2018-2019学年江苏省宿迁市高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年江苏省宿迁市高二上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江苏省宿迁市高二上学期期末考试数学试题 一、填空题 ‎1．写出命题“”的否定____：.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，根据存在性命题与全称命题互为否定关系，即可求解命题的否定，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据存在性命题与全称命题的关系可得，‎ 命题 “”的否定为“ ”。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了全称命题与存在性命题的关系，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的互为否定关系，正确书写命题的否定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。‎ ‎2．某中学生一周内每日睡眠时间分别是6，6，7，x，7，8，9(单位：小时)，若该组数据的平均数为7，则该组数据的方差为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由改组数据的平均数为7，求得，再根据方差的计算公式，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，某中学生一周内每日睡眠时间分别为，且数据的平均数为7，‎ 则，解得，‎ 所以该组数据的方差为：‎ ‎，‎ 即数据的方程为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数据的平均数与方差的计算，其中解答中熟记数据的平均数和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎3．在平面直角坐标系中，已知点到抛物线准线的距离为4，则的值为____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由抛物线的方程，求得其准线方程，列出方程，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，抛物线准线方程为，可得，解得。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，其中解答中根据抛物线的方程求得其准线方程，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎4．运行如图所示的伪代码，其结果为____.‎ ‎【答案】19‎ ‎【解析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量，各语句的作用可知，该程序的作用是累加并输出S的值，进而可求解答案。‎ ‎【详解】‎ 根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量，各语句的作用可知，‎ 该程序的作用是累加并输出的值，即。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序的伪代码和循环结构的应用，其中解答中根据伪代码依次写出循环得到的的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。‎ ‎5．如图，圆和其内接正三角形，若在圆面上任意取一点，则点恰好落在三角形外的概率为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合三角形及三角形外接圆的面积公式，由几何概型中的面积比，即可求解其概率，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 设正三角形的外接圆的半径为，边长为，‎ 由正弦定理得，解得，‎ 设事件A为“点P恰好落在外”，‎ 由面积比的几何概型，可得，‎ 故答案为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了面积比的几何概型，三角形及三角形的外接圆的面积的应用，其中解答中正确求解正三角形的边长和其外接圆的半径的关系是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎6．如图是某算法流程图，则程序运行后输出的值为____．‎ ‎【答案】41‎ ‎【解析】根据给定的程序框图，计算逐次循环的结果，即可得到输出的值，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，运行程序框图，可得 第一次循环，，不满足判断框的条件，；‎ 第二次循环，，不满足判断框的条件，；‎ 第三次循环，，不满足判断框的条件，；‎ 第四次循环，，不满足判断框的条件，；‎ 第五次循环，，满足判断框的条件，输出，‎ 故答案为41.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。‎ ‎7．一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题，求得基本事件的总数15种，再求得2只颜色相同包含的基本事件的个数，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只篮球，从中1次随机摸出2只球，则基本事件的总数为种情况，‎ 又由2只颜色相同包含的基本事件个数为，‎ 所以2只颜色相同的概率为。‎ 故答案为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中认真审题，利用排列、组合的知识分别求得基本事件的总数和事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎8．若曲线在处切线的斜率为2，则实数的值为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，求得函数的导数为，得到，令，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数的导数为，‎ 当时，，令，解得。‎ 故答案为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的导数的计算与应用，其中解答中熟记导数的计算公式，以及函数在某点处的导数的计算，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎9．已知双曲线的一个焦点坐标为，且它的一条渐近线与直线：垂直，则双曲线的标准方程为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，先求得，再由它的一条渐近线与直线垂直可得 ‎，根据，求得的值，即可得出双曲线的方程。‎ ‎【详解】‎ 由题意知，双曲线的一个焦点的坐标为，所以，‎ 又由它的一条渐近线与直线垂直，所以，即，‎ 又因为，解得，所以双曲线的标准方程为。