实验学校高二3月月考数学（文)试题 解析版

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绝密★启用前 四川省三台中学实验学校高二3月月考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．如果函数在区间上的平均变化率为,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据平均变化率的定义，可知 故选 ‎2．下面三段话可组成 “三段论”，则“小前提”是(　　)‎ ‎①因为对数函数是增函数；② 所以是增函数；③而是对数函数．‎ A．① B．② C．①② D．③‎ ‎【答案】D ‎【解析】三段话写成三段论是： 大前提：因为对数函数是增函数， 小前提：而是对数函数， 结论：所以是增函数，故选D.‎ ‎3．已知函数在内可导，设，函数在处取得极值.则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由导数为0的点不一定是极值点，但极值点处的导数为0，结合充要条件的判定方法，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，对于函数在内可导，导数为0的点不一定是极值点，但极值点一定是导数为0的点，所以命题推不出命题，命题推出命题，‎ 所以是的必要不充分条件，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数极值点与导数的关系，其中解答中熟记导数与极值点的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4．已知命题，，则是（ ）．‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据含量词的命题的否定的方法求解即可．‎ 详解：由题意得，命题“，”的否定是，．‎ 故选．‎ 点睛：对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．‎ ‎5．若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求解选项中函数的导数，根据函数的奇偶性定义，进行判定，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意函数的导函数的关于轴对称，则导函数为偶函数，‎ 对于A中，函数，其中，‎ 所以为奇函数，不符合题意；‎ 对于B中，函数，其中函数是非奇非偶函数，不符合题意；‎ 对于C中，函数，其中，‎ 所以为偶函数，图象关于轴对称，符合题意；‎ 对于D中，函数，其中是非奇非偶函数，不符合题意.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的运算法则，以及函数的奇偶性的判定及应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎6．已知曲线在处的切线垂直于直线，则实数的值为（ ）‎ A． B． C．10 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的导数，则在点 处的切线斜率 直线的斜率 ∵直线和切线垂直， .‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查函数的切线斜率的计算，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．‎ ‎7．下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A．命题“若，则”的否命题为：“若则”‎ B．若为真命题，为假命题，则均为假命题 C．命题“若成等比数列，则”的逆命题为真命题 D．命题“若，则”的逆否命题为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别写出命题的否命题，可判定A不正确；根据复合命题的真假判定，可判定B不正确；根据等比数列的定义，即可判定C不正确；根据四种命题的关系，可判定D正确，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 对于A中，命题“若，则”的否命题为：“若则”，所以不正确；‎ 对于B中，由为真命题，为假命题，则为真命题，均为假命题，所以不正确；‎ 对于C中，命题“若成等比数列，则”的逆命题为“若，则成等比数列”为假命题，所以不正确；‎ 对于D中，命题“若，则”为真命题，所以命题的逆否命题也是真命题，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的真假判定及应用为载体考查了四种命题的概念，及其四种命题的真假关系，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）‎ A．在区间上是增函数 B．当时，取极大值 C．当时，取得极大值 D．在上是增函数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导函数的图象与原函数的单调性与极值之间的关系，逐项判定，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由导函数的图象可得，‎ 当时，，函数单调递减，所以A不正确；‎ 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以是函数的极小值点，为极小值，所以B不正确；‎ 当时，函数没有取到极值，函数值为零，所以C不正确；‎ 当时，，函数单调递增，所以D正确，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导函数的图象与原函数的单调性与极值之间的关系，着重考查了，数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求得函数的单调性，求得其最小值，把不等式恒成立，转化为恒成立，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 令，即，解得或，‎ 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得极小值，也是最小值，‎ 因为不等式恒成立，即恒成立，‎ 解得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数判定函数的单调性与求解最值，以及函数的恒成立问题的求解，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10．若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，把曲线存在垂直于轴的切线，转化为在上有实数解，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 由曲线存在垂直于轴的切线，‎ 可得在上有实数解，‎ 即在上有实数解，即在上有实数解，‎ 设，当且仅当时，即等号成立，‎ 所以，即实数的取值范围是，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及利用基本不等式求最值问题的应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎11．直线分别与曲线，交于，则的最小值为（ ）‎ A． B. C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设A（，a），B（，a），则，‎ ‎∴，‎ ‎∴|AB|= = ，‎ 令，则，‎ ‎∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴x=1时，函数的最小值为，‎ 考点：函数的最值及其几何意义 ‎12．函数的导函数，对任意，都有成立，若，则满足不等式的的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求得，则函数为单调递增函数，把不等式，转化为，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，对任意，都有成立，即，‎ 令，则，‎ 所以函数为单调递增函数，‎ 又因为不等式，即，‎ 因为，所以，所以不等式的解集为，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数点运算，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中根据选项及已知条件合理构造新函数，利用导数判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知，则_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的运算法则，求得，代入即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的运算，其中熟记导数的运算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎14．若函数在上为增函数，则实数的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要使得函数在上为增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 要使得函数在上为增函数，则在上恒成立，‎ 即在上恒成立，又由的最小值为0，所以，‎ 即实数的取值范围上.