数学卷·2018届福建省莆田一中高三上学期第一次月考数学理试题（解析版）

数学卷·2018届福建省莆田一中高三上学期第一次月考数学理试题（解析版）

‎2017-2018学年福建省莆田一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（60分）‎ ‎1．已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（　　）‎ A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}‎ ‎2．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）‎ A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0‎ ‎3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），‎ f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N*，则f2017（x）=（　　）‎ A．sinx+cosx B．sinx﹣cosx C．﹣sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx ‎6．函数y=的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，1） B．[﹣，1） C．[﹣2，1） D．（﹣2，1）‎ ‎8．设函数f（x），g（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，设 h（x）=|f（x﹣1）|+g（x﹣1），则下列结论中正确的是（　　）‎ A．h（x）关于（1，0）对称 B．h（x）关于（﹣1，0）对称 C．h（x）关于x=1对称 D．h（x）关于x=﹣1对称 ‎9．函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的一个极值点为x=1，则f（x）的极大值为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1‎ ‎10．设x、y、z均为负数，且2x=3y=5z，则（　　）‎ A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z ‎11．不等式2x2﹣axy+y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a≤2 B．a≥2 C．a≤ D．a≤‎ ‎12．曲线f（x）=ax2（a＞0）与g（x）=lnx有两条公切线，则a的取值范围为（　　）‎ A．（0，） B．（0，） C．（，+∞） D．（，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（20分）‎ ‎13．=　 　．‎ ‎14．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是　 　．‎ ‎15．已知函数y=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，且f（0）=﹣1，若 g（x）=1﹣f（x+1），则g（﹣3）=　 　．‎ ‎16．已知是定义在R上的函数，且满足①f（4）=0；②曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；③当x∈（﹣4，0）时，，若y=f（x）在 x∈[﹣4，4]上有5个零点，则实数m的取值范围为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．‎ ‎（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当时，判断f（x）的零点个数．‎ ‎18．（12分）已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》．活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败．设男生闯过一至四关的概率依次是，，，，女生闯过一至四关的概率依次是，，，．‎ ‎（Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；‎ ‎（Ⅱ）设X表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量X的分布列和期望．‎ ‎19．（12分）光泽圣农公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为（0.05t﹣）万元．‎ ‎（1）该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（x）；‎ ‎（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？‎ ‎20．已知直线l的方程为y=x﹣2，又直线l过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点D（0，1）的直线与椭圆C交于点A，B，求△AOB的面积的最大值．‎ ‎21．（12分）设函数 ‎（1）若函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，求实数a、b的值；‎ ‎（2）当b=1时，若存在x1，，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若a=8，求C上的点到l的距离的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．‎ ‎（1）求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．　‎ ‎2017-2018学年福建省莆田一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（60分）‎ ‎1．已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（　　）‎ A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}‎ ‎【考点】1D：并集及其运算．‎ ‎【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5J ：集合．‎ ‎【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．‎ ‎【解答】解：∵集合A={1，2，3}，‎ B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，‎ ‎∴A∪B={0，1，2，3}．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）‎ A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0‎ ‎【考点】2J：命题的否定．‎ ‎【专题】5L ：简易逻辑．