‎ 故答案为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，及两直线的位置关系的应用，其中解答中根据两直线垂直和双曲线的几何性质，列出方程求得的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎10．若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出2名代表参加学校会议，则甲、乙两人至少有一人被选中的概率为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议，求得基本事件的总数，再由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中，求得其包含的基本事件的个数，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议，‎ 则基本事件的总数为，‎ 又由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中，‎ 其包含的基本事件的个数为，‎ 所以甲乙两人至少有一人被选中的概率为。‎ 故答案为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式，以及对立事件的应用，其中解答中认真审题，合理选择方法，分别求得基本事件的总数和事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎11．若直线与方程所表示的曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意画出方程所表示的图象，结合直线与圆的位置关系的判定，即可求解答案。‎ ‎【详解】‎ 由方程平方得方程，‎ 所以方程对应的曲线是以为圆心，半径为1的右半圆，‎ 当直线经过点时，直线和曲线有两个不同的交点，‎ 此时，得，‎ 当直线在第四象限与圆相切时，有一个交点，‎ 此时圆心到直线的距离为，‎ 得，解得（舍去）或，‎ 要使得直线和曲线有两个不同的交点，则直线位于切线和之间，‎ 则满足，即实数的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中根据题意画出方程 所表示的图象，结合直线与圆的位置关系的判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。‎ ‎12．已知椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为.若点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出直线AB的方程，通过椭圆的中心到直线的距离列出方程，得到的关系式，然后求解椭圆的离心率，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据椭圆的方程，可得，‎ 则直线AB的方程为，‎ 由点F到直线AB的距离为，所以，‎ 整理可得，即，‎ 即，解得或（舍去），‎ 故答案。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，以及椭圆的离心率的求解问题，其中解答中根据点到直线的距离公式，列出关于，得到关于离心率的方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎13．在平面直角坐标系中，已知圆圆.若圆上存在点，过点作圆的切线，切点为，且，则实数的取值范围为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设点，由，整理得，即点在以为圆心，半径的圆上，要使得在圆上存在点，使得，得到 ‎，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 设点，‎ 由题意知，则，即，‎ 整理得，即，‎ 所以点在以为圆心，半径的圆上，‎ 要使得在圆上存在点，使得，‎ 则满足，解得，‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，以及两点间的距离公式和切线长公式的应用，其中解答中把圆上存在点，转化为两圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。‎ ‎14．已知函数(为常数，为自然对数的底数)，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得函数的导数，分类讨论求得函数的单调性和最值，利用函数的最值，即可求解实数的取值范围，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，‎ 所以，即；‎ 当时，令，解得，‎ 当时，解得，此时函数单调递增，‎ 当时，解得，此时函数单调递减，‎ 若，即时，若，即时，‎ 当时，即，函数在上单调递增，‎ 所以，此时无解，‎ 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，解得，‎ 综上所述，可得实数的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用。‎ 二、解答题 ‎15．命题：指数函数是减函数；命题：，使关于的方程有实数解，其中.‎ ‎(1)当时，若为真命题，求的取值范围；‎ ‎(2)当时，若且为假命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）当时，根据指数函数的单调性，即可求得实数的取值范围为. ‎ ‎(2)当时，根据指数函数的性质和一元二次方程的性质，分别求得命题为真命题时，实数的取值范围，进而分类讨论，得到且为假命题时，实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，指数函数化为 因为指数函数是减函数，所以 即 所以实数的取值范围为.‎ ‎(2)当时，指数函数化为 若命题为真命题，则，即 所以为假命题时的取值范围是或 命题为真命题时，即关于的方程有实数解，‎ 所以，解得，‎ 所以命题为假命题时的取值范围为 因为且为假命题，所以为假命题或者为假命题 所以实数满足或或，即或 所以实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用复合命题的真假求得参数的取值范围问题，其中解答中合理利用指数函数的性质和一元二次方程的性质，求解当命题都为真命题时实数的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎16．随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享助力单车”在很多城市相继出现．某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了100名用户，得到用户的满意度评分（满分10分），现将评分分为5组，如下表：‎ 组别 一 二 三 四 五 满意度评分 ‎[0，2）‎ ‎[2，4）‎ ‎[4，6）‎ ‎[6，8）‎ ‎[8，10]‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ a ‎32‎ ‎16‎ 频率 ‎0.05‎ b ‎0.37‎ c ‎0.16‎ ‎(1)求表格中的a，b，c的值；‎ ‎(2)估计用户的满意度评分的平均数；‎ ‎(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为多少？