2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高二上学期12月月考文科数学试题 解析版

2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高二上学期12月月考文科数学试题 解析版

绝密★启用前 ‎2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高二上学期12月月考文科数学试题 解析版 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知命题：，，则命题的否定为 A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【详解】‎ 因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：，则￢p为：，．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎2．总体由编号为，，…，，的个个体组成，现从中抽取一个容量为的样本，请以随机数表第行第列开始，向右读取，则选出来的第个个体的编号为 ‎70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03‎ ‎56 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 从随机数表第行第列开始由左到右依次选取两个数字中小于30的编号依次为 ‎29，17，12，13，26，03，‎ 则第5个个体的编号为26．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎3．已知甲：或，乙：，则甲是乙的 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎“或”推不出“‎ ‎“能推出“或”，必要性具备，‎ ‎∴甲是乙的必要不充分条件 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，注意“或”是或命题，一真俱真，属于基础题.‎ ‎4．已知直线的方程为，直线的方程为，则的充要条件是 A．或 B．‎ C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接由两直线垂直的系数间的关系列式求解m的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线的方程为，直线的方程为，‎ ‎∴l1⊥l2的充要条件是 即m（2m﹣2）＝0，‎ 解得：m＝0或m＝1．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，若两直线A1x+B1y+C1＝0与A2x+B2y+C2＝0垂直，则A1A2+B1B2＝0，是基础题．‎ ‎5．在正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线与所成角为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据MN∥，可知∠即为异面直线与 所成的角，解之即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵点分别是棱的中点，‎ ‎∴为平行四边形，‎ ‎∴MN∥‎ ‎∴∠即为异面直线与 所成的角，‎ 在等边三角形中，易知：∠‎ ‎∴异面直线与所成角为60°‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中通过平移构造出两条异面直线所成的角是解答本题的关键．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T的值，模拟程序的运行过程，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 执行程序框图，有 ‎,‎ ‎,不满足条件返回，‎ ‎,不满足条件返回，‎ ‎,不满足条件返回，‎ ‎,满足条件 ‎ 退出循环，输出，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎7．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小．‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图可看出甲的平均数是，‎ 乙的平均数是 ，‎ ‎∴两组数据的平均数相等．‎ 甲的方差是（36+1+0+0+1+36），‎ 乙的方差是（49+4+0+0+4+49）．‎ ‎∴甲的标准差小于乙的标准差，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．‎ ‎8．某市进行了一次法律常识竞赛，满分分，共有人参赛，得分全在内，经统计，得到如下的频率分布直方图，若得分在的有人，则 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由频率分布直方图的性质能求出a的值，进而可得值.‎ ‎【详解】‎ 由频率分布直方图的性质得：‎ ‎（a+0.010+0.020+0.030+0.035）×10＝1，‎ 解得：a=0.005‎ ‎∵有人参赛，得分在的有人，‎ ‎∴‎ 解得：N=600‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率、频数的计算问题，也考查了数形结合的数学思想，是基础题目．‎ ‎9．以下命题为真命题的个数为 ‎①若命题的否命题是真命题，则命题的逆命题是真命题 ‎②若，则或 ‎③若为真命题，为真命题，则是真命题 ‎④若，，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由逆否命题同真同假可知①②正确，根据复合命题真值表可知③错误，把不等式有解问题转化为函数的最值问题可判④正确.‎ ‎【详解】‎ ‎①根据命题的否命题与命题的逆命题互为逆否命题，同真同假，故①正确；‎ ‎②命题的逆否命题为：若a＝2且b＝3，则a+b＝5，显然正确，故原命题正确，故②正确；‎ ‎③若为真命题，为真命题，则p为假命题，q为真命题，是假命题，故③错误；‎ ‎④，，则的最大值大于零即可，易知在上单调递增，所以＞0，即，故④正确.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断．其中②的判断是本题难点，转化为其逆否命题是关键，属于基础题．‎ ‎10．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)‎ A． B． C．1－ D．1－‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题是几何概型问题，欲求点P与点O距离大于1的概率，先由与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积易得结果．