2019届二轮复习（理）专题27等差数列及其前n项和学案（全国通用）

2019届二轮复习（理）专题27等差数列及其前n项和学案（全国通用）

‎1.理解等差数列的概念；‎ ‎2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；‎ ‎3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；‎ ‎4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．‎ ‎ ‎ ‎1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．‎ 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N ，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．‎ ‎2．等差数列的通项公式与前n项和公式 ‎(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d．‎ 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N )．‎ ‎(2)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d(其中n∈N ，a1为首项，d为公差，an为第n项)．‎ ‎3．等差数列及前n项和的性质 ‎(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝．‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N )．‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋‎2m，…(k，m∈N )是公差为md的等差数列．‎ ‎(4)数列Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…也是等差数列．‎ ‎(5)S2n－1＝(2n－1)an.‎ ‎(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；‎ 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．‎ ‎4．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n.‎ 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．‎ ‎5．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．‎ ‎【必会结论】等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N )．‎ ‎(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N )，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N )，则am＋an＝2ap.‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.‎ ‎(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．‎ ‎(5)若{an}是等差数列，公差为d, 则ak，ak＋m，ak＋‎2m，…(k，m∈N )是公差为md的等差数列．‎ ‎(6)等差数列{an}的前n项和为Sn, 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d.‎ 高频考点一　等差数列基本量的运算 例1、(1)[2017·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A．1 B．‎2 C．4 D．8‎ 答案　C ‎ ]‎ ‎(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若‎6a3＋‎2a4－‎3a2＝5，则S7＝(　　)‎ A．28 B．‎21 C．14 D．7‎ 答案　D 解析　由‎6a3＋‎2a4－‎3a2＝5，得6(a1＋2d)＋2(a1＋3d)－3(a1＋d)＝‎5a1＋15d＝5(a1＋3d)＝5，即‎5a4＝5，所以a4＝1，所以S7＝＝＝‎7a4＝7.故选D. ‎ ‎【举一反三】(1)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A.100 B.99 C.98 D.97‎ ‎(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝ .‎ 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知，得所以所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98.‎ 法二　∵由{an}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An2＋Bn，‎ 由S3＝6，S4＝12可得 解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30.‎ 答案　(1)C　(2)30‎ ‎【方法规律】等差数列计算中的两个技巧 ‎(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．‎ ‎【变式探究】(1)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A．100 B．‎99 C．98 D．97‎ 答案　C 解析　设{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式及通项公式，得解得an＝a1＋(n－1)d＝n－2，∴a100＝100－2＝98.故选C.‎ ‎(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝ .‎ 答案　－72‎ 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 由已知，得解得 ‎∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72. ‎ 高频考点二　等差数列的判定与证明 例2、已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N )，数列{bn}满足bn＝(n∈N )． ‎ ‎(1)求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．‎ ‎(1)证明　因为an＝2－(n≥2，n∈N )，‎ bn＝(n∈N )，‎ 所以bn＋1－bn＝－ ‎＝－＝－＝1.‎ 又b1＝＝－.‎ 所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎【感悟提升】等差数列的四个判定方法 ‎(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．‎ ‎(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．‎ ‎(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．‎ ‎(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．‎ ‎【变式探究】(1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是(　　)‎ A．公差为3的等差数列 B．公差为4的等差数列 C．公差为6的等差数列 D．公差为9的等差数列 ‎(2)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N )，则该数列的通项为(　　)‎ A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 答案　(1)C　(2)A ‎ ‎ ‎(2)由已知式＝＋可得 －＝－，知{}是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.‎ 高频考点三　等差数列的性质及应用 例2、(1)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝ .‎ ‎(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝ .‎ 答案　(1)10　(2)60‎ 解析　(1)因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.‎ ‎(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，‎ ‎∴S30－30＝10＋2×10＝30，∴S30＝60.‎ ‎【变式探究】在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．‎ 解　∵a1＝20，S10＝S15，‎ ‎∴10×20＋d＝15×20＋d，‎ ‎∴d＝－. ‎ 方法一　由an＝20＋(n－1)×＝－n＋.‎ 得a13＝0.‎ 即当n≤12时，an＞0，当n≥14时，an＜0.‎ ‎∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，‎ 且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.‎ ‎【感悟提升】等差数列性质的应用技巧 ‎(1)等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an＋am＝2ak(n＋m＝2k，n，m，k∈N )与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N )相结合，可减少运算量．