2020年山东省聊城市高考模拟考试（三模）数学试题

2020年山东省聊城市高考模拟考试（三模）数学试题

‎ ‎ ‎2020年聊城市高考模拟试题 数学（三）2020.06‎ 一、单项选择题．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知向量，，，则向量与相邻的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在某技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如下的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母代替．已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲乙成绩的中位数分别为（ ）‎ A．20 20 B．21 20 C．20 21 D．21 21‎ ‎5．函数的图像大致是（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎6．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是（ ）‎ A．9寸 B．7寸 C．8寸 D．9寸 ‎7．某部队在演习过程中，用悬挂的彩旗来表达行动信号，每个信号都由从左到右排列的4面彩旗组成，有红、黄、蓝三种颜色的彩旗．若从所有表达的信号中任选一种，则这种信号中恰有2面红色棋子的概率为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知线段是圆的一条动弦，且，若点为直线上的任意一点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、多项选择题．‎ ‎9．下列命题正确的是（ ）‎ A．在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小 B．已知，当不变时，越大，的正态密度曲线越矮胖 C．若在平面内存在不共线的三点到平面的距离相等，则平面平面 D．若平面平面，直线，，则 ‎10．已知函数（ ）‎ A．为的周期 B．对于任意，函数都满足 C．函数在上单调递减 D．的最小值为 ‎11．关于函数，下列判断正确的是（ ）‎ A．函数的图像在点处的切线方程为 B．是函数的一个极值点 C．当时，‎ D．当时，不等式的解集为 ‎12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若 ‎ ‎ ‎，则（ ）‎ A．‎ B．双曲线的离心率 C．双曲线的渐近线方程为 D．原点在以为圆心，为半径的圆上 三、填空题．‎ ‎13．已知数列中，，，则______．‎ ‎14．四张卡片上分别写有数字3、4、5、6，甲、乙、丙、丁四名同学各取走一张，若甲、乙两名同学卡片上的数字都是偶数，甲、丙两名同学卡片上的数字之和大于9，则______同学卡片上的数字最小．‎ ‎15．已知，其中，则______．‎ ‎16．在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为棱上的动点，则的最大值为______，若点为棱的中点，三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为______．‎ 四。解答题．‎ ‎17．已知数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，数列满足，求数列的前项和．‎ ‎18．在①，，且，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．‎ 在中，角，，的对边分别为，，，且______．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求周长的最大值．‎ ‎（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）‎ ‎19．如图1所示，为矩形，四边形为正方形．与为全等的等腰梯形，其中 ‎ ‎ ‎，沿着，，，折成如图2所示的几何体，使，，，分别与，，，重合．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，为椭圆上异于长轴端点的任意一点，面积的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知为椭圆的右顶点，过左焦点的动直线交椭圆于，两点（异于点），直线，与定直线的交点分别为，，若以为直径的圆经过点，求直线的方程．‎ ‎21．贝诺酯为对乙酰氨基酚与阿司匹林的酯化产物，是一种新型的抗炎、抗风湿、解热镇痛药，主要用于类风湿关节炎、急慢性风湿性关节炎、神经痛及术后疼痛．