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．‎ ‎【解答】解：命题为全称命题，‎ 则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】29：充要条件．‎ ‎【专题】11 ：计算题；5L ：简易逻辑．‎ ‎【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；‎ ‎∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，‎ ‎∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；G9：任意角的三角函数的定义．‎ ‎【专题】56 ：三角函数的求值．‎ ‎【分析】根据任意角α的余弦的定义和已知条件可得x的值，再由tanα的定义求得结果．‎ ‎【解答】解：由题意可得x＜0，r=|OP|=，故 cosα==．‎ 再由 可得 x=﹣3，∴tanα==﹣，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．已知f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N*，则f2017（x）=（　　）‎ A．sinx+cosx B．sinx﹣cosx C．﹣sinx+cosx D．﹣sinx﹣cosx ‎【考点】63：导数的运算．‎ ‎【专题】11 ：计算题；48 ：分析法；52 ：导数的概念及应用．‎ ‎【分析】根据题意，依次求出f2（x）、f3（x）、f4‎ ‎（x），观察所求的结果，归纳其中的周期性规律，求解即可．‎ ‎【解答】解：根据题意，f1（x）=sinx+cosx，‎ f2（x）=f1′（x）=cosx﹣sinx，‎ f3（x）=（cosx﹣sinx）′=﹣sinx﹣cosx，‎ f4（x）=﹣cosx+sinx，f5（x）=sinx+cosx，‎ 以此类推，可得出fn（x）=fn+4（x），‎ f2017（x）=f1（x）=sinx+cosx，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．函数y=的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】3O：函数的图象．‎ ‎【专题】35 ：转化思想；44 ：数形结合法；51 ：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据函数奇偶性以及单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：∵函数y=，则该函数为奇函数，故它的图象关于原点对称，故排除A、C．‎ 当x＞0时，函数为y=ln|x|，在（0，+∞）上单调递增，故排除D，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，1） B．[﹣，1） C．[﹣2，1） D．（﹣2，1）‎ ‎【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【专题】53 ：导数的综合应用．‎ ‎【分析】根据题意求出函数的导数，因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得：函数 f（x）=x3﹣3x，‎ 所以f′（x）=3x2﹣3．‎ 令f′（x）=3x2﹣3=0可得，x=±1；‎ 因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，其最小值为f（1），‎ 所以函数f（x）在区间（a，6﹣a2）内先减再增，即f′（x）先小于0然后再大于0，‎ 所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜6﹣a2，‎ 且f（a）=a3﹣3a≥f（1）=﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，‎ 联立解得：﹣2≤a＜1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．设函数f（x），g（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，设h（x）=|f（x﹣1）|+g（x﹣1），则下列结论中正确的是（　　）‎ A．h（x）关于（1，0）对称 B．h（x）关于（﹣1，0）对称 C．h（x）关于x=1对称 D．h（x）关于x=﹣1对称 ‎【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【专题】51 ：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】运用奇偶性的定义，可得f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），由h（x）=|f（x﹣1）|+g（x﹣1），得h（x+1）=|f（x）|+‎ g（x），将x换成﹣x，结合对称性结论，即可判断．‎ ‎【解答】解：由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，‎ 则f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），‎ 由h（x）=|f（x﹣1）|+g（x﹣1），‎ 得h（x+1）=|f（x）|+g（x），‎ 即有h（﹣x+1）=|f（﹣x）|+g（﹣x）‎ ‎=|f（x）|+g（x）=h（x+1），‎ 即为h（1﹣x）=h（1+x），‎ 则h（x）的图象关于直线x=1对称．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的一个极值点为x=1，则f（x）的极大值为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1‎ ‎【考点】6D：利用导数研究函数的极值．‎ ‎【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；53 ：导数的综合应用．‎ ‎【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极大值即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1，‎ 可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，‎ x=1是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，‎ 可得：2+a+a=0．‎ 解得：a=﹣1；‎ 可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1=（x2+x﹣2）ex﹣1，‎ 函数的极值点为：x=﹣2，x=1，‎ 当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈‎ ‎（﹣2，1）时，函数是减函数，‎ x=﹣2时，函数取得极大值：f（﹣2）=5e﹣3‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．