上海市进才中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

上海市进才中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

进才中学高二期中数学卷 一、 填空题 ‎1.直线的倾斜角是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求直线的斜率，进而转化为倾斜角，‎ ‎【详解】解：直线的斜率为，倾斜角为，所以， 则， 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题，考查计算能力．‎ ‎2.方程组的系数矩阵是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系数矩阵的定义即可得出答案.‎ ‎【详解】解：根据系数矩阵的定义，系数矩阵为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了系数矩阵的定义，即简单来说系数矩阵就是将方程组的系数组成矩阵，是基础题.‎ ‎3.已知向量，，若向量∥，则实数________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用向量共线的坐标运算得答案．‎ ‎【详解】因向量∥，所以－m＝6，m＝－6,‎ 故答案为-6.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题．‎ ‎4.求过点，且与直线垂直的直线的点方向式方程_______ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线的方向向量，在求出所求直线的方向向量，进而可写出直线的点方向式方程.‎ ‎【详解】解：由已知直线的方向向量为：，‎ 与直线垂直的直线的方向向量为：，‎ 故所求直线的点方向式方程为：，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】已知直线上一点，以及直线的方向向量，则该直线的点方向式方程为.‎ ‎5.行列式的元素的代数余子式的值为7，则________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用代数余子式的概念计算即可.‎ ‎【详解】元素-3的代数余子式为- ，‎ 解得：，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查代数余子式的运算，是基础题.‎ ‎6.已知是增广矩阵为的二元一次方程组的解，则________‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据二元一次方程组的增广矩阵，写出二元线性方程组的表达式，然后根据方程求解m，t即可；‎ ‎【详解】解：是增广矩阵为的二元一次方程组的解，‎ 则 ,解得m＝8，t＝2，‎ 则m+t＝10，‎ 故答案为：10．‎ ‎【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式，计算量小，解答的关键是理解二元线性方程组的增广矩阵的含义，并由此写出二元线性方程组的表达式．‎ ‎7.已知，，，则向量与的夹角为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过条件求出，再利用公式求夹角.‎ ‎【详解】解：由，得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 向量夹角属于，‎ 所以向量与的夹角为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积，及夹角的运算，是基础题.‎ ‎8.过点且与直线的夹角为的直线的一般式方程是________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得的倾斜角，进而可求出与它夹角为的直线的倾斜角，再由点斜式写出直线方程，然后改写为一般式.‎ ‎【详解】由已知可得的斜率为，即倾斜角为，‎ 所以与它夹角为的直线的倾斜角为或，‎ 即斜率为：不存在或，‎ 故直线方程为：或，‎ 其一般式为或.‎ ‎【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率，直线的一般式方程，本题关键要通过直线与直线的位置关系，发现未知直线倾斜角，本题是基础题.‎ ‎9.已知点在直线上，且点到、两点的距离相等，则点的坐标是__________.‎ ‎【答案】（1,2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二项展开式性质得点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），由点P到A（2，5）、B ‎（4，3）两点的距离相等，能求出点P的坐标．‎ ‎【详解】解：∵点P在直线=0上，‎ ‎∴点P在直线4x+y﹣6＝0，‎ 设P（a，﹣4a+6），‎ ‎∵点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，‎ ‎∴ ，‎ 解得a＝1，‎ ‎∴点P的坐标是（1，2）．‎ 故答案为：（1，2）．‎ ‎【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎10.在直角坐标系中，已知三点，，.若与在方向上的射影相同，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解法1 向量、在方向上的射影分别为、.‎ 依题意得，即.故.‎ 解法2因为向量与在方向上的射影相同，所以，，即.‎ 故，即.‎ ‎11.已知平面向量、、满足，，且，则当时，的取值范围是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,,,,,‎ 根据向量减法的几何意义,转化为求线段上的动点与单位圆上的动点之间的距离的取值范围.结合图象观察可得.‎ ‎【详解】因为，且,‎ 所以可设,,,‎ 设,‎ 因为,所以点在线段上,‎ 因为,所以点在单位圆上,‎ 如图”‎ 所以,‎ 则问题转化为求线段上的动点与单位圆上的动点之间的距离的取值范围.‎ 由图可知:当,且为线段与单位圆的交点时, 取得最小值,当与或重合,为单位圆与或轴的负半轴的交点时, 取得最大值2+1=3.‎ 所以的取值范围是.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量减法的几何意义,解题关键是将转化为两个动点之间的距离.属于难题.‎ ‎12.已知实数、、、满足：，，其中，且，则以向量为方向向量的直线的倾斜角为，则 的取值范围________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，向量的终点在直线上，向量的终点在直线上，把已知等式变形求得的夹角，再由可得的位置，数形结合可得以向量为方向向量的直线的倾斜角的取值范围．‎ ‎【详解】解：向量的终点在直线，向量的终点在直线上， 由，‎ 得， 即向量与向量的夹角为， 又，可得点在曲线上， 如图， ‎ ‎∴以向量为方向向量的直线的倾斜角的范围为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查由数量积求向量的夹角，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ 二、选择题 ‎13.如果且，那么直线不经过（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得直线斜率的正负，直线在轴上的截距的正负，进而可得直线不经过的象限．