2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练54　抛物线

2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练54　抛物线

课时分层训练(五十四)　抛物线 ‎(对应学生用书第325页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)‎ A．－　　　　　　　 B．－1‎ C．－ D．－ C　[由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，所以直线AF的斜率为k＝＝－.]‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)‎ A．　　 B．1 ‎ C．　　　 D．2‎ D　[∵y2＝4x，∴F(1,0)．‎ 又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，‎ ‎∴P(1,2)．‎ 将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)得k＝2.故选D.]‎ ‎3．(2017·广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线y＝x2上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点(　　)‎ A．(0,2) B．(0，－3)‎ C．(0,3) D．(0,6)‎ C　[直线y＋3＝0是抛物线x2＝12y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．]‎ ‎4．(2018·云南二检)已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则p的值为(　　) 【导学号：97190298】‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ D　[设M(x，y)，则由题意，得＝2，＝2，则x＝4－，y＝4.又点M在抛物线C上，所以42＝2p，解得p＝4，故选D.]‎ ‎5．(2018·长沙模拟(二))已知点P(x0，y0)是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆C：(x＋2)2＋(y－4)2＝1上的一个动点，则x0＋|PQ|的最小值为(　　)‎ A．2－1 B．2 C．3 D．4‎ C　[设抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，过点P(x0，y0)作准线l：x＝－1的垂线，垂足为N，则x0＋|PQ|＝|PN|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|CF|－2＝－2＝5－2＝3，当且仅当C，P，F三点共线且点Q在线段CF上时取等号，则x0＋|PQ|的最小值是3，故选C．]‎ 二、填空题 ‎6．(2018·成都二诊)设抛物线C：y2＝2x的焦点为F.若抛物线C上点P的横坐标为2，则|PF|＝________.‎ 　[由题意知p＝1，点P的横坐标xP＝2，则由抛物线的定义，‎ 得|PF|＝xP＋＝2＋＝.]‎ ‎7．(2018·西宁检测(一))已知点P(2,1)，若抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是________．‎ ‎2x－y－3＝0　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2，且y＝4x1，y＝4x2，两式相减得2(y1－y2)＝4(x1－x2)，且x1≠x2，则直线AB的斜率kAB＝＝2，又弦AB过点P，则所求直线方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.]‎ ‎8．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.‎ ‎2　[y2＝2px的准线为x＝－.‎ 由于△ABF为等边三角形．‎ 因此不妨设A，B.‎ 又点A，B在双曲线y2－x2＝1，‎ 从而－＝1，‎ 所以p＝2.]‎ 三、解答题 ‎9.如图872所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F 且与抛物线C相交于A、B两点．‎ 图872‎ ‎(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；‎ ‎(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．‎ ‎[解]　(1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0)．因为线段AB的中点在直线y＝2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，‎ 则由得 ‎(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4.‎ 又y0＝2，所以k＝1，故直线l的方程是y＝x－1.‎ ‎(2)设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得消元得y2－4my－4＝0，‎ 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)＞0.‎ ‎|AB|＝|y1－y2|‎ ‎＝· ‎＝· ‎＝4(m2＋1)．‎ 所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，‎ 所以直线l的方程是x＝±2y＋1，‎ 即x±2y－1＝0.‎ ‎10．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，·＝12.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程. 【导学号：97190299】‎ ‎[解]　(1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，‎ 得y2－2pmy＋4p＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，‎ 则x1x2＝＝4，‎ 因为·＝x1x2＋y1y2＝4＋4p＝12，可得p＝2，‎ 则抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)由(1)知y2＝4x，p＝2，可知y1＋y2＝4m，y1y2＝8.‎ 设AB的中点为M，‎ 则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4.①‎ 又|AB|＝|y1－y2|＝.②‎ 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，‎ 解得m2＝3，m＝±，‎ 所以直线l的方程为 x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎11．(2018·石家庄一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若＝λ，则实数λ为(　　)‎ A． B． C．3 D．2‎ D　[把点A代入抛物线方程，得2＝2p×，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则B(－1,0)．设M，‎ 则＝，＝.‎ 由＝λ，‎ 得解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选D.]‎ ‎12．(2017·衡水中学月考)已知直线l：y＝kx＋t与圆：x2＋(y＋1)2＝1相切，且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是________________．‎ t>0或t<－3　[因为直线l与圆相切，所以＝1⇒k2＝t2＋2t.再把直线l的方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，‎ 于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，‎ 解得t>0或t<－3.]‎ ‎13．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎(1)若＝2 ，求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值. 【导学号：97190300】‎ ‎[解]　(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.‎ 将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得 y2－4my－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.‎ 因为＝2 ，‎ 所以y1＝－2y2.‎ 联立上述三式，消去y1，y2得m＝±.‎ 所以直线AB的斜率是±2.‎ ‎(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，‎ 从而点O与点C到直线AB的距离相等，‎ 所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.‎ 因为2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2|‎ ‎ ＝＝4，‎ 所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.‎