专题11-7 参数方程与极坐标(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)

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文档介绍

专题11-7 参数方程与极坐标(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)

‎ ‎ ‎【最新考纲解读】‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 1. 江苏高考中,本知识点考查的主要内容有:极坐标与参数方程的基本概念、公式的理解与掌握.特别是极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化,以及参数方程的简单应用是本知识点考查的重中之重.‎ ‎2. 重点掌握将极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程,体会参数思想和数形结合思想的应用,明确解析几何的精髓.‎ ‎【课前检测训练】‎ ‎【练一练】‎ ‎1.求在极坐标系中,过点(2,)且与极轴平行的直线方程.‎ 解 点(2,)在直角坐标系下的坐标为 ‎(2cos ,2sin ),即(0,2).‎ ‎∴过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y=2.‎ 即为ρsin θ=2.‎ ‎2.在极坐标系中,已知两点A、B的极坐标分别为(3,)、(4,),求△AOB(其中O为极点)的面积.‎ 解 由题意知A、B的极坐标分别为(3,)、(4,),则△AOB的面积S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=×3×4×sin =3.‎ ‎3.在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.当△AOB是等边三角形时,求a的值.‎ ‎4.直线l的参数方程为(t为参数),求直线l的斜率.‎ 解 将直线l的参数方程化为普通方程为 y-2=-3(x-1),因此直线l的斜率为-3.‎ ‎5.已知直线l1:(t为参数)与直线l2:(s为参数)垂直,求k的值.‎ 解 直线l1的方程为y=-x+,斜率为-;‎ 直线l2的方程为y=-2x+1,斜率为-2.‎ ‎∵l1与l2垂直,‎ ‎∴(-)×(-2)=-1⇒k=-1.‎ ‎6.已知点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上,求PF的值.‎ 解 将抛物线的参数方程化为普通方程为y2=4x,则焦点F(1,0),准线方程为x=-1,又P(3,m)在抛物线上,由抛物线的定义知PF=3-(-1)=4.‎ ‎7.已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数),求直线l与曲线C相交所截的弦长.‎ ‎【题根精选精析】‎ 考点1:极坐标系 ‎【1-1】函数y=sin(2x+)经伸缩变换后的解析式为________.‎ ‎【答案】y′=sin(x′+)‎ ‎【解析】解析:由得 ①‎ 将①代入y=sin(2x+),得2y′=sin(2·x′+),‎ 即y′=sin(x′+).‎ ‎【1-2】双曲线C:x2-=1经过φ:变换后所得曲线C′的焦点坐标为________.‎ ‎【答案】F1(-5,0),F2(5,0)‎ ‎【解析】解析:设曲线C′上任意一点P′(x′,y′),由上述可知,将代入x2-=1得-=1,‎ 化简得-=1,‎ 即-=1为曲线C′的方程,可见仍是双曲线,则焦点F1(-5,0),F2(5,0)为所求.‎ ‎【1-3】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为3ρ2=12ρcos θ-10(ρ>0).‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程;‎ ‎(2)曲线C2的方程为+=1,设P,Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点,求|PQ|的最小值.‎ ‎【答案】(1)(x-2)2+y2=.(2) ‎【1-4】在极坐标系中,直线ρcos θ-ρsin θ+1=0与圆ρ=2sin θ的位置关系是________.‎ ‎【答案】相交 ‎【解析】直线ρcos θ-ρsin θ+1=0可化成x-y+1=0,圆ρ=2sin θ可化为x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1.圆心(0,1)到直线x-y+1=0的距离d==0<1.故直线与圆相交.‎ ‎【1-5】已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin(θ+)=2.‎ ‎(1)求曲线C在极坐标系中的方程;‎ ‎(2)求直线l被曲线C截得的弦长.‎ ‎【答案】(1)ρ=4cos θ.(2)2.‎ ‎【基础知识】‎ ‎1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.‎ ‎2.极坐标系与极坐标 ‎ (1)极坐标系:‎ 如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.‎ ‎(2)极坐标:‎ 设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).‎ 一般地,不做特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.‎ ‎3.极坐标与直角坐标的互化 设M是坐标系平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ≥0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表:‎ 点M 直角坐标(x,y)‎ 极坐标(ρ,θ)‎ 互化公式 ‎4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 ρ=r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r,0),半径为r的圆 ρ=2rcos_θ 圆心为,半径为r的圆 ρ=2rsin_θ(0≤θ<π)‎ 过极点,倾斜角为α的直线 ‎(1)θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R) ‎ ‎(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0)‎ 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ρcos_θ=a 过点,与极轴平行的直线 ρsin_θ=a(0<θ<π)‎ ‎【思想方法】.‎ ‎1.确定极坐标方程的四要素 极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向,四者缺一不可.‎ ‎2.直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的步骤 ‎(1)运用ρ=,tan θ=(x≠0)‎ ‎(2)在[0,2π)内由tan θ=(x≠0)求θ时,由直角坐标的符号特征判断点所在的象限.‎ ‎3. 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆.‎ ‎4. 直角坐标方程与极坐标方程的互化,关键要掌握好互化公式,研究极坐标系下图形的性质,可转化直角坐标系的情境进行.‎ ‎【温馨提醒】直角坐标方程与极坐标方程的互化,关键要掌握好互化公式,研究极坐标系下图形的性质,可转化直角坐标系的情境进行.‎ 考点2:参数方程 ‎【2-1】若直线的参数方程为(t为参数),则直线的斜率为________.‎ ‎【答案】- ‎【解析】解析:∵==-,∴tan α=-.‎ ‎【2-2】参数方程为(0≤t≤5)的曲线为________.(填“线段”“射线”“圆弧”或“双曲线的一支”)‎ ‎【答案】线段 ‎【解析】化为普通方程为x=3(y+1)+2,‎ 即x-3y-5=0,‎ 由于x=3t2+2∈[2,77],‎ 故曲线为线段.‎ ‎【2-3】已知P1,P2是直线(t为参数)上的两点,它们所对应的参数分别为t1,t2,则线段P1P2的中点到点P(1,-2)的距离是________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由t的几何意义可知,线段P1P2的中点对应的参数为,P对应的参数为t=0,‎ ‎∴线段P1P2的中点到点P的距离为.‎ ‎【2-4】已知直线(t为参数)与圆x2+y2=4相交于B,C两点,则|BC|的值为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【2-5】曲线(θ为参数)中两焦点间的距离是________.‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】曲线化为普通方程为+=1,∴c=,故焦距为2.‎ ‎【基础知识】‎ ‎1.参数方程和普通方程的互化 ‎(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.‎ ‎(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么,就是曲线的参数方程.‎ ‎2.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y-y0=tan α(x-‎ (t为参数)‎ x0)‎ 圆 x2+y2=r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 +=1(a>b>0)‎ (φ为参数)‎ ‎【思想方法】‎ ‎1.化参数方程为普通方程的方法 消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常用方法有:①代入消元法;②加减消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法.‎ ‎2.利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法 经过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).若A,B为直线l上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到:‎ ‎(1)t0=;‎ ‎(2)|PM|=|t0|=;‎ ‎(3)|AB|=|t2-t1|;‎ ‎(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|.‎ ‎【温馨提醒】参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程,是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式,参数方程化为普通方程关键在于消参,消参时要注意参变量的范围.‎ ‎【易错问题大揭秘】 ‎ 将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解;确定曲线的参数方程时,一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围,必要时通过限制参数的范围去掉多余的解.‎ ‎ ‎
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