‎ ‎(2)等差数列和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则数列Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an；若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．‎ ‎【举一反三】(1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为(　　)‎ A.13 B.12 C.11 D.10‎ ‎(2)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝ . . ]‎ 解析　(1)因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，‎ a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，‎ 又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，‎ 所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，‎ 所以Sn＝＝＝390，即n＝13.‎ ‎(2)因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，‎ a2＋a8＝2a5＝10.‎ 答案　(1)A　(2)10‎ 高频考点四　等差数列前n项和及其最值 ‎【例4】 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎(2)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N＋)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝ . | |X|X|K]‎ 解析　(1)法一　由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大.‎ 法二　由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大.‎ 答案　(1)C　(2)130‎ ‎【方法规律】求等差数列前n项和的最值的方法 ‎(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．‎ ‎(2)通项公式法：求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可．一般地，等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，则：①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大．‎ ‎【变式探究】等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？‎ 解　解法一：由S3＝S11，得‎3a1＋d＝‎11a1＋d，则d＝－a1.‎ 从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1. ]‎ 又a1>0，所以－<0.故当n＝7时，Sn最大． ‎ 解法二：由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝ ‎＝7对称．由解法一可知a＝－ ‎<0，故当n＝7时，Sn最大．‎ ‎1. （2018年全国I卷理数）设为等差数列的前项和，若，，则 A. -12 B. -10 C. 10 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，‎ 整理解得，所以，故选B.‎ ‎2. （2018年北京卷）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎3. （2018年江苏卷）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．‎ ‎（1）设，若对均成立，求d的取值范围；‎ ‎（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求 的取值范围（用表示）．‎ ‎【答案】（1）d的取值范围为．‎ ‎（2）d的取值范围为，证明见解析。‎ ‎（2）由条件知：．‎ 若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，‎ 即，‎ 即当时，d满足．‎ 因为，则，‎ 从而，，对均成立．‎ 因此，取d=0时，对均成立．‎ 下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．‎ ‎①当时，，‎ 当时，有，从而．‎ 因此，当时，数列单调递增，‎ 故数列的最大值为．‎ ‎②设，当x>0时，，‎ 所以单调递减，从而0”是“S4 + S6>2S5”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由，可知当，则，即，反之，，所以为充要条件，选C．‎ ‎3．【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等比数列的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：‎ ‎，由 可得： ，代入①可得，‎ 由等比数列的通项公式可得： .‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ）‎ ‎（A）100 （B）99 （C）98 （D）97‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎2【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，‎ ‎（）.若（ ）‎ A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 ‎【答案】A ‎【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．‎ ‎3.【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则 ..‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵是等差数列，∴，，，，‎ ‎∴，故填：6． ‎ ‎4.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，因此 ‎1.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则=　　　　（　　）‎ A、-1 B、0 C、1 D、6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列的性质得，选B.‎ ‎2.【2015高考福建，理8】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）‎ A．6 B．‎7 C．8 D．9‎ ‎【答案】D ‎3.【2015高考北京，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】先分析四个答案支，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，下面针对C进行研究，‎ 是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，选C.‎ ‎【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则= .‎ 【答案】10．‎ ‎【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．‎ ‎【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：5．‎ ‎1．（2014·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝ .‎ ‎【答案】1　‎ ‎【解析】因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又 a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q＝1.‎ ‎2．（2014·北京卷）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝ 时，{an}的前n项和最大．‎ ‎【答案】8　‎ ‎【解析】∵a7＋a8＋a9＝‎3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0，∴n＝8时，数列{an}的前n项和最大． ‎ ‎3．（2014·福建卷）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(　　)‎ A．8 B．‎10 C．12 D．14‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的前n项和公式，得S3＝3×2＋d＝12，解得d＝2，则a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12.‎ ‎4．（2014·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎ ‎ ‎(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800，‎ 此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．‎ 当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.‎ 令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，‎ 解得n>40或n<－10(舍去)，‎ 此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.