药监部门要利用小白鼠扭体实验，对某厂生产的该药品的镇痛效果进行检测，若用药后的小白鼠扭体次数没有减少，扭体时间间隔没有变长，则认定镇痛效果不明显．‎ ‎（1）若该药品对雌性小白鼠镇痛效果明显的概率为，对雄性小白鼠镇痛效果明显的概率为，药监部门要利用两只雌性和两只雄性小白鼠检测该药药效，对4只小白鼠逐一检测．若在检测过程中，一只小白鼠用药后镇痛效果明显，记录积分为1，镇痛效果不明显，则记录积分为．用随机变量表示检测4只小白鼠后的总积分，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（2）若该药品对每只雌性小白鼠镇痛效果明显的概率均为，现对6‎ ‎ ‎ 只雌性小白鼠逐一进行检测，当检测到镇痛效果不明显的小白鼠时，停止检测．设至少检测5只雌性小白鼠才能发现镇痛效果不明显的概率为，求最大时的值．‎ ‎22．已知函数，，．‎ ‎（1）设，讨论极值点的个数；‎ ‎（2）判断方程的实数根的个数，并证明：．‎ ‎2020年聊城市高考模拟 数学（三）答案及评分标准2020.06‎ 一、单项选择题 ‎1．D 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D 7．A 8．C 二、多项选择题 ‎9．AB 10．ABC 11．ACD 12．ABC 三、填空题 ‎13．16 14．丁 15．3 16．，‎ 四、解答题 ‎17．解：（1）设的公差为，且，‎ ‎∴3，，构成等比数列，‎ 即，解得，（舍）．‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵，∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴．‎ ‎ ‎ 当为偶数时，，‎ 当为奇数时，．‎ ‎∴‎ ‎18．解：（1）选①∵，，且，‎ ‎∴．‎ 化简得，，由余弦定理得，‎ 又因为，∴．‎ 选②根据正弦定理，由得，‎ 又因为，‎ 所以，又因为，‎ 所以，又因为，所以．‎ 选③由，得，‎ 即，所以，‎ 又因为，所以，因此．‎ ‎（2）由余弦定理，得．‎ 又∵∴，当且仅当时等号成立，‎ ‎∴，解得，，当且仅当时，等号成立．‎ ‎ ‎ ‎∴．‎ ‎∴的周长的最大值为12．‎ ‎19．（1）证明：∵四边形是正方形，∴，∵四边形是矩形，‎ ‎∴，又∵，平面，‎ ‎∴平面．又因为平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（2）由（1）知平面平面．‎ 过作于点，‎ ‎∵平面平面，‎ 平面平面，‎ ‎∴平面．‎ 过作，且交于点，‎ ‎∴，，两两垂直，‎ 分别以，，为轴，轴，‎ 轴，建空间直角坐标系如图所示：‎ 则，，，‎ ‎，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则由得 令，得．‎ 又平面的一个法向量，‎ ‎∴，‎ ‎ ‎ 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．‎ ‎20．解：（1）由离心率得，，①‎ 因为当点为短轴端点时，面积最大，，②‎ 在椭圆中，③‎ 由①②③解得，，，所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）由（1）知，，，设直线的方程为，‎ 联立消得，‎ 设，，‎ 则，‎ ‎，．‎ 设，，‎ 由，，三点共线得，，‎ ‎∴，同理得，‎ 因为以为直径的圆经过点，‎ 所以，于是，‎ 由，，‎ ‎．‎ 将，，‎ ‎ ‎ 代入上式，得，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，③‎ 将，，‎ 代入③得，‎ 解得，或（舍去）．‎ 故直线的方程为．‎ ‎21．解：（1）由题意，随机变量的可能取值为，，0，2，4．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎．‎ ‎（2）由题意知，‎ ‎，．‎ ‎ ‎ 令得，．‎ ‎∴当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ ‎∴当，取得最大值．‎ ‎22．解：（1），，‎ ‎∴，‎ ‎①当时，，‎ 在内单调递增，没有极值点．‎ ‎②当时，令，‎ 当时，，‎ ‎∴在上单调递增．‎ 又，，‎ ‎∴，使，且当时，‎ ‎，当时，，‎ 从而，当时，，‎ 单调递减，当时，‎ ‎，单调递增，‎ ‎∴是函数的极小值点．‎ 综上，当时，无极值点，‎ 当时，有一个极值点．‎ ‎ ‎ ‎（2）方程可化为．‎ 设，则原方程又可化为．‎ 设，则．‎ ‎∵，当时，，‎ 在上单调递减，‎ 当时，，‎ 在上单调递增；‎ ‎，所以当时，‎ ‎，所以方程只有一个实数根，‎ ‎∴方程只有一个实数根．‎ ‎∵对于任意的，．‎ ‎∴‎ ‎，‎ 即，‎ ‎∴．‎