设x、y、z均为负数，且2x=3y=5z，则（　　）‎ A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z ‎【考点】4H：对数的运算性质．‎ ‎【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4H ：作差法；51 ：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】令2x=3y=5z=t，则0＜t＜1，x=，y=，z=，利用作差法能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵x、y、z均为负数，且2x=3y=5z，‎ ‎∴令2x=3y=5z=t，则0＜t＜1，‎ x=，y=，z=，‎ ‎∴2x﹣3y=﹣=＞0，∴2x＞3y；‎ 同理可得：2x﹣5z＜0，∴2x＜5z，∴3y＜2x＜5z．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．不等式2x2﹣axy+y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a≤2 B．a≥2 C．a≤ D．a≤‎ ‎【考点】3W：二次函数的性质．‎ ‎【专题】33 ：函数思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】不等式等价变化为a≤=+，则求出函数+的最小值即可．‎ ‎【解答】解：依题意，不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为a≤=+，‎ 设t=，‎ ‎∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，‎ ‎∴≤≤1，即≤≤3，‎ ‎∴≤t≤3，‎ 则+=t+，‎ ‎∵t+≥2=2，‎ 当且仅当t=，即t=时取等号，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．曲线f（x）=ax2（a＞0）与g（x）=lnx有两条公切线，则a的取值范围为（　　）‎ A．（0，） B．（0，） C．（，+∞） D．（，+∞）‎ ‎【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；49 ：综合法；52 ：导数的概念及应用．‎ ‎【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，由已知的两条切线得到方程有两个解，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．‎ ‎【解答】解：y=ax2的导数y′=2ax，y=lnx的导数为y′=，‎ 设与y=ax2相切的切点为（s，t），与曲线g（x）=lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2as==，‎ 又t=as2，n=lnm，‎ 即有2as=，整理得as2﹣ln（2as）﹣1=0‎ 设f（s）=as2﹣ln（2as）﹣1，所以f'（s）=2as﹣=，因为a＞0，s＞0，‎ 所以由f'（s）＞0得到 当s＞时，f′（s）＞0，f（s）单调递增，‎ 当0＜s＜时，f′（s）＜0，f（s）单调递减．‎ 即有s=处f（s）取得极小值，也为最小值，且为f（）=，‎ 由恰好存在两条公切线，即f（s）=0有两解，由f（0）→+∞，s→∞，f（s）→+∞，‎ 所以只要f（）＜0可得a的范围是a＞．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（20分）‎ ‎13．=　　．‎ ‎【考点】67：定积分．‎ ‎【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4G ：演绎法；52 ：导数的概念及应用．‎ ‎【分析】由题意结合定积分的几何意义和定积分的性质即可求得最终结果．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=sin3x 是奇函数，结合奇函数的性质可得：，‎ 函数 表示单位圆的上半部分，则：，‎ 结合定积分的运算法则可得：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是　[﹣3，﹣2]　．‎ ‎【考点】3F：函数单调性的性质．‎ ‎【专题】51 ：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】要使函数在R上为增函数，须有f（x）在（﹣∞，1]上递增，在（1，+∞）上递增，且，由此可得不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：要使函数在R上为增函数，须有f（x）在（﹣∞，1]上递增，在（1，+∞）上递增，‎ 且，‎ 所以有，解得﹣3≤a≤﹣2，‎ 故a的取值范围为[﹣3，﹣2]．‎ 故答案为：[﹣3，﹣2]．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数y=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，且f（0）=﹣1，若g（x）=1﹣f（x+1），则g（﹣3）=　2　．‎ ‎【考点】3L：函数奇偶性的性质．‎ ‎【专题】51 ：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据函数y=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，以及g（x）=1﹣f（x+1）的关系建立条件关系即可求解．‎ ‎【解答】解：设y=F（x）=f（x﹣1）+x2，‎ ‎∵y=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，‎ ‎∴F（0）=f（﹣1）+0=0，‎ ‎∴f（﹣1）=0．‎ F（1）=f（0）+1=﹣1+1=0，‎ 又F（﹣1）=f（﹣2）+1=﹣F（1）=0，‎ ‎∴f（﹣2）=﹣1，‎ ‎∵g（x）=1﹣f（x+1），‎ ‎∴当x=﹣3时，g（﹣3）=1﹣f（﹣3+1）=1﹣f（﹣2）=1﹣（﹣1）=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎16．已知是定义在R上的函数，且满足①f（4）=0；②曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；③当x∈（﹣4，0）时，，若y=f（x）在x∈[﹣4，4]上有5个零点，则实数m的取值范围为　[﹣3e﹣4，1）∪{﹣e﹣2}　．‎ ‎【考点】52：函数零点的判定定理．‎ ‎【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；51 ：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】可判断f（x）在R上是奇函数，从而可化为当x∈（﹣4，0）时，，有1个零点，从而转化为xex+ex﹣m=0在（﹣4，0）上有1个不同的解，再令g（x）=xex+ex﹣m，从而求导确定函数的单调性及取值范围，从而解得．