数学理卷·2019届河北省石家庄市第一中学高二上学期期中考试（2017-11）

数学理卷·2019届河北省石家庄市第一中学高二上学期期中考试（2017-11）

石家庄市第一中学 ‎2017—2018学年度第一学期期中考试高二年级理科数学试题 命题人：周燕 审核人：齐贤 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．命题:“”的否定是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎3．在等比数列中，已知，则 A． B． C． D．‎ ‎4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 A．　　B．　 C．　　D．‎ ‎5．设是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是 ‎ A．若则 B．若则 ‎ C．若，则 D．若则 ‎6．若下面框图所给的程序运行结果为,那么判断框中应填入的关于的条件是 A． B． C． D． ‎ ‎7．已知菱形的边长为，，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为 A．　　 B．　　 C．　　 D．‎ ‎9．一只蚂蚁从正方体 的顶点出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是 A． B． C． D． ‎ ‎10．设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为 A．　　 B．　　 C．　　 D．‎ ‎11．已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有个零点，则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎12．已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上 除长轴端点外的任一点，的重心为，内心为，且有（其中为 实数），则椭圆的离心率 A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不 多于分钟的概率为 ． ‎ ‎14．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．‎ 根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程为．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ． ‎ ‎15．点，实数是常数，是圆上两个不同点，是圆上的动点，若关于直线对称，则面积的最大值是 ． ‎ ‎ 16．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ．‎ ‎①若，则与的夹角为锐角；‎ ‎②对，若，则；‎ ‎③若实数满足，则的最大值为；‎ ‎④函数的图像关于点对称．‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分．‎ ‎17．(本小题满分10分) 函数的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）写出的最小正周期及图中的值；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）‎ 分成六段：，，…，‎ 后得到如右图的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求图中实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640人，试估计该 校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；‎ ‎（Ⅲ）若从数学成绩在与两个分 数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生 的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形中，‎ ‎，，点为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ 图1 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图2 ‎ A B C D M 图1‎ A B C D M 图2‎ A B C D M 图1‎ A B C D M 图2‎ A B C D M 图1‎ A B C D M 图2‎ A B C D M 图1‎ A B C D M 图2‎ ‎20．（本小题满分12分）数列的前项和为，且是和的等差中项，等差 数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）求数列、的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，证明：.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知向量，，，‎ 且、、分别为△的三边、、所对的角． ‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，成等差数列，且，求边的长．‎ ‎22．（本小题满分12分）已知椭圆与轴的正半轴相交于点，且椭圆上相异两点、满足直线,的斜率之积为．‎ ‎（Ⅰ）证明直线恒过定点，并求定点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求的面积的最大值．‎ 石家庄市第一中学 ‎2017—2018学年度第一学期期中考试高二年级理科数学试题答案 ‎1．C 2．C 3．A 4．B 5．D 6．C ‎ ‎7．D 8．A 9．D 10．D 11．C 12．B ‎13． 14． 15． 16．② ③ ④ ‎ ‎17．解：（Ⅰ）f(x)的最小正周期为T＝＝π，x0＝，y0＝3.‎ ‎（Ⅱ）因为x∈，所以2x＋∈，‎ 于是当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；‎ 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.‎ ‎18．解：（Ⅰ）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，‎ 所以，解得．‎ ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为 ‎．由于该校高一年级共有学生640人，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人．‎ ‎（Ⅲ）成绩在分数段内的人数为人，成绩在分数段内的人数为人，若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有15．如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为7．‎ 所以所求概率为． ‎ ‎19．（Ⅰ）证明：由已知可得：，，‎ 由余弦定理 从而，‎ 平面平面，　平面平面 平面． ‎ ‎（Ⅱ）解：取的中点,连接，， ‎ ‎ 由题意知平面，‎ ‎，分别是，的中点，，，‎ 以为坐标原点，，，所在的直线分别为，， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 由（Ⅰ）知，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设平面的法向量为，则有 即 取，得 由题易知平面的法向量为 所以二面角的余弦值为．　　　‎ A B C D M 图1‎ A B C D M 图2‎ A B C D M 图1‎ A B C D M 图2‎ A B C D M 图1‎ A B C D M 图2‎ A B C D M 图1‎ A B C D M 图2‎ ‎20．解：（Ⅰ）∵是和的等差中项，∴‎ 当时，，∴‎ 当时，，‎ ‎∴，又，则 ‎ ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎∴，．‎ 设的公差为，，，∴‎ ‎∴． ‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎∴ ‎ ‎∵,∴ ‎ ‎∴数列是一个递增数列， ∴．‎ 综上所述，．‎ ‎21．解：（Ⅰ） ‎ 对于，‎ 又，‎ ‎（Ⅱ）由，‎ 由正弦定理得 ‎ ‎，即 由余弦弦定理，‎ ‎，‎ ‎ 22．解：（Ⅰ）由椭圆的方程得，上顶点由题意知，，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，故，且，因此，与已知不符，因此直线的斜率存在，设直线：，代入椭圆的方程得： ………①‎ 因为直线与曲线有公共点，所以方程①有两个非零不等实根，‎ 所以，‎ 又，‎ 由，得 即 所以 化简得：，故或，‎ 结合知，‎ 即直线恒过定点．‎ ‎（Ⅱ）由且得：或，‎ 又 ‎，当且仅当，即时，的面积最大，最大值为．‎