江苏南京九中2013届高三下学期二模模拟数学试题

江苏南京九中2013届高三下学期二模模拟数学试题

南京九中2013届高三第二学期二模模拟 数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1、若，且为纯虚数，则实数 ．‎ 解析：为纯虚数，故得．‎ ‎2、设集合，则 ．（2,3）‎ 分数 ‎3、某市高三数学抽样考试中，对 分及其以上的成绩情况进行统计，其频率 分布直方图如右下图所示，若 分数段的人数为人，则分数 段的人数为 ．‎ 解析：根据直方图，组距为，在内的，所以频率为，因为此区间上的频数为，所以这次抽考的总人数为．‎ 因为内的，所以频率为，设该区间的 人数为，则由，得，即分数段的人数 为． ‎ ‎4、已知在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域 面积是9，则常数的值为_________．1‎ ‎5、已知一颗骰子的两面刻有数字1，两面刻有数字2，另两面刻有数字3，‎ 现将骰子连续抛掷3次，则三次的点数和为3的倍数的概率为______． ‎ ‎6、已知某算法的流程图如右图所示，则输出的最后一个数组 为_________． ‎ ‎7、圆柱形容器的内壁底半径是cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为 ▲ ..‎ ‎8、若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 ▲ .‎ 或 ‎9、若实数、满足，则的最大值是 ▲ ．4‎ ‎10、若椭圆的左、右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成两段，则此椭圆的离心率为 ． ‎ 解析：根据题意，可得，解得．‎ ‎11.已知变量，则的最小值为 ▲ .‎ ‎9‎ ‎12、当时，恒成立，则实数的取值为 ．‎ ‎ ‎ ‎13．如图，两射线互相垂直，在射线上取一点使的长为定值，‎ 在射线的左侧以为斜边作一等腰直角三角形．在射线上各有一个动点满足与的面积之比为，‎ 则的取值范围为________________．‎ ‎14．已知定义在上的函数和满足，，．令，则使数列的前项和超过15/16的最小自然数的值为 　　 ．5‎ 解题探究：本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前项和公式等基础知识，考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，关键在于根据题设条件求出的值，从而得到数列的通项公式．‎ 解析：∵，且，∴，从而有，‎ 又，知为减函数，于是得，，由于，故得使数列的前项和超过的最小自然数．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小值和最小正周期；‎ ‎（2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若 ‎，求，的值．‎ ‎15. 解：（1），…………3分 ‎ 则的最小值是－2， …………5分 ‎ 最小正周期是； …………7分 ‎（2），则，‎ ‎ ，‎ ‎，， …………10分 ‎，由正弦定理，得，① …………11分 由余弦定理，得，即， ②‎ 由①②解得． …………14分 ‎16．（本小题满分14分）‎ 在直三棱柱中，AC=4,CB=2,AA1=2，，E、F分别是 A B C E F P 的中点．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）证明：平面ABE；‎ ‎（3）设P是BE的中点，求三棱锥的体积．‎ ‎16.（1）证明：在，∵AC=2BC=4, ‎ ‎∴，∴，∴‎ ‎ 由已知， ∴‎ ‎ 又∵ …………5分 ‎（2）证明：取AC的中点M，连结 在,‎ 而，∴直线FM//平面ABE 在矩形中，E、M都是中点，∴‎ ‎ 而，∴直线 又∵ ∴‎ 故 …………………………10分 ‎（或解：取AB的中点G，连结FG，EG，证明 EG，从而得证）‎ ‎（3）取的中点，连结，则且，‎ 由（1），∴，‎ ‎ ∵P是BE的中点，‎ ‎ ∴…………………………………14分 ‎17、（本小题满分14分）‎ 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间大体满足关系：‎ ‎（其中为小于6的正常数）‎ ‎（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）‎ 已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.‎ ‎（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数；‎ ‎（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？‎ 解：（1）当时，，‎ 当时，，‎ 综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：‎ ‎ ------------------------- 6‎ ‎（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0‎ ‎ 当时，‎ 当且仅当时取等号 所以当时，，此时 ‎ 当时，由知 函数在上递增，，此时 综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润 ‎ 若，则当日产量为万件时，可获得最大利润 -------------------------14‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 已知椭圆的离心率为，一条准线．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设O为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于两点．‎ ‎ ①若，求圆的方程；‎ ‎②若是l上的动点，求证点在定圆上，并求该定圆的方程．‎ ‎18. 解：（1）由题设：，，，‎ 椭圆的方程为： ………………………… 4分 ‎（2）①由（1）知：，设，‎ 则圆的方程：， ………………………… 6分 直线的方程：， ………………………… 8分 ‎，， ………………………… 10分 ‎，‎ 圆的方程：或 …………… 12分 ‎②解法（一）：设，‎ ‎ 由①知：，‎ 即：， ………………………… 14分 ‎ 消去得：=2‎ ‎ 点在定圆=2上． ………………………… 16分 ‎ 解法（二）：设，‎ ‎ 则直线FP的斜率为，‎ ‎∵FP⊥OM，∴直线OM的斜率为，‎ ‎ ∴直线OM的方程为：，‎ 点M的坐标为． …………………………14 分 ‎ ∵MP⊥OP，∴,‎ ‎∴ ‎ ‎∴=2,点在定圆=2上． …………………………16 分 ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前 项和，且满足 ‎，．数列满足，为数列的前n项和．‎ ‎（1）求数列的通项公式和数列的前n项和；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 19.解：（1）（法一）在中，令，，‎ 得 即 ………………………2分 解得，，‎ 又时，满足， ………………3分 ‎，‎ ‎． ………………5分 ‎（法二）是等差数列， ‎ ‎． …………………………2分 由，得 ， ‎ 又，，则． ………………………3分 ‎(求法同法一)‎ ‎（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立． …………………………………6分 ‎ ，等号在时取得． ‎ 此时 需满足． …………………………………………7分 ‎②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立． …………………………………8分 ‎ 是随的增大而增大， 时取得最小值． ‎ 此时 需满足． …………………………………………9分 综合①、②可得的取值范围是． ………………………………………10分 ‎（3）， ‎ ‎ 若成等比数列，则，‎ 即． ………………………12分 由，可得，即，‎ ‎． ……………………………………14分 又，且，所以，此时．‎ 因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列．…16分 ‎[另解：因为，故，即，‎ ‎，（以下同上）． ……………………………………14分]‎ ‎20．(本小题满分16分)‎ Equation Chapter 1 Section 1 已知函数.‎ ‎( I )若, 求+在[2，3]上的最小值；‎ ‎( II)若时, , 求的取值范围；‎ ‎(III)求函数在[1，6]上的最小值. ‎ 解:(1)因为,且[2，3],所以,‎ 当且仅当x=2时取等号,所以在[2，3]上的最小值为 ‎(2)由题意知,当时,,即恒成立所以,即对恒成立,‎ 则由,得所求a的取值范围是 ‎(3) 记,则的图象分别是以(‎2a-1,0)和(a,1)为顶点开口向上的V型线,且射线的斜率均为.‎ ‎①当,即时,易知在[1，6]上的最小值为 ‎②当a<1时,可知‎2a－1a,可知,‎ ‎(ⅰ)当,得,即时,在[1，6]上的最小值为 ‎(ⅱ)当且时,即,在[1，6]上的最小值为 ‎ ‎(ⅲ)当时,因为,所以在[1，6]上的最小值 为 综上所述, 函数在[1，6]上的最小值为