数学理卷·2018届福建省漳州市高三上学期期末调研测试（2018

数学理卷·2018届福建省漳州市高三上学期期末调研测试（2018

漳州市2018届高中毕业班调研测试 数学(理科)‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.已知集合A＝，B＝{x|2x＞4}，则A∩B＝(　　)‎ A.(2，＋∞) B.(4，＋∞) C.[4，＋∞) D.[－3，2)‎ ‎2.若复数z满足z(2－i)＝1＋7i，则|z|＝(　　)‎ A. B. C.2 D.2‎ ‎3.函数f(x)＝x－2cosx在[－π，π]上的图象大致为(　　)‎ ‎　A B C D ‎4.已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a在b方向上的投影为(　　)‎ A.1 B. C. D. ‎5.等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1，公差与公比均为3，则ab1＋ab2＋ab3＝(　　)‎ A.64 B.32 C.38 D.33‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，若输入的p为16，则输出的n，S的值分别为(　　)‎ A.4，18 B.4，30 C.5，30 D.5，45‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D.6‎ ‎8.已知函数在一个周期内的图象如图所示，则＝(　　)‎ A.－ B. C. D.－ ‎9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)为减函数，则不等式f(log38)的解集为(　　)‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.在区间[0，1]上随机取三个数a，b，c，则事件“a2＋b2＋c2≤1”发生的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎11.已知直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点，l与C交于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，交于点P，则点P的轨迹方程为(　　)‎ A.x＝－1 B.x＝－2 C.y2＝4(x＋1) D.y2＝4(x＋2)‎ ‎12.已知不等式(ax＋3)ex－x＞0有且只有一个正整数解，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. ‎ C. D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知展开式中常数项为1 120，则正数a＝________.‎ ‎14.已知实数x，y满足若z＝x＋y的最大值为4，则z的最小值为________.‎ ‎15.设F为双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过F且斜率为的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，且，则双曲线C的离心率为________.‎ ‎16.数列{an}为单调递增数列，且，则t的取值范围是________.‎ 三、解答题：共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题：共60分.‎ ‎17.(12分)‎ ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(b－c)2＝a2－bc.‎ ‎(Ⅰ)求sinA；‎ ‎(Ⅱ)若a＝2，且sinB，sinA，sinC成等差数列，求△ABC的面积.‎ ‎18.(12分)‎ 随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视.为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了30名男生、20名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如下表所示：‎ 平均每天使用手机超过3小时 平均每天使用手机不超过3小时 合计 男生 ‎25‎ ‎5‎ ‎30‎ 女生 ‎9‎ ‎11‎ ‎20‎ 合计 ‎34‎ ‎16‎ ‎50‎ ‎(Ⅰ)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？‎ ‎(Ⅱ)在这20名女生中，调查小组发现共有15人使用国产手机，在这15人中，平均每天使用手机不超过3小时的共有9人.从平均每天使用手机超过3小时的女生中任意选取3人，求这3人中使用非国产手机的人数X的分布列和数学期望.‎ 参考公式：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.500‎ ‎0.400‎ ‎0.250‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎19.(12分)‎ 如图，在多面体ABCDNPM中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝2，PM∥AB，PN∥AD，PM＝PN＝1.‎ ‎(Ⅰ)求证：MN⊥PC；‎ ‎(Ⅱ)求平面MNC与平面APMB所成锐二面角的余弦值.‎ ‎20.(12分)‎ 已知椭圆C：的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且过点.过点P(1，0)的直线l交椭圆C于M，N两点，A为椭圆的左顶点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(Ⅱ)求△AMN面积的最大值，并求此时直线l的方程.‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数f(x)＝2ex＋3x2－2x＋1＋b，x∈R的图象在x＝0处的切线方程为y＝ax＋2.‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间与极值；‎ ‎(Ⅱ)若存在实数x，使得f(x)－2x2－3x－2－2k≤0成立，求整数k的最小值.‎ ‎(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22.