‎ ‎【详解】‎ 本题是几何概型问题，‎ 与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，‎ 其体积为：V1‎ ‎“点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为23，‎ 则点P与点O距离大于1的概率是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎11．若椭圆与双曲线的离心率之积等于，则称这组椭圆和双曲线为孪生曲线．已知曲线：与双曲线是孪生曲线，且曲线与曲线的焦点相同，则曲线的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由孪生曲线定义可知双曲线的基本量，从而得到其渐近线方程.‎ ‎【详解】‎ 曲线：的离心率为，‎ 又曲线：与双曲线是孪生曲线，‎ ‎∴双曲线的离心率为 由曲线与曲线的焦点相同可知：双曲线的焦点位于y轴上，且半焦距为4‎ ‎∴双曲线的实半轴长为，短半轴长为，‎ ‎∴曲线的渐近线方程为：‎ ‎【点睛】‎ 本题以“孪生曲线”为背景，考查了椭圆与双曲线的简单几何性质，属于中档题.‎ ‎12．已知⊙的方程是，，，若在⊙上存在点，使，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在⊙上存在点，使转化为两个圆有公共点的问题.‎ ‎【详解】‎ 根据直径对的圆周角为90°，结合题意可得以AB为直径的圆和圆 有交点，即两个圆相交或相切．‎ 而以AB为直径的圆的方程为，两个圆的圆心距为，‎ 故|m﹣|≤≤|m+|，求得≤m≤，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆和圆的位置关系，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点是椭圆上的一点，且，则_____．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆定义即可得到值.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆方程：，‎ ‎∴a＝10，b＝8，‎ ‎∵|PF1|+|PF2|＝2a＝20，‎ ‎∴|PF2|＝20-8=12‎ 故答案为：12‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义的应用，属于基础题.‎ ‎14．若方程表示圆，则实数的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的一般式方程x2+y2 +dx+ey+f＝0（ d2+e2﹣4f＞0），列出不等式即可求出t的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 关于x，y的方程表示圆时，应有4+16﹣4＞0，解得 t＜-1或t＞3，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二元二次方程表示圆的条件，x2+y2 +dx+ey+f＝0表示圆的充要条件是：d2+e2﹣4f＞0．‎ ‎15．已知抛物线：的焦点为，准线是，点是曲线上的动点，点到准线的距离为，点，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用抛物线的定义可得，当A、P、F共线时，取得最小值，由此求得答案．‎ ‎【详解】‎ 抛物线焦点F（4，0），准线x，由抛物线定义|PF|＝d，‎ ‎＝|PA|+|PF|≥|AF|＝， 当且仅当A，P，F三点共线时，取“＝”号，此时，P位于抛物线上，‎ ‎∴的最小值为 ，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎16．已知双曲线的方程为 ，过原点直线与双曲线相交于、两点，点为双曲线的左焦点，且，则的面积为_____．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的对称性可得四边形AFB为矩形，结合双曲线定义及勾股定理可得的面积.‎ ‎【详解】‎ 设为双曲线的右焦点，连接，，‎ 由对称性可知：四边形AFB为矩形，‎ 设 则，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为：9‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查解直角三角形，以及化简运算能力，属于基础题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．据统计，某地区植被覆盖面积（公顷）与当地气温下降的度数（℃）之间呈线性相关关系，对应数据如下：‎ ‎（1）请用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）根据（1）中所求线性回归方程，如果植被覆盖面积为公顷，那么下降的气温大约是多少℃？‎ 参考公式：线性回归方程，其中．‎ ‎【答案】（1）；（2）植被覆盖面积为300公顷时，下降的气温大约是℃.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出四对数据的平均数，得到，把所给的数据代入公式，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，再求出的值，从而得到线性回归方程；‎ ‎（2）把当x＝300时，代入线性回归方程，得到°C，即下降的气温大约是多少°C．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由表知：， ‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以 ，‎ ‎． ‎ 故关于的线性回归方程为．‎ ‎（2） 由（1）得：当时，．‎ ‎ 所以植被覆盖面积为300公顷时，下降的气温大约是℃．‎ ‎【点睛】‎ 求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎18．已知直线的方程为．‎ ‎（1）求直线恒过定点的坐标；‎ ‎（2）若点是圆：上的动点，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把直线方程变形得，联立方程组，求得方程组的解即为直线l恒过的定点；‎ ‎（2）利用圆心到直线距离得到的最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）方程可化为 ‎ ‎ 由 得 ‎ 点的坐标为 ‎ ‎（2）圆：可化为 ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线系方程问题，考查了点到直线的距离公式，正确理解题意是关键，是中档题．‎ ‎19．设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.