‎ 综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；‎ 当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.‎ ‎5．（2014·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N .‎ ‎(1)若{an}是递增数列，且a1，‎2a2，‎3a3成等差数列，求p的值；‎ ‎(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．‎ ‎ ‎ ‎(2)由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n＋1－a2n－1>0，于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0.①‎ 因为<，所以|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|.②‎ 由①②知，a2n－a2n－1>0，因此a2n－a2n－1＝＝.③‎ 因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n＋1－a2n<0，故a2n＋1－a2n＝－＝.④‎ 由③④可知，an＋1－an＝.‎ 于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋－＋…＋＝1＋·＝＋·.‎ 故数列{an}的通项公式为an＝＋·.‎ ‎6．（2014·辽宁卷）设等差数列{an}的公差为d.若数列{‎2a1an}为递减数列，则(　　)‎ A．d<0 B．d>‎0 C．a1d<0 D．a1d>0‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】令bn＝‎2a1an，因为数列{2a1an}为递减数列，所以＝＝‎2a1(an＋1－an)＝‎2a1d<1，所得a1d<0. ‎ ‎7．（2014·全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎ ‎ ‎(2)bn＝＝.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝＝.‎ ‎8．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎(1)证明：an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎【解析】(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，‎ 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.‎ 因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)由题设，a1＝1，a‎1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1，‎ 由(1)知，a3＝λ＋1.‎ 若{an}为等差数列，则‎2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.‎ 由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，‎ a2n－1＝4n－3；‎ ‎{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.‎ 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.‎ 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．‎ ‎9．（2014·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解析】 (1)因为S1＝a1，S2＝‎2a1＋×2＝‎2a1＋2，‎ S4＝‎4a1＋×2＝‎4a1＋12，‎ 由题意得(‎2a1＋2)2＝a1(‎4a1＋12)，解得a1＝1，‎ 所以an＝2n－1.‎ ‎ ‎ ‎10．（2014·陕西卷）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.‎ ‎(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；‎ ‎(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．‎ ‎【解析】(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.‎ 由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.‎ ‎∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，‎ ‎∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)． ‎ ‎(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.‎ 由余弦定理得 cos B＝＝≥＝，‎ 当且仅当a＝c时等号成立，‎ ‎∴cos B的最小值为.‎ ‎11．（2014·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为 ．‎ ‎【答案】－　‎ ‎【解析】∵S2＝‎2a1－1，S4＝‎4a1＋×(－1)＝‎4a1－6，S1，S2，S4成等比数列，‎ ‎∴(‎2a1－1)2＝a1(‎4a1－6)，解得a1＝－.‎ ‎12．（2014·重庆卷）设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N )．‎ ‎(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2nf(a2k＋1)>f(1)＝a2，即 ‎1>c>a2k＋2>a2.‎ 再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c＝f(c)f(a2k＋1)＝a2k＋2，‎ a2(k＋1)＝f(a2k＋1)f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2.‎ 所以a2n＋1>－1，解得a2n＋1>.　④‎ 综上，由②③④知存在c＝使a2n2的最小正整数，‎ 则m≥2，并且对任意1≤k2，‎ 于是，Bm＝Am－dm>2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}>1.‎ 故dm－1＝Am－1－Bm－1<2－1＝1，与dm－1＝1矛盾．‎ 所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2.‎ 因为对任意n≥1，an≤2＝a1，‎ 所以An＝2.‎ 故Bn＝An－dn＝2－1＝1.‎ 因此对于任意正整数n ，存在m满足m>n，且am＝1，即数列{an}有无穷多项为1.‎ ‎17．（2013·全国卷）等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．‎ ‎【解析】设{an}的公差为d.‎ 由S3＝a，得‎3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.‎ 由S1，S2，S4成等比数列得S＝S1S4.‎ 又S1＝a2－d，S2＝‎2a2－d，S4＝‎4a2＋2d，‎ 故(‎2a2－d)2＝(a2－d)(‎4a2＋2d)．‎ 若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，‎ 此时Sn＝0，不合题意；‎ 若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，‎ 解得d＝0或d＝2.‎ 因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1. ‎ ‎18．（2013·山东卷）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋＝λ(λ为常数)，令cn＝b2n(n∈N )，求数列{cn}的前n项和Rn.‎ ‎ ‎ ‎(2)由题意知Tn＝λ－，所以n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＋＝.‎ 故cn＝b2n＝＝(n－1)，n∈N .‎ 所以Rn＝0×＋1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×，‎ 则Rn＝0×＋1×＋2×＋…＋(n－2)×＋(n－1)×，‎ 两式相减得 Rn＝＋＋＋…＋－(n－1)× ‎＝－(n－1)× ‎＝－，‎ 整理得Rn＝4－.‎ 所以数列{cn}的前n项和Rn＝4－.‎ ‎19．（2013·四川卷） 在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．‎ ‎20．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为 ．‎ ‎【答案】－49 　‎ ‎【解析】由已知，a1＋a10＝0，a1＋a15＝d＝，a1＝－3，∴nSn＝，易得n＝6或n＝7时，nSn出现最小值．当n＝6时，nSn＝－48；n＝7时，nSn＝－49.故nSn的最小值为－49. 学 . ‎ ‎21．（2013·重庆卷）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝ ．‎ ‎【答案】64　‎ ‎【解析】设数列{an}的公差为d，由a1，a2，a5成等比数列，得(1＋d)2＝1·(1＋4d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以S8＝8×1＋×2＝64.‎