‎ ‎【答案】(1)，，；(2) 5.88；(3) 13.‎ ‎【解析】（1）由频数分布表，即可求解表格中的的值；‎ ‎（2）由频数分布表，即可估计用户的满意度平分的平均数；‎ ‎（3）从这100名用户中随机抽取25人，由频数分布表能估计满意度平分低于6分的人数。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由频数分布表得，解得，，；‎ ‎(2)估计用户的满意度评分的平均数为：‎ ‎.‎ ‎(3)从这100名用户中随机抽取25人，估计满足一度评分低于6分的人数为：‎ 人.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频数分布表的应用，以及平均数、频数的求解，其中解答中熟记频数分布表的性质，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题。‎ ‎17．在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，记外接圆为圆.‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）存在，且个数为2‎ ‎【解析】(1)设外接圆的方程为，将 三点代入圆的方程，列出方程组，求得的值，即可得到圆的方程；‎ ‎(2)设点的坐标为，由，化简得，利用直线与圆相交，即可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设外接圆的方程为,‎ 将代入上述方程得：‎ 解得 则圆的方程为 ‎(2)设点的坐标为，‎ 因为，所以 化简得：.‎ 即考查直线与圆的位置关系 点到直线的距离为 所以直线与圆相交，故满足条件的点有两个。.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用问题，其中解答中利用待定系数法求解圆的方程，以及合理利用直线与圆的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎18．如图，已知、两个城镇相距20公里，设是中点，在的中垂线上有一高铁站，的距离为10公里.为方便居民出行，在线段上任取一点（点与、不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到处，再铺设快速路分别到、两处.因地质条件等各种因素，其中快速路造价为1.5百万元/公里，快速路造价为1百万元/公里，快速路造价为2百万元/公里，设,总造价为(单位：百万元).‎ ‎(1)求关于的函数关系式，并指出函数的定义域；‎ ‎(2)求总造价的最小值，并求出此时的值.‎ ‎【答案】（1），()（2）最小值为，此时 ‎【解析】（1）由题意，根据三角形的性质，即可得到；‎ ‎（2）构造函数，利用导数求得函数的单调性，即可求解函数的最值。‎ ‎【详解】‎ ‎(1),‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ (2)设 则 令，又，所以.‎ 当,,,单调递减；‎ 当,,,单调递增；‎ 所以的最小值为.‎ 答：的最小值为(百万元)，此时 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用导数求解函数单调性与最值问题，其中解答中认真审题，合理建立函数的关系式，准确利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。‎ ‎19．如图，在平面直角坐标系中，点 在椭圆：上，且椭圆的离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)记椭圆的左、右顶点分别为、,点是轴上任意一点(异于点)，过点的直线与椭圆相交于两点.‎ ‎①若点的坐标为，直线的斜率为，求的面积;‎ ‎②若点的坐标为，连结交于点，记直线的斜率分别为，证明：是定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）①；②详见解析.‎ ‎【解析】(1)由题意，根据题设条件，列出方程组，求得的值，即可得到答案。‎ ‎（2）设的坐标分别为 ‎，①中，联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式求得，进而可求解三角形的面积；②中，直线 与椭圆联立方程组，根据根与系数的关系，求得点的坐标，利用三点共线和斜率公式，即可判定，得到答案。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为，得，所以椭圆的标准方程是.‎ ‎（2）设的坐标分别为，‎ ‎①直线:代入椭圆方程得：，‎ 所以 ‎ 所以=..‎ ‎②直线，联立方程组得：‎ ‎，‎ 则，‎ 所以.‎ 同理可得：‎ 又因为三点共线，所以，即，将三点坐标 代入上式得：，化简得 整理得：，因为，所以即11分 又联立得 所以 所以.‎ 当时，点或，‎ 均满足.‎ 所以为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。‎ ‎20．设函数 ，.‎ ‎(1)当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎(2)求函数在上的最小值(为自然对数的底数)；‎ ‎(3)是否存在实数，使得对任意正实数均成立？若存在，求出所有满足条件的实数的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）;（2）详见解析（3）当且仅当时，符合题意 ‎【解析】(1)由题意，求得函数的导数，进而求得，，即可求得切线的方程；‎ ‎(2)求得函数的导数，分类讨论得到函数的单调性，进而可求解函数的最值。‎ ‎(3)由题意，令，求得函数的导数，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可作出求解。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为函数，且，‎ 所以，‎ 所以 所以，‎ 所以曲线在处的切线方程是，即 ‎(2)因为函数，所以 ‎1°当时，，所以在上单调递增.‎ 所以函数在上的最小值是 ‎2°当时，令，即，所以 令，即，所以 ‎（i）当，即时，在上单调递增，‎ 所以在上的最小值是 ‎（ii）当，即时，在上单调递减，在上单调 递增，所以在上的最小值是 ‎（iii）当，即时，在上单调递减，‎ 所以在上的最小值是 综上所述，当时，在上的最小值是 当时，在上的最小值是 当时，在上的最小值是.‎ ‎(3)令，‎ 则，且 若，即，得.‎ 若时，，‎ 令，则，则在上是增函数，‎ 而，则有 当时，，当时，，‎ 所以当时，有极小值，也是最小值，则有 成立 当时，，（），‎ 则，‎ 所以在内存在，使，即当时，有，‎ 则在是减函数，则有，即这与不符，‎ 则不成立； ‎ 当时，‎ ‎，‎ 则在是增函数，则有，即这与不符；‎ 当时，则，则有 ‎，这与不符合.‎ 绽上所述，当且仅当时，在定义域上恒成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