‎ ‎（1）若a是从区间[0,3]任取的一个整数，b是从区间[0,2]上任取的一个整数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎（2）若a是从区间[0,3]任取的一个实数，b是从区间[0,2]上任取的一个实数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） 利用古典概型概率计算公式求解；‎ ‎（2）应用几何概型概率计算公式求解．‎ ‎【详解】‎ 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．‎ 当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根当且仅当a≥b.‎ ‎(1)基本事件共有12个：‎ ‎(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．‎ 事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝ ‎ ‎(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．‎ 构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．‎ 所以所求的概率为P(A)＝ .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型与几何概型，属于中档题。解决古典概型问题时，首先分析试验的基本事件是什么，然后找到所有的基本事件，计算事件总数，其次要找到所研究事件包含的基本事件，计算总数，然后根据比值计算概率；几何概型问题时，首先分析基本事件的总体， 再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就是度量比，一般是长度、面积、体积。‎ ‎20．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎[160,165)‎ ‎5‎ ‎0.050‎ 第2组 ‎[165,170)‎ ‎①‎ ‎0.350‎ 第3组 ‎[170,175)‎ ‎30‎ ‎②‎ 第4组 ‎[175,180)‎ ‎20‎ ‎0.200‎ 第5组 ‎[180,185)‎ ‎10‎ ‎0.100‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图，并从频率分布直方图中求出中位数（中位数保留整数）；‎ ‎（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，从这6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．‎ ‎【答案】（1）见解析,中位数172；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图能求出第2组的频数，第3组的频率，从而完成频率分布直方图．‎ ‎（2）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，利用列举法能出从这六位同学中抽取两位同学，第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)①由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，②第3组的频率为＝0.300，‎ 频率分布直方图如图所示，‎ ‎160至165的频率为0.05，165至170的频率为0.35，170至175的频率为0.30‎ 故知中位数在170至175之间，设为x，‎ 则（x﹣170）×0.06+0.40＝0.5，‎ 解得x＝172，故中位数为172．‎ ‎(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：‎ 第3组：×6＝3人，‎ 第4组：×6＝2人，‎ 第5组：×6＝1人，‎ 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．‎ 设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，‎ 则从这六位同学中抽取两位同学有 ‎(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共15种，‎ 其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有9种，所以第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.‎ ‎21．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，过点，其焦点在轴上．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）斜率为且与点的距离为的直线与轴交于点，且点的横坐标大于，求点的坐标；‎ ‎（3）是否存在过点的直线，使与交于、两点，且．若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设的方程为，其过点，解得m值，从而得到结果；‎ ‎（2）设的方程为，利用点到直线距离得到，又点的横坐标大于，从而得到点的坐标；‎ ‎（3）设的方程为，代入抛物线方程可得，结合韦达定理即可作出判断.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设的方程为 ‎ 则 ‎ 的方程为 ‎ ‎（2）点的坐标为 ‎ 设的方程为 ‎ 则 ‎ ‎ 与轴的交点为，‎ 又> ‎ ‎ 点的坐标为 ‎ ‎（3）设的方程为，，Q ‎ 由 得 ‎ ， ‎ 要，则要，即不成立 ‎ ‎ 不存在满足条件的直线.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离，考查了推理能力及计算能力，属于基础题.‎ ‎22．设椭圆：(>>)的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆相交于、两点，直线的倾斜角为，的周长是焦距的倍．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若 ，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由的周长是焦距的倍可得，从而解出椭圆的离心率；‎ ‎（2）由可知，设直线的方程为 代入椭圆方程可得利用韦达定理转化条件即可得到的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题知 ‎ ‎,‎ ‎（2） ‎ ‎,‎ 直线的方程为 设，‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，,‎ 椭圆的方程为 由 ‎ 得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 或 又> ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