2018-2019学年山西省祁县中学高二上学期期末模拟二考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年山西省祁县中学高二上学期期末模拟二考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 山西省祁县中学2018-2019学年高二上学期期末模拟二考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线的方程可得斜率，由倾斜角和斜率的关系可得倾斜角．‎ ‎【详解】‎ 直线x+y﹣3＝0可化为yx+3，‎ ‎∴直线的斜率为，‎ 设倾斜角为α，则tanα，‎ 又∵0≤α＜π，‎ ‎∴α，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角，涉及倾斜角和斜率的关系，属于基础题．‎ ‎2．命题“对任意，都有”的否定为（ ）‎ A．存在，都有 B．对任意，使得 C．存在，使得 D．不存在，使得 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．‎ ‎【详解】‎ 因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为：存在x0∈R，使得x02＜0．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．‎ ‎3．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆柱的侧面积公式，计算即可．‎ ‎【详解】‎ 圆柱的底面半径为r＝1，母线长为l＝2，‎ 则它的侧面积为S侧＝2πrl＝2π×1×2＝4π．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．‎ ‎4．设l，m，n表示三条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ 若，，，则；‎ 若，n是l在内的射影，，则；‎ 若，，则 其中真命题的个数为（ ）‎ A．2 B．1 C．0 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①由二面角定义可知正确；②由三垂线定理可证；③可举反例说明错误．‎ ‎【详解】‎ ‎①由二面角定义可知若m⊥l，则α⊥β正确；‎ ‎②由三垂线定理知正确；‎ ‎③正方体从同一个顶点出发的三个平面两两垂直，可知命题错误.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间的线面位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力．‎ ‎5．直线：与直线：垂直，则直线在x轴上的截距是（ ）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线l1：（a+3）x+y﹣4＝0与直线l2：x+（a﹣1）y+4＝0垂直，求出a，再求出直线l1在x轴上的截距．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线l1：（a+3）x+y+4＝0与直线l2：x+（a﹣1）y+4＝0垂直，‎ ‎∴（a+3）+a﹣1＝0，‎ ‎∴a＝﹣1，‎ ‎∴直线l1：2x+y+4＝0，‎ ‎∴直线l1在x轴上的截距是-2，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线垂直条件的运用，考查直线在x轴上的截距的定义和求法，属于基础题．‎ ‎6．已知平面及平面同一侧外的不共线三点A，B，C，则“A，B，C三点到平面的距离都相等”是“平面平面”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【详解】‎ 已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，‎ 且三点在α的同侧，则直线AB平行于α，直线BC平行于α，即平面ABC平行于α，‎ 反之根据面面平行的定义可知成立，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件，考查线面，面面关系，是一道基础题．‎ ‎7．已知是椭圆的左焦点， A为右顶点， P是椭圆上的一点， 轴，若，则该椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得（a+c），再根据b2＝a2﹣c2，即可得到4c2+3ac﹣a2＝0，两边同除以a2得：4e2+3e﹣1＝0，解得即可.‎ ‎【详解】‎ 根据椭圆几何性质可知|PF|，|AF|＝a+c，‎ 所以（a+c），‎ 即4b2＝3a2﹣3ac，‎ 因为b2＝a2﹣c2，‎ 所以有4a2﹣4c2＝3a2﹣3ac，‎ 整理可得4c2+3ac﹣a2＝0，两边同除以a2得：4e2+3e﹣1＝0，‎ 所以（4e﹣1）（e+1）＝0，‎ 由于0＜e＜1，‎ 所以e．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎8．圆上到直线的距离等于1的点有（ ）‎ A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的方程找出圆心A的坐标和半径r＝3，然后由点到直线的距离公式求出圆心A到已知直线的距离为2，由AE﹣AD＝DE，即3﹣2＝1求出DE的长，得到圆A上的点到已知直线距离等于1的点有三个，如图，点D，P及Q满足题意．‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程，得到圆心A坐标为（3，3），半径AE＝3，‎ 则圆心（3，3）到直线3x+4y﹣11＝0的距离为d2，即AD＝2，‎ ‎∴ED＝1，即圆周上E到已知直线的距离为1，同时存在P和Q也满足题意，‎ ‎∴圆上的点到直线3x+4y﹣11＝0的距离为1的点有3个．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．‎ ‎9．已知椭圆和点、‎ ‎，若椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直线的斜率为k，则k的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设出椭圆的某弦的两个端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为M（x0，y0），把P、Q的坐标代入椭圆方程，作差得到PQ的斜率与AB中点坐标的关系得答案．‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的某弦的两个端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为M（x0，y0），‎ 则，，‎ 两式作差可得：，‎ 即，‎ 由题意可知，y0≤1，‎ ‎∴k（y0≤1），则k∈[﹣4，﹣2]．