[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为＝.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)已知直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴交于点P，求|PA|·|PB|.‎ ‎23.[选修4—5：不等式选讲](10分)‎ 已知函数f(x)＝|2x－1|＋2|x＋2|.‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的最小值；‎ ‎(Ⅱ)解不等式f(x)<8.‎ ‎　答案解析 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B B D D D A B C C B A A ‎1.B　【解析】本题考查分式不等式及指数不等式的解法、集合的交集运算．A＝(－∞，－3]∪(4，＋∞)，B＝(2，＋∞)，所以A∩B＝(4，＋∞)，故选B.‎ ‎2.B　【解析】本题考查复数的除法运算及复数的模．因为z＝＝＝－1＋3i，所以|z|＝，故选B.‎ ‎3.D　【解析】本题考查函数的图象和基本性质．由题易得函数f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，排除B，C，当x∈(0，π]时，f(x)>0，排除A，故选D.‎ ‎4.D　【解析】本题考查向量的基本概念和运算．设a与b的夹角为θ，则a⊥(a－b)a·(a－b)＝0a2－a·b＝0a2－|a|·|b|cosθ＝0，所以cosθ＝，所以向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝，故选D.‎ ‎5.D　【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式．依题意，an＝1＋3(n－1)＝3n－2，bn＝3n－1，则b1＝1，b2＝3，b3＝9，所以ab1＋ab2＋ab3＝a1＋a3＋a9＝1＋7＋25＝33，故选D.‎ ‎6.A　【解析】本题考查含有当型循环结构的程序框图．执行程序框图，依次可得n＝1，S＝0，S<16，进入循环；S＝0＋3＝3，n＝2，S＝3<16，进入循环；S＝3＋6＝9，n＝3，S＝9<16，进入循环；S＝9＋9＝18，n＝4，S＝18>16，跳出循环，输出n＝4，S＝18，故选A.‎ ‎7.B　【解析】本题考查空间几何体的三视图、空间几何体的体积．这个几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个三棱锥而成的，其直观图如图所示，则这个几何体的体积V＝23－××2×2×2＝，故选B.‎ ‎8.C　【解析】本题考查三角函数的图象与性质．由题图可知，A＝2，T＝＝2×＝π，所以ω＝2，＝2，解得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝，所以，故选C.‎ ‎9.C　【解析】本题考查函数的基本性质．由题知 ‎10.B　【解析】本题考查几何概型.满足条件的概率是以1为半径的球的体积的除以以1为棱长的正方体的体积，即π×÷1＝，故选B.‎ ‎11.A　【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系与轨迹方程的求法．不妨将抛物线翻转为x2＝4y，设翻转后的直线l的方程为y＝kx＋1，翻转后的A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则联立得x2－4kx－4＝0　①，易得抛物线C在点A处的切线方程为y－x21＝x1·(x－x1)，同理可得抛物线C在点B处的切线方程为y－x22＝x2(x－x2)．联立得y＝x1x2，再由①可得x1x2＝－4，所以y＝－1.故原抛物线C相应的点P的轨迹方程为x＝－1，故选A.‎ ‎12.A　【解析】本题考查导数的应用.当a≥0时，1，2都是不等式(ax＋3)ex－x>0的解，不符合题意；当a<0时，(ax＋3)ex－x>0化为ax＋3>，设f(x)＝，则f′(x)＝，所以函数f(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，所以当x＝1时，函数f(x)取得最大值，因为不等式(ax＋3)ex－x>0有且只有一个正整数解，则解得－30，即t>　①.当n≥4时，an＝logtn也必须单调递增，∴t>1　②.另外，由于这里类似于分段函数的增减性，因而a35　③.方法一：当5；当25；当t>时，logt4＋2t>5，故③式对任意t>恒成立，综上，解得t的取值范围是.方法二：由①②得t>，在此前提下，构造f(t)＝logt4＋2t－5，则f′(t)＝2－，令g(t)＝tln2t，则g′(t)＝ln2t＋2lnt＝lnt(lnt＋2)>0，∴g(t)＝tln2t在上单调递增，且g(t)>0，从而f′(t)是上的增函数，可验证f′＝2－＝2<0即证ln>ln2，即证ln4>3ln×ln，即证ln4>ln×ln，∵ln4>ln，0ln×，f′(2)＝2－＝2－>0.∴f′(t)＝2－在上有唯一零点，设为m，m∈，易知m为f(t)的极小值点，也是最小值点．∴f(t)min＝f(m)＝logm4＋2m－5.当m∈时，logm4>log24＝2，2m>2×＝3.∴f(t)min＝f(m)>log24＋3－5＝0，即当t∈时，f(t)>0恒成立．综上，t的取值范围是.‎ ‎17.【名师指导】本题考查正弦定理、余弦定理、等差数列以及三角形面积的计算．‎ 解：(Ⅰ)由(b－c)2＝a2－bc，得b2＋c2－a2＝bc，(2分)‎ 即＝，由余弦定理得cosA＝，(4分)‎ 因为06.635.(2分)‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关．(4分)‎ ‎(Ⅱ)X可取0，1，2，3.(5分)‎ P(X＝0)＝＝，(6分)‎ P(X＝1)＝＝，(7分)‎ P(X＝2)＝＝，(8分)‎ P(X＝3)＝＝，(9分)‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎(10分)‎ E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.(12分)‎ ‎19.【名师指导】本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的求法．‎ ‎(Ⅰ)证明MN⊥平面PAC，从而证得MN⊥PC；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求出平面MNC与平面APMB的法向量，利用空间向量夹角公式求解．