2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版

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绝密★启用前 黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先分别求出集合A和B，利用交集定义能求出结果．‎ 详解：∵集合 ， ∴． 故选：A．‎ 点睛：本题考查交集的求法，考查交集、并集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属基础题．‎ ‎2．对于任意实数 以下四个命题正确的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由不等式的性质，逐个选项验证可得答案．‎ 详解：‎ 选项①，由不等式的可加性可得 故A正确，‎ 选项②，由不等式的性质可得；时不正确， 选项③，则错误，比如 ，但 ；   选项④若错误，需满足均为正数才可以． 故选：A．‎ 点睛：本题考查不等式的性质，属基础题．‎ ‎3．已知复数z满足(i−1)(z−)=2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为 A. i−1 B. 1+2i C. 1−i D. 1−2i ‎【答案】B ‎【解析】分析：把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ 详解：由(i−1)(z−)=2i(， 得， 则的共轭复数为 ． 故选：B．‎ 点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎4．下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在上不是单调递增函数.故选D.‎ ‎5．下列双曲线中，渐近线方程为的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由双曲线的渐近线方程为，得。选项B中；选项C中；选项B中；故选A.‎ 考点：双曲线的渐近线方程和标准方程之间的关系.‎ ‎6．下列四个命题:‎ ‎①命题“若，则”的逆否命题为:“若，则”；‎ ‎②“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎③若原命题为真命题，则原命题的否命题一定为假命题；‎ ‎④对于命题,使得，则，均有，‎ 其中正确命题的个数是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【解析】分析：①．利用逆否命题的定义即可判断出正误； ②．由，解得，2，即可判断出关系；‎ ‎③举例说明原命题为真时，它的否命题不一定为假 ④特称命题：使的否定是：把改为 ‎ ，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．‎ 详解：‎ ‎①命题“若，则”的逆否命题为:“若，则”，正确； ②由，解得，2，因此“”是“”的充分不必要，正确；‎ ‎③原命题为真时，它的否命题不一定为假命题，如时，，它的否命题是时，，都是真命题，故③不正确；‎ ‎④对于命题,使得，则，均有，正确．‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考查了充分与必要条件的判断，命题的逆否命题的写法，复合命题的真假关系的应用，属于中档题． ‎ ‎7．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：函数在区间内是增函数，转化成导数在这个区间上大于等于0恒成立问题，然后把恒成立转化成导数的最小值大于等于0．‎ 详解：‎ ‎ ‎ 要使函数在区间上单调递增， 需 在上恒成立；‎ ‎ 即在上恒成立，‎ ‎ 即0在上恒成立， 即在上恒成立，‎ 而 ‎ 当且仅当时等号成立，符合题意.即.‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，重点考查了转化思想与分类讨论的思想；关键是把问题转化成求最值问题解决．‎ ‎8．若是圆的弦,的中点是,则直线的方程是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查直线方程，斜率公式，直线垂直，圆的几何性质.‎ 圆的圆心为 的中点是根据圆的性质知：直线的斜率为则直线的斜率为由点斜式得直线方程为 故选B ‎9．执行如图所示的程序框图，则可以输出的函数为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：结合流程图逐一考查函数的性质即可确定输出值，然后选择题意要求的函数即可．‎ 详解：A．是奇函数，则输入该函数时输出的结果为：“是奇函数”； B ，且函数值恒大于0，不是奇函数，此时“非负”； C．，不是奇函数，也不是非负，则输出函数； D．，且函数不是奇函数，则输出的结果为“非负”； 故选：B．‎ 点睛：本题考查了函数的性质，流程图及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．‎ ‎10．函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,构造函数,,故当时,即,排除两个选项.而,故排除选项.所以选D.‎ ‎11．学校选派甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表学校参加市级“演讲”和“诗词”比赛，下面是他们的一段对话．甲说：“乙参加‘演讲’比赛”；乙说：“丙参加‘诗词’比赛”；丙说“丁参加‘演讲’比赛”；丁说：“戊参加‘诗词’比赛”；戊说：“丁参加‘诗词’比赛”．‎ 已知这5个人中有2人参加“演讲”比赛，有3人参加“诗词”比赛，其中有2人说的不正确，且参加“演讲”的2人中只有1人说的不正确．根据以上信息，可以确定参加“演讲”比赛的学生是 A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 丁和戊 D. 甲和丁 ‎【答案】D ‎【解析】假设参加演讲比赛的是甲和乙,只有丙说话不正确,故排除选项.假设乙和丙参加演讲,则乙丙两人都说错了,故排除选项.假设丁和戊参加演讲,则丁戊两人多说错了,故排除选项.本题选.‎ ‎12．设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当.若 ，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：设 ，判断的奇偶性和单调性，得出的范围．‎ 详解：设，则， ∴是偶函数． 当.， ∴在 上是增函数，‎ ‎∵， ∴‎ 即 ， ∴ ， 即． 故选：A．‎ 点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，考查导数的应用以及函数恒成立问题以及转化思想，关键是构造函数并分析函数的单调性．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数在其极值点处的切线方程为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．‎ 详解：依题解：依题意得 令 ，可得 ， ∴ ． 因此函数在其极值点处的切线方程为． 故答案为：．‎ 点睛：本题考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎14．已知实数x，y满足，则的最大值为___________．‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】分析：画出可行域，平移直线，即可得到最大值.‎ 详解：画出可行域如图所示，可知当目标函数经过点时取得最大值，最大值为 ‎ 即答案为14.‎ 点睛：本题考查利用线性规划解决实际问题，属中档题.‎ ‎15．若函数在上有极值点，则的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求函数的导数，利用函数取值极值转化为有根进行求解即可．‎ 详解：，则函数在上有极值点，转化为有根，当时，显然又跟，符合题意；‎ 当时，函数在上有极值点，则有两个不同的实根，则 ‎ 综上的取值范围是.‎ 即答案为.‎ 点睛：本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．‎ ‎16．已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题双曲线的离心率，若“”为假命题，“”为真命题，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据椭圆的性质，可求出命题方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题时，实数的取值范围；根据双曲线的性质，可得命题双曲线的离心率为真命题时，实数的取值范围；进而结合“”为假命题，“”为真命题即命题中有且只有一个为真命题，得到答案．‎ 详解：若命题方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题时； 则 解得 ， 则命题为假命题时，或， 若命题双曲线的离心率为真命题时； 则 即即 ‎ 则命题为假命题时，，或 ， ∵“”为假命题，“”为真命题，一次命题中有且只有一个为真命题， 当真假时，0， 当假真时，， 综上所述，实数的取值范围是：，或． ‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查的知识点是命题的判断与应用，综合性强，难度稍大，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设，且，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）5‎ ‎【解析】分析：（1）分类讨论，去掉绝对值符号，然后求解，注意最后取并集；‎ ‎（2）利用柯西不等式可求的最大值.‎ 详解：‎ ‎（1）①当时，，得，∴；‎ ‎②当时，成立，∴；‎ ‎③当时，，得，∴；‎ 综上，不等式的解集为．‎ ‎（2）由柯西不等式，得[42＋()2＋22]·[()2＋()2＋()2]≥(x＋y＋z)2，‎ 即25≥(x＋y＋z)2. ∴－5≤x＋y＋z≤5.当且仅当时上式取等号 ‎∴当，x＋y＋z的最大值为5．‎ 点睛：本题考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，属基础题.‎ ‎18．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线的交点为，点为圆的圆心，求的面积.‎ ‎【答案】（1），；（2）2‎ ‎【解析】分析：（1）由直线的极坐标方程能求出直线的直角坐标方程，由圆的普通方程，能求出C1 的极坐标方程． ‎ ‎（2）将代入，得，从而得解得,故,即.．由圆C1的半径为2，能求出的面积．‎ 详解：‎ ‎（1）圆普通方程 所以的极坐标方程为 直线的直角坐标方程为 ‎ ‎（2）将代入,得,‎ 解得,故,即. ‎ 由于圆的半径为,所以的面积为 点睛：本题考查曲线的极坐标方程、直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标、直角坐标、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎19．已知函数的图象过点,且在点M处的切线方程为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的单调区间。‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，结合切线方程建立方程关系，求出b，c，d，即可求函数f（x）的解析式； （2）求函数的导数，即可求函数f（x）在定义域上的单调性．‎ 试题解析：‎ ‎(1)；(2)增区间是和 解：(1)由的图象经过，知，所以，‎ ‎，‎ 由在处的切线方程是，知 ‎，即，，‎ ‎∴，即，解得.‎ 故所求的解析式是.‎ ‎(2)，令，即，‎ 解得，，当或时，，‎ 当时，，‎ 故的增区间是和.‎ 减区间是.‎ ‎20．已知是函数的一个极值点.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设函数，若函数在区间内单调递增，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）递减区间，递增区间；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先对函数进行求导，然后利用极值或极值点的定义知，从而求出参数的值，再令导数小于0即可求出函数的单调减区间；（2）首先求出函数的导函数，然后将已知条件“函数在区间内单调递增”等价于“在区间上恒成立”，进一步地可得在区间上，最后求出函数即可求出实数的取值范围．‎ 试题解析：（1）因为是的一个极值点，所，经检验，适合题意，所以，定义域为，，所以函数的单调递减区间为．‎ ‎（2），,因为函数在上单调递增，所以恒成立，即恒成立,所以,而在上,所以．‎ 考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数在研究函数的极值中的应用．‎ ‎21．已知动点到直线的距离是它到点的距离的2倍．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的直线与轨迹交于两点，若是的中点，求直线的斜率．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点的轨迹的方程； （Ⅱ）经分析当直线的斜率不存在时，不满足是的中点，然后设出直线的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出x，结合得到关于的方程，则直线的斜率可求．‎ 详解：‎ ‎（1）， ‎ ‎（2）由条件知直线有斜率，设 与联立得 设则 又是的中点，‎ ‎，此时 故直线斜率 点睛：本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题．‎ ‎22．已知函数（）.‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）若，求函数在上的最小值的取值范围．‎ ‎【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）时，，‎ 列表可求函数的极值；‎ ‎（2），‎ 求出，‎ 记，，在上单调递减 记可证 ‎，即可得到函数在上的最小值的取值范围．‎ 详解：‎ ‎（1）‎ 时，，‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 的极大值为，的极小值为 ‎ ‎（2），‎ ‎，在上单调递增 ‎，存在使得，‎ 上单调递减，上单调递增，‎ ‎，‎ 记，，在上单调递减 记 在上单调递减 ‎ 最小值的取值范围是 ‎ 点睛：本题考查路导数研究函数的性质，属难题.‎