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质，训练了“中点弦”问题的求解方法，属于中档题．‎ ‎10．已知椭圆内有一点，，是其左、右焦点，M为椭圆上的动点，则的最小值为（ ）‎ A．4 B． C． D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 借助于椭圆的定义把||+||转化为2a﹣（||﹣||），结合三角形中的两边之差小于第三边得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎||+||＝2a﹣（||﹣||）≥2a﹣||＝826，‎ 当且仅当M，F2，B共线时取得最小值6．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了与椭圆有关的最值的求法，考查了椭圆的定义的应用，考查了数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎11．已知函数的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，则2a-b的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数f′（x）＝3x2+4ax+3b，由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，列出约束条件，利用线性规划求解2a﹣b的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c，求导f′（x）＝3x2+4ax+3b，‎ f（x）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内，‎ 由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，‎ 即，令z＝2a﹣b，‎ ‎∴转化为在约束条件为时，求z＝2a﹣b的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），‎ 目标函数转化为z＝2a﹣b，由图可知，z在A（，0）处取得最大值，在（，0）处取得最小值，‎ 因为可行域不包含边界，∴z＝2a﹣b的取值范围（，）．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数求导法则，导数极值的综合应用，考查平面线性规划的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎12．已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（ ）（注：为自然对数的底数）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 作出函数f(x)的图象如图，‎ 当y=ax对应的直线和直线 平行时，满足两个和尚图象有两个不同的交点，当直线和函数f(x)相切时，‎ 当x>1时，函数,设切点为(m,n)，‎ 则切线斜率，‎ 则对应的切线方程为,即，‎ ‎∵直线切线方程为y=ax，‎ ‎,解得，‎ 即此时,此时直线y=ax与f(x)只有一个交点，不满足条件，‎ 若方程f(x)=ax恰有两个不同的实根时，‎ 则满足.‎ 实数的取值范围是 .‎ 本题选择C选项.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知，则等于__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的运算法则，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）＝tanx，‎ ‎∴f′（x），‎ 则f′（）4，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．‎ ‎14．如图，三棱锥中， ，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如下图，连结，取中点，连结， ，则可知 即为异面直 线，所成角（或其补角）易得，‎ ‎，，‎ ‎∴，即异面直线，所成角的余弦值为.‎ 考点：异面直线的夹角.‎ 视频 ‎15．已知函数的图象与x轴恰有两个不同公共点，则m =_______．‎ ‎【答案】0或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令x3x2﹣m＝0，化为m＝x3x2＝g（x），g′（x）＝3x2﹣3x＝3x（x﹣1），令g′（x）＝0，解得x＝0或1．利用导数可得其单调性极值，根据函数f（x）＝x3x2﹣m的图象与x轴恰有两个不同公共点，可得m．‎ ‎【详解】‎ 令x3x2﹣m＝0，化为m＝x3x2＝g（x），‎ g′（x）＝3x2﹣3x＝3x（x﹣1），‎ 令g′（x）＝0，解得x＝0或1．‎ ‎∴函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，‎ 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增．‎ g（0）＝0，g（1）．‎ ‎∴函数g（x）的大致图像如图：‎ ‎∵函数f（x）＝x3x2﹣m的图象与x轴恰有两个不同公共点，则m或0．‎ 故答案为：0或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎16．函数的图象经过四个象限的充要条件是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由得：或，结合图像可知函数的图象经过四个象限的充要条件是，即 考点：利用导数研究函数图像 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知，设命题：指数函数≠在上单调递增.命题：函数的定义域为．若“”为假，“”为真，求的取值范围．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 试题分析：化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.‎ 试题解析：由命题p，得a＞1，对于命题q，即使得x∈R，ax2－ax＋1＞0恒成立 若a＞0，△＝a2－4a＜0，即0＜a＜4‎ 若a＝0，1＞0恒成立，满足题意，所以0≤a＜4 ‎ 由题意知p与q一真一假，‎ 当p真q假时 ，所以a≥4． ‎ 当p假q真时，，即0≤a≤1． ‎ 综上可知，a的取值范围为[0，1]∪[4，＋∞)．‎ ‎18．已知直线过坐标原点，圆的方程为．‎ ‎（1）当直线的斜率为时，求与圆相交所得的弦长；‎ ‎（2）设直线与圆交于两点，且为的中点，求直线的方程．‎ ‎【答案】(1) ;(2) 直线l的方程为y=x或y=﹣x.‎ ‎【解析】试题分析：(1) 由已知，直线的方程为，圆圆心为，半径为，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理可求与圆相交所得的弦长；（2）设直线与圆交于两点，且为的中点，设 ，则 ，将点的坐标代入椭圆方程求出的坐标，即可求直线的方程.