‎ 解：(Ⅰ)证明：作ME∥PA交AB于E，NF∥PA交AD于F，连接EF，BD，AC.‎ 由PM∥AB，PN∥AD，易得ME綊NF，‎ 所以四边形MEFN是平行四边形，‎ 所以MN∥EF，(2分)‎ 因为底面ABCD是菱形，‎ 所以AC⊥BD，又易得EF∥BD，所以AC⊥EF，所以AC⊥MN，(3分)‎ 因为PA⊥平面ABCD，EF平面ABCD，‎ 所以PA⊥EF，所以PA⊥MN，因为AC∩PA＝A，(4分)‎ 所以MN⊥平面PAC，故MN⊥PC.(5分)‎ ‎(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示，‎ 则C(0，1，0)，M，N，A(0，－1，0)，P(0，－1，2)，B(，0，0)，‎ 所以＝，＝，＝(0，0，2)，＝(，1，0)，‎ ‎(7分)‎ 设平面MNC的法向量为m＝(x，y，z)，则 令z＝1，得x＝0，y＝，‎ 所以m＝；(9分)‎ 设平面APMB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则 令x1＝1，得y1＝－，z1＝0，‎ 所以n＝(1，－，0)，(10分)‎ 设平面MNC与平面APMB所成锐二面角为α，‎ 则cos α＝＝＝，(11分)‎ 所以平面MNC与平面APMB所成锐二面角的余弦值为.(12分)‎ ‎20.【名师指导】本题考查椭圆的方程、性质、直线与椭圆位置关系的综合问题．‎ 解：(Ⅰ)因为抛物线y2＝4x的焦点为(，0)，所以椭圆C的半焦距c＝，即a2－b2＝3.　①‎ 把点Q代入＋＝1，得＋＝1.　②‎ 由①②解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(4分)‎ ‎(Ⅱ)设直线l的方程为x＝ty＋1，代入＋y2＝1，‎ 得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0.(5分)‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有y1＋y2＝－，y1y2＝－.(7分)‎ 则|y1－y2|＝＝＝＝＝.(9分)‎ 令＝m(m≥)．‎ 易知函数y＝m＋在[，＋∞)上单调递增，‎ 则＋≥＋＝，‎ 当且仅当m＝，即t＝0时，取等号．(10分)‎ 所以|y1－y2|≤.‎ 所以△AMN的面积S＝|AP||y1－y2|≤×3×＝，(11分)‎ 所以Smax＝，此时直线l的方程为x＝1.(12分)‎ ‎21.【名师指导】本题考查导数的综合应用．‎ 解：(Ⅰ)f′(x)＝2ex＋6x－2，‎ 因为f′(0)＝a，所以a＝0，‎ 易得切点(0，2)，所以b＝－1.(1分)‎ 易知函数f′(x)在R上单调递增，且f′(0)＝0.‎ 则当x<0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0.‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)；单调递增区间为(0，＋∞)．(2分)‎ 所以函数f(x)在x＝0处取得极小值f(0)＝2.(3分)‎ ‎(Ⅱ)f(x)－2x2－3x－2－2k≤0ex＋x2－x－1－k≤0k≥ex＋x2－x－1，　(*)(4分)‎ 令h(x)＝ex＋x2－x－1，‎ 若存在实数x，使得不等式(*)成立，则k≥h(x)min，‎ h′(x)＝ex＋x－，易知h′(x)在R上单调递增，(6分)‎ ‎ 又h′(0)＝－<0，h′(1)＝e－>0，h′＝e－2<0，h′＝e－>2.56－＝1.6－＝－>2－＝>0，‎ 所以存在唯一的x0∈，使得h′(x0)＝0，(8分)‎ 且当x∈(－∞，x0)时，h′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)>0.‎ 所以h(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，(9分)‎ h(x)min＝h(x0)＝ex0＋x20－x0－1，‎ 又h′(x0)＝0，即ex0＋x0－＝0，‎ 所以ex0＝－x0.‎ 因为x0∈，‎ 所以h(x0)∈，‎ 则k≥h(x0)，又k∈Z.‎ 所以k的最小值为0.(12分)‎ ‎22.【名师指导】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系．‎ ‎(Ⅰ)运用同角三角函数的平方关系即可得到C的普通方程，运用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ以及两角和的余弦公式，化简可得直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)写出直线l的参数方程，代入曲线C的普通方程，利用参数的几何意义即可得出|PA|·|PB|的值．‎ 解：(Ⅰ)由曲线C的参数方程(α为参数)(α为参数)，‎ 两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4；(3分)‎ 由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，(4分)‎ 即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.(5分)‎ ‎(Ⅱ)由题意可得P(2，0)，则直线l的参数方程为(t为参数)．(6分)‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，‎ 将(t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，‎ 得t2＋t－3＝0，(8分)‎ 则Δ>0，由韦达定理可得t1·t2＝－3，(9分)‎ 所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.(10分)‎ ‎23.【名师指导】本题考查函数的最值与绝对值不等式的解法．‎ ‎(Ⅰ)利用绝对值三角不等式即可求解；(Ⅱ)分段解不等式或画出函数的图象，找出函数的图象与直线y＝8的交点的横坐标即可求解．‎ 解：(Ⅰ)因为f(x)＝|2x－1|＋2|x＋2|≥|(2x－1)－2(x＋2)|＝5，(4分)‎ 所以函数f(x)的最小值是5.(5分)‎ ‎(Ⅱ)解法一：f(x)＝(6分)‎ 当x<－2时，由－4x－3<8，解得x>－，即－时，由4x＋3<8，解得x<，即

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