‎ ‎【解答】[﹣3e﹣4，1）∪{﹣e﹣2}‎ 解：∵曲线y=f（x+1）关于点（﹣1，0）对称；‎ ‎∴曲线y=f（x）关于点（0，0）对称；∴f（x）在R上是奇函数，‎ ‎∴f（0）=0，又∵f（4）=0，∴f（﹣4）=0，‎ 而y=f（x）在x∈[﹣4，4]上恰有5个零点，‎ 故x∈（﹣4，0）时，有1个零点，‎ x∈（﹣4，0）时f（x）=log2（xex+ex﹣m+1），‎ 故xex+ex﹣m=0在（﹣4，0）上有1个不同的解，‎ 令g（x）=xex+ex﹣m，‎ g′（x）=ex+xex+ex=ex（x+2），‎ 故g（x）在（﹣4，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数；‎ 而g（﹣4）=﹣4e﹣4+e﹣4﹣m，g（0）=1﹣m=﹣m，g（﹣2）=﹣2e﹣2+e﹣2﹣m，‎ 而g（﹣4）＜g（0），‎ 故﹣2e﹣2+e﹣2﹣m﹣1＜0＜﹣4e﹣4+e﹣4﹣m﹣1，‎ 故﹣3e﹣4≤m＜1或m=﹣e﹣2‎ 故答案为：[﹣3e﹣4，1）∪{﹣e﹣2}‎ ‎　‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．‎ ‎（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当时，判断f（x）的零点个数．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理．‎ ‎【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；53 ：导数的综合应用．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而判断函数的零点个数即可．‎ ‎【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e2x﹣ex﹣x，‎ f′（x）=2e2x﹣ex﹣1=（2ex+1）（ex﹣1），‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，‎ 故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；‎ ‎（2）a=时，f（x）=e2x﹣ex﹣x，‎ f′（x）=e2x﹣ex﹣1=（2e2x+1）（ex﹣2），‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，令f′（x）＜0，解得：x＜ln2，‎ 故f（x）在（﹣∞，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，‎ 故f（x）min=f（ln2）=﹣1﹣ln2＜0，‎ 故f（x）有2个零点．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》．活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败．设男生闯过一至四关的概率依次是，，，，女生闯过一至四关的概率依次是，，，．‎ ‎（Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；‎ ‎（Ⅱ）设X表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量X的分布列和期望．‎ ‎【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5I ：概率与统计．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用对立事件计算“男生甲闯关失败”的概率；‎ ‎（Ⅱ）计算“一位女生闯关成功”的概率，得出变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）记“男生甲闯关失败”为事件A，‎ 则“男生甲闯关成功”为事件，‎ ‎∴P（A）=1﹣P（）‎ ‎=1﹣×××‎ ‎=1﹣‎ ‎=；‎ ‎（Ⅱ）记“一位女生闯关成功”为事件B，‎ 则P（B）=×××=，‎ 随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4；‎ 且P（X=0）=×=，‎ P（X=1）=•••+•••=，‎ P（X=3）=•••+•••=，‎ P（X=4）=×=，‎ P（X=2）=1﹣=；‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）光泽圣农公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为（0.05t﹣）万元．‎ ‎（1）该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（x）；‎ ‎（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？‎ ‎【考点】5D：函数模型的选择与应用．‎ ‎【专题】12 ：应用题．‎ ‎【分析】（1）根据销售这种产品所得的年利润=销售所得的收入﹣销售成本，建立函数关系即可；‎ ‎（2）利用配方法，求得二次函数f（x）=﹣+0.0475x﹣0.5在x=475时取得最大值，即获得的利润最大．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知，公司生产并销售x件产品的销售收入为（0.05x﹣）万元，‎ 投入固定成本0.5万元，另需增加投入万元．‎ ‎∴f（x）=0.05x﹣﹣（0.5+）=﹣+0.0475x﹣0.5，（0＜x≤500）；‎ ‎（2）由f（x）=﹣+0.0475x﹣0.5=．‎ ‎∴当x=475时，f（x）max=10.78125．‎ ‎∴当年产量为475（件）时，当年公司所得利润最大，最大为10.78125万元．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知直线l的方程为y=x﹣2，又直线l过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的 右焦点，且椭圆的离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点D（0，1）的直线与椭圆C交于点A，B，求△AOB的面积的最大值．‎ ‎【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；KG：直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）判断椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，求出椭圆的焦点为（2，0）结合椭圆的离心率，求出a、b，即可求解椭圆方程．‎ ‎（Ⅱ）设直线AB方程为y=kx+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆分得到方程组，利用韦达定理与距离公式求出三角形的面积表达式，构造函数通过好的导数求解面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a＞b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，‎ ‎∵直线l与x轴的交点为（2，0），∴椭圆的焦点为（2，0），∴c=2，…（1分）‎ 又∵，∴，∴b2=a2﹣c2=2…（3分）‎ ‎∴椭圆方程为．