‎ 试题解析：（1）由已知，直线l的方程为y=x，圆C圆心为（0，3），半径为， ‎ 所以，圆心到直线l的距离为=．…‎ 所以，所求弦长为2=2． ‎ ‎（2） 设A（x1，y1），因为A为OB的中点，则B（2x1，2y1）．‎ 又A，B在圆C上，‎ 所以 x12+y12﹣6y1+4=0，4x12+4y12﹣12y1+4=0． ‎ 解得y1=1，x1=±1， ‎ 即A（1，1）或A（﹣1，1）‎ 所以，直线l的方程为y=x或y=﹣x．‎ ‎19．边长为2的正三角形ABC中，点D，E，G分别是边AB，AC，BC的中点，连接DE，连接AG交DE于点现将沿DE折叠至的位置，使得平面平面BCED，连接A1G，EG．‎ 证明：DE∥平面A1BC 求点B到平面A1EG的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出DE∥BC，由此能证明DE∥平面A1BC．‎ ‎（2）以F为原点，FG为x轴，FE为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面A1EG的距离．‎ ‎【详解】‎ 边长为2的正三角形ABC中，点D，E，G分别是边AB，AC，BC的中点，‎ 连接DE，连接AG交DE于点F．‎ ‎，‎ 平面，平面，‎ 平面．‎ 将沿DE折叠至的位置，使得平面平面BCED，连接，EG．‎ 以F为原点，FG为x轴，FE为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎1，，0，，，0，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量y，，‎ 则，取，得，‎ 点B到平面的距离．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明，考查利用空间向量解决点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20．是抛物线为上的一点，以S为圆心，r为半径做圆，分别交x轴于A，B两点，连结并延长SA、SB，分别交抛物线于C、D两点．‎ 求抛物线的方程．‎ 求证：直线CD的斜率为定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点（1，1）代入y2＝2px（p＞0），解得p，即可得出．‎ ‎（2）设直线SA的方程为：y﹣1＝k（x﹣1），C（x1，y1）．与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得C坐标． 由题意有SA＝SB，可得直线SB的斜率为﹣k，同理可得D坐标，再利用向量计算公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 将点代入，得，解得．‎ ‎∴抛物线方程为：．‎ 证明：设直线SA的方程为：，‎ 联立，联立得：，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 由题意有，直线SB的斜率为，‎ 设直线SB的方程为：，‎ 联立，联立得：，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎21．已知函数,．若 ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）1；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；‎ ‎（2）得到xlnxk，令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性求出k的范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)函数的定义域为，． ‎ 由，解得. ‎ ‎（2）由，整理后得．所以．‎ 令，则．显然．‎ 当时，，为减函数；当时，，为增函数．‎ 所以当时，，即的值域为． ‎ 所以使方程有实数解的的取值范围．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了方程根的问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．‎ ‎22．已知函数． ‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，证明：对任意的,．‎ ‎【答案】（Ⅰ）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。‎ ‎（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求出导函数，对参数a进行分类讨论，得出导函数的正负，判断原函数的单调性；（Ⅱ）整理不等式得ex-lnx-2＞0，构造函数h（x）=ex-lnx-2，则可知函数h'（x）在（0，+∞）单调递增，所以方程h'（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即得出函数的最小值为h(x)min＝h(x0)＝ex0−lnx0−2＝即ex﹣lnx﹣2＞0在（0，+∞）上恒成立，即原不等式成立.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 由已知得．‎ 当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．‎ 当a＞0时，由f'（x）＞0，得，由f'（x）＜0，得，‎ 所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ 综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；‎ 当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为． ‎ ‎（Ⅱ）证明：当a=1时，不等式f（x）+ex＞x2+x+2可变为ex﹣lnx﹣2＞0，令h（x）=ex﹣lnx﹣2，则，可知函数h'（x）在（0，+∞）单调递增，‎ 而， ‎ 所以方程h'（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即．‎ 当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减；‎ 当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增； 所以．‎ 即ex﹣lnx﹣2＞0在（0，+∞）上恒成立，‎ 所以对任意x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2成立．‎ 点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查了零点存在性定理，不可解的零点问题，属于中档题. ‎