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数的单调性求解参数，其中解答中熟记导函数与原函数的单调性的关系，合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；‎ 乙说：我没去过城市.‎ 丙说：我们三个去过同一城市.‎ 由此可判断乙去过的城市为__________‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A 考点：进行简单的合情推理 ‎16．已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎，令函数有两个极值点，则在区间上有两个实数根，，当时，，则函数在区间单调递增，因此在区间上不可能有两个实数根，应舍去，当时，令，解得，令，解得，此时函数单调递增，令，解得，此时函数单调递减，当时，函数取得极大值，当近于与近于时，，要使在区间有两个实数根，则，解得实数的取值范围是，故答案为.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题：关于的方程有实根；命题：关于的函数在上是增函数，若且是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题是真命题等价于或；命题是真命题等价于，两种情况求并集即可.‎ ‎【详解】‎ 若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；‎ 若命题q是真命题，则－≤3，即a≥－12.‎ 因为p∨q是真命题，所以a∈R，‎ 即a的取值范围是(－∞，＋∞)．故答案为(－∞，＋∞).‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查根据或命题的真假求参数，考查了一元二次方程根与系数之间的关系以及利用函数单调性求参数，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围 ‎18．已知时，函数有极值.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若方程恰有个实数根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导数，根据当时，的极值为，列出方程组，即可求解；‎ ‎（2）由（1）可得，求得，得到函数的单调性和极值，结合图象，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以．‎ 又因为当时，的极值为，所以，‎ 解得 .‎ ‎（2）由（1）可得，则，‎ 令，得x＝±1，‎ 当或时，单调递增，‎ 当时，，单调递减；‎ 所以当时取得极大值，，‎ 当时取得极小值，，‎ 大致图象如图所示：‎ 要使方程恰有1个解，只需或．‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.‎ ‎19．已知函数．‎ ‎（1）当时，证明：；‎ ‎（2）若对于，恒有成立，试求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.（2）求得函数的导数，得到函数的单调性，得到当时，函数取得最小值，，即可得出，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意，当时，由，即，‎ 即，‎ 设则 故当时，单调递增；当时，单调递减 所以 故 . ‎ ‎（2）由题意，可得，‎ 由解得；由解得．‎ ‎∴在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎∴当时，函数取得最小值，． ‎ ‎∵对于都有成立，∴即可．‎ 则．由解得．‎ ‎∴的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎20．某个体户计划经销两种商品，据调查统计，当投资额为 万元时，在经销商品中所获得的收益分别为万元与万元，其中，．已知投资额为零时收益为零．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）如果该个体户准备投入万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．‎ ‎【答案】（1）a＝2，b＝1；（2）答案见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用已知条件通过f(0)=0，g(0)＝0即可得出a、b的值。‎ ‎(2)设投入B商品的资金为x万元(0＜x≤5) 则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，‎ 设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10，(0＜x≤5)通过函数的导数，求出函数的最值即可。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由投资额为零时收益为零，‎ 可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，‎ 解得a＝2，b＝1.‎ ‎(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln (x＋1)．‎ 设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，‎ 则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，‎ 设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．‎ S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.‎ 当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；‎ 当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．‎ 所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．‎ 所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考察利用导数解决实际问题，在实际问题中一定要注意构造的函数其定义域。例如涉及“人”，其定义域要为非负整数。‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，若函数在上的最小值是，求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得，分类讨论，即可求解函数的单调性；‎ ‎（2）当时，由（1）知在上单调递增，分和两种情况讨论，求得函数的最小值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）定义域为,求得,‎ 当时，，故在单调递增 , ‎ 当时，令，得 ，所以当时，，单调递减 ‎ 当时，，单调递增.‎ ‎（2）当时，由（1）知在上单调递增，所以 （舍去）,‎ 当时，由（1）知在单调递减，在单调递增 所以，解得 （舍去）,‎ 当时，由（1）知在单调递减，‎ 所以，解得 ,‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中熟记函数的导数与函数的关系，准确判定函数的单调性，求得函数的最值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎22．已知函数，．‎ 若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；‎ 若函数在区间上为单调递减函数，求实数a的取值范围；‎ 设m，n为正实数，且，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，得到函数的极值点，解得，求出切线的斜率为，切点为，然后利用点斜式求解切线方程；由知，利用函数在区间上为单调递减函数，得到在区间上恒成立，推出，设，，，利用基本不等式，再求出函数的最大值，可得实数的取值范围；利用分析法证明，要证，只需证 ，设，，利用导数研究函数的单调性，可得,从而可得结论．‎ ‎【详解】‎ ‎，．‎ ‎ ‎ 是函数的极值点，，解得，‎ 经检验，当时，是函数的极小值点，符合题意 此时切线的斜率为，切点为，‎ 则所求切线的方程为 由知 因为函数在区间上为单调递减函数，‎ 所以不等式在区间上恒成立 即在区间上恒成立，‎ 当时，由可得，‎ 设，，，‎ 当且仅当时，即时，，‎ 又因为函数在区间上为单调递减，在区间上为单调递增，‎ 且，，‎ 所以当时，恒成立，‎ 即，也即 则所求实数a的取值范围是 ‎，n为正实数，且，要证，只需证 即证只需证 ‎ 设，，‎ 则在上恒成立，‎ 即函数在上是单调递增，‎ 又，，即成立，‎ 也即成立.‎ ‎【点睛】‎ 导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围绕性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质．‎