…（4分）‎ ‎（Ⅱ） 直线AB的斜率显然存在，设直线AB方程为y=kx+1‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kx﹣3=0，‎ 显然△＞0，…（6分）点D（0，1），|OD|=1，…（8分）‎ ‎=‎ ‎=…（10分）‎ 令，则t∈（0，1]，‎ ‎，g'（x）=0，即k=0时，SAOB的最大值为．…（12分）‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设函数 ‎（1）若函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，求实数a、b的值；‎ ‎（2）当b=1时，若存在x1，，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．‎ ‎【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；53 ：导数的综合应用．‎ ‎【分析】（1）﹣a（x＞0，且x≠1），可得f′（e2）=﹣a=﹣，f（e2）==﹣，联立解得a，b．‎ ‎（2）当b=1时，f（x）=﹣ax，f′（x）=﹣a，‎ 可得f′（x）+a==﹣（﹣）2+，[f′（x）+a]max=，x∈[e，e2]．‎ 存在 x1，x2∈[e，e2]，使 f（x1）≤f′（x2）+a成立⇔x∈[e，e2]，f（x）min≤f′（x）max+a=，对a分类讨论解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）﹣a（x＞0，且x≠1），‎ ‎∵函数f（x）的图象在点 （e2，f（e2））处的切线方程为 3x+4y﹣e2=0，‎ ‎∴f′（e2）=﹣a=﹣，f（e2）==﹣，‎ 联立解得a=b=1．‎ ‎（2）当b=1时，f（x）=﹣ax ‎，f′（x）=﹣a，‎ ‎∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[1，2]，∈[，1]．‎ ‎∴f′（x）+a==﹣（﹣）2+，‎ ‎∴[f′（x）+a]max=，x∈[e，e2]．‎ 存在 x1，x2∈[e，e2]，使 f（x1）≤f′（x2）+a成立 ‎⇔x∈[e，e2]，f（x）min≤f′（x）max+a=，‎ ‎①当a时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[e，e2]上为减函数，‎ 则f（x）min=，解得a≥．‎ ‎②当a时，由f′（x）=﹣（）2+﹣a在[e，e2]上的值域为[﹣a，]．‎ ‎（i）当﹣a≥0即a≤0时，f′（x）≥0在x∈[e，e2]上恒成立，‎ 因此f（x）在x∈[e，e2]上为增函数，‎ ‎∴f（x）min=f（e）=e﹣ae，不合题意，舍去．‎ ‎（ii）当﹣a＜0时，即0时，由f′（x）的单调性和值域可知：‎ 存在唯一x0∈（e，e2），使得f′（x0）=0，‎ 且满足当x∈[e，x0），f′（x）＜0，f（x）为减函数；‎ 当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．‎ ‎∴f（x）min=f（x0）=，x0∈（e，e2）‎ ‎∴，与0矛盾．‎ ‎ 综上可得：a的最小值为：．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若a=8，求C上的点到l的距离的最大值．‎ ‎【考点】QH：参数方程化成普通方程．‎ ‎【专题】11 ：计算题；36 ：整体思想；4G ：演绎法；5S ：坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（1）将参数方程化为直角坐标方程，然后联立直线方程与椭圆方程即可求得交点坐标；‎ ‎（2）求得距离公式的三角函数表达式，结合三角函数的性质即可求得最终结果．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C的参数方程为化为标准方程是：；‎ a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；‎ 联立方程 可得：‎ 或，‎ 所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和．‎ ‎（2）若a=8，则l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣12=0，‎ 椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），‎ 所以点P到直线l的距离d为：‎ ‎，‎ 当sin（θ+φ）=﹣1 时，C上的点到l的距离有最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．‎ ‎（1）求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．‎ ‎【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．‎ ‎【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用；5T ：不等式．‎ ‎【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，‎ ‎∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；‎ 当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；‎ 综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．‎ ‎（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，‎ 即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．‎ 由（1）知，g（x）=，‎ 当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，‎ ‎∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；‎ 当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），‎ ‎∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；‎ 当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，‎ ‎∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；‎ 综上，g（x）max=，‎ ‎∴m的取值范围为（﹣∞，]．‎ ‎　‎