2017-2018学年四川省金堂中学高二下学期期中考试数学(理)试题(Word版)

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2017-2018学年四川省金堂中学高二下学期期中考试数学(理)试题(Word版)

‎2017-2018学年四川省金堂中学高二下学期期中考试 数学试卷(理)‎ 命题人: 审题人:‎ ‎ 考试时间:120分钟 ‎ 注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.若复数,则=( )‎ ‎、 、 、 、‎ ‎2.在的展开式中,常数项为(  )‎ A.135 B.105 C.30 D.15‎ ‎3.已知函数的导函数为,且满足,则=(  )‎ A. B.1 C.﹣1 D.﹣‎ ‎4.有6个人排成一排照相,要求甲、乙、丙三人站在一起,则不同的排法种数为(  )‎ A.24 B.72 C.144 D.288‎ ‎5.已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( ).‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.由曲线xy=1,直线y=x,y=3所围成的平面图形的面积为(  )‎ A. B.2﹣ln3 C.4+ln3 D.4﹣ln3‎ ‎7.函数在[-3,4]上的最大值与最小值分别为( )‎ ‎8.‎ 某大学的8名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有( ).‎ A.种 B.种 C. 种 D.种 ‎9.如图是函数的大致图象,则(  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有xf′(x)﹣f(x)<0恒成立,则不等式x2f(x)>0的解集是(  )‎ A.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) B.(﹣2,0)∪(2,+∞)‎ C.(﹣2,2) D.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)‎ ‎11.若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.若存在两个正实数x,y,使得等式3x+a(2y﹣4ex)(lny﹣lnx)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,0) B. ‎ C. D.‎ 二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.设,若复数在复平面内对应的点位于实轴上,则__________.‎ ‎14.展开式中的系数为  .‎ ‎15.若函数 f(x)=x3-x2-3x-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是  .‎ ‎16.设函数对任意不等式恒成立,则正数的取值范围是 .‎ 三、解答题(本题共6道小题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分,共70分)‎ ‎17.已知在递增等差数列中,,是和的等比中项.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,为数列的前项和,求的值.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期、最大值及取得最大值时x的集合;‎ ‎(Ⅱ)设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若 ,b=1,,‎ 且a>b,求角B和角C.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)求f(x)在[0,1]上的值域.‎ ‎20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,‎ ‎∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,过AD的平面分别交PB,PC于M,N两点.‎ ‎(Ⅰ)求证:MN∥BC;‎ ‎(Ⅱ)若M,N分别为PB,PC的中点,‎ ‎①求证:PB⊥DN;‎ ‎②求二面角P﹣DN﹣A的余弦值.‎ ‎21.已知中心在原点,焦点在轴上,离心率为的椭圆过点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设椭圆与轴的非负半轴交于点,过点作互相垂直的两条直线,分别交椭圆于两点,连接,求的面积的最大值.‎ 22. 已知函数 ‎(Ⅰ)若函数在上为单调增函数,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若函数在和处取得极值,且(为自然对数的底数),求的最大值.‎ 高二下期期中考试试卷答案 ‎1.C 2.A 3.D.4.C 5.A 6.D 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.D ‎13. 14.﹣15 15.16.‎ ‎17.(Ⅰ)由为等差数列,设公差为,则.‎ ‎∵是和的等比中项,‎ ‎∴,即,解之,得(舍),或.‎ ‎∴.‎ ‎(Ⅱ).‎ ‎.‎ ‎18.【解答】解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=sin2xcos﹣cos2xsin﹣cos2x…(1分)‎ ‎=…(2分)‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期为…(3分)‎ 当,即时,‎ f(x)取最大值为,…(4分)‎ 这时x的集合为…‎ ‎(Ⅱ)由(I)知,,‎ ‎∴,…(6分)‎ ‎∵0<B<π,∴…(7分)‎ ‎∴,…(8分)‎ ‎,‎ ‎∴由正弦定理得,则,…(9分)‎ ‎∵C为三角形的内角,∴…(10分)‎ ‎;…(11分)‎ ‎,‎ 由a>b得A>B,则舍去,‎ ‎∴…(12分)‎ ‎19.【解答】解:(1)f′(x)=(x+1)ex,‎ 令f′(x)=0得x=﹣1,‎ 令f′(x)>0得x>﹣1,‎ ‎∴f(x)的增区间为(﹣1,+∞).‎ 令f′(x)<0得x<﹣1,‎ ‎∴f(x)的减区间为(﹣∞,﹣1).‎ ‎(2)当时x∈[0,1],f′(x)>0,‎ ‎∴f(x)在[0,1]上递增,‎ ‎∴f(x)min=f(0)=5,f(x)max=f(0)=e+5,‎ ‎∴f(x)在[0,1]上的值域为[5,e+5].‎ ‎20. 证明:(I)因为底面ABCD为直角梯形,所以BC∥AD.‎ 因为BC⊄平面ADNM,AD⊂平面ADNM,‎ 所以BC∥平面ADNM.…‎ 因为BC⊂平面PBC,平面PBC∩平面ADNM=MN,‎ 所以MN∥BC.…‎ ‎(II)①因为M,N分别为PB,PC的中点,PA=AB,‎ 所以PB⊥MA.…‎ 因为∠BAD=90°,所以DA⊥AB.‎ 因为PA⊥底面ABCD,所以DA⊥PA.‎ 因为PA∩AB=A,所以DA⊥平面PAB.所以PB⊥DA.…‎ 因为AM∩DA=A,所以PB⊥平面ADNM,‎ 因为DN⊂平面ADNM,所以PB⊥DN.…‎ 解:②‎ 如图,以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系A﹣xyz.…‎ 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).…‎ 由(II)知,PB⊥平面ADNM,所以平面ADNM的法向量为=(﹣2,0,2).…‎ 设平面PDN的法向量为=(x,y,z),‎ 因为,,‎ 所以.‎ 令z=2,则y=2,x=1.所以=(1,2,2),‎ 所以cos<>===.‎ 所以二面角P﹣DN﹣A的余弦值为.…‎ ‎21.(1)由题意可设椭圆方程为,则,‎ 故,所以,椭圆方程为;‎ ‎(2)由题意可知,直线的斜率存在且不为0,‎ 故可设直线的方程为,由对称性,不妨设,‎ 由,消去得,‎ 则,将式子中的换成,得:,‎ 设,则,‎ 故,取等条件为,即,‎ 即,解得时,取得最大值.‎ ‎22.‎
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