‎ ‎【详解】解：由且，可得直线的斜率为，直线在y轴上的截距，故直线不经过第三象限， 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题．‎ ‎14.坐标原点在直线上的射影为点，直线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由射影的知识求出直线的斜率，由点斜式求出直线的方程．‎ ‎【详解】解：∵原点在直线上射影为点， ∴直线的斜率为， 又点在直线上， ∴所求的直线方程为 ， 即 ‎． 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的点斜式，是基础题．‎ ‎15.已知向量、、满足，且，则、、中最小的值是（ ）‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件作差比较可知.‎ ‎【详解】因为, 所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 同理可得,,‎ 故最小.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积和比较法比较大小,属于中档题.‎ ‎16.如图，边长为4正方形中，半径为1的动圆的圆心在边和上移动（包含端点、、），是圆上及其内部的动点，设（），则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立如图所示平面直角坐标系，可得的坐标，进而可得的坐标．分类讨论，当动圆的圆心在上运动或在上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点坐标，再利用三角函数求的最值．‎ ‎【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，可得，‎ ‎，可得， 当点在上运动时，设，‎ 则点在圆：上及内部，‎ 故可设，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，取最小值为，即；‎ 当时，取最大值为，即，‎ 的取值范围是；‎ 当点在上运动时，设，‎ 则点在圆：上及其内部，‎ 故可设，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，取最小值为，即；‎ 当时，取最大值为，即，‎ 的取值范围是； 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17.已知的顶点、、，试求：‎ ‎（1）求边的中线所在直线方程；‎ ‎（2）求边上的高所在直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出线段的中点坐标，利用两点式方程求出边上的中线所在的直线方程； （2）求出边所在直线的斜率，进而可以求出边上的高所在直线的斜率，利用点斜式求边上的高所在的直线方程．‎ ‎【详解】解：（1）线段的中点坐标为 所以边上的中线所在直线的方程是：，‎ 即； （2）由已知，则边上高的斜率是， 边上的高所在直线方程是，‎ 即．‎ ‎【点睛】本题考查直线的点斜式，两点式求直线的方程，属于基础题．‎ ‎18.已知，直线的方程为，直线的方程为.‎ ‎（1）求直线经过的定点坐标；‎ ‎（2）讨论直线和的位置关系.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，直线和平行；当时，直线和重合；当且时，直线和相交.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线的方程改写为，令，求解的值，可得答案； （2）联立方程，得，求解交点，讨论即可；‎ ‎【详解】解：（1）将直线的方程改写为， 令，解得：， 即直线的过定点； （2）联立方程，得． 解得， 当且时，，两直线相交； 当时，，两直线平行； 当时，，两直线重合．‎ ‎【点睛】本题主要考查两条直线平行、垂直、相交的判定方法，属于基础题．‎ ‎19.已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．‎ ‎（1）若点A，B，C不能构成三角形，求实数m满足的条件；‎ ‎（2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值．‎ ‎【答案】（1）；（2），m＝或－或．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）∵＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，‎ 若A，B，C三点不能构成三角形，则这三点共线，‎ ‎∵＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)＝2－m，∴m＝即为满足的条件．‎ ‎（2）由题意，△ABC为直角三角形，‎ ‎①若∠A＝90°，则⊥，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，∴m＝．‎ ‎②若∠B＝90°，则⊥，∵(－1－m，－m)，∴3(－1－m)＋(－m)＝0，∴m＝－．‎ ‎ ③若∠C＝90°，则⊥， ∴(2－m)(－1－m)＋(1－m)(－m)＝0，‎ ‎∴m＝.综上可得，m＝或－或.‎ ‎20.已知，，，若，（）.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数在条件下的最小值；‎ ‎（3）把图像按向量平移得到曲线，过坐标原点作、分别交曲线于点、，直线交轴于点，当为锐角时，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量数量积的坐标公式即可求的解析式；‎ ‎（2）通过矩阵的计算公式，求出的表达式，然后利用基本不等式求最值即可； （3）根据向量平移关系即可求出曲线的解析式，设，根据为锐角时，建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【详解】解：（1）， ， ， ， 则， 即 ‎； （2）由已知得：‎ ‎，‎ 当且仅当，即时取到最小值，‎ 函数在条件下的最小值为；‎ ‎（3）， 的图象按向量平移后得到曲线为； 设， 则直线的方程为， 令，则， 若为锐角，因为不可能共线，则，‎ 或，‎ 或， 即或， 故取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的数量积公式的应用，以及向量平移的关系，考查学生的运算能力．‎ ‎21.已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点.‎ ‎（1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程；‎ ‎（2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标；‎ ‎（3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可得直线的斜率，进而可得直线的方程； （2）设直线的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线与直线的方程，联立得的坐标； （3）设，其中，利用两点间的距离公式可得原点到直线、的距离，变形后利用基本不等式求解．‎ ‎【详解】解：（1）由已知得，又，‎ 直线的方程 ‎； （2）设直线的斜率分别为， 则，得或． 当时，‎ 直线的方程为，直线的方程为，联立得； 当时，‎ 直线的方程为，直线的方程为，联立得． 故所求为或； （3）设，其中， 故 ‎． 由于（等号成立的条件是）， 故．‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的点斜式及交点坐标，考查点到直线距离公式的运用，训练了利用基本不等式求最值，难度较大，对学生的理解能力要求较高．‎ ‎ ‎