2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练54 相关性、最小二乘估计与统计案例

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练54 相关性、最小二乘估计与统计案例

课时规范练54　相关性、最小二乘估计与统计案例 基础巩固组 ‎1.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论不正确的是(　　)‎ A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(x‎,‎y)‎ C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg ‎2.根据如下样本数据:‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎-0.5‎ ‎0.5‎ ‎-2.0‎ ‎-3.0‎ 得到的回归方程为y=bx+a,则(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.a>0,b>0 B.a>0,b<0‎ C.a<0,b>0 D.a<0,b<0‎ ‎3.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是(　　)‎ A.若χ2的观测值为6.635,则有99%的把握判定吸烟与患肺病有关系,因此在100个吸烟的人中必有99个患有肺病 B.由独立性检验知,有99%的把握判定吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,则他有99%的可能患肺病 C.若在统计量中得出有95%的把握判定吸烟与患肺病有关系,是指有5%的可能性使得推断出现错误 D.以上三种说法都不正确〚导学号21500769〛‎ ‎4.两个随机变量x,y的取值如下表:‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 若x,y具有线性相关关系,且y=bx+2.6,则下列结论错误的是(　　)‎ A.x与y是正相关 B.当x=6时,y的估计值为8.3‎ C.x每增加一个单位,y大约增加0.95个单位 D.样本点(3,4.8)的残差为0.56‎ ‎5.2017年春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表:‎ 做不到“光盘”‎ 能做到“光盘”‎ 男 ‎45‎ ‎10‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ 则下面的结论正确的是(　　)‎ A.有90%的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ B.有99%的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ C.有99%的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”‎ D.有90%的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”‎ ‎6.(2017山东潍坊二模,理12)某公司未来对一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:‎ 单价x/元 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 销量y/件 ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 由表中数据,求得线性回归方程为y=-4x+a,当产品销量为76件时,产品定价大致为　　　　　元. ‎ ‎7.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得‎∑‎i=1‎‎10‎xi=80,‎∑‎i=1‎‎10‎yi=20,‎∑‎i=1‎‎10‎xiyi=184,‎∑‎i=1‎‎10‎xi‎2‎=720.‎ ‎(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a;‎ ‎(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;‎ ‎(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.‎ ‎〚导学号21500770〛‎ 综合提升组 ‎8.通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:‎ 男 女 总计 爱　好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总　计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 下列结论正确的是(　　)‎ A.有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B.有99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C.有99.9%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D.有99.9%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎9.已知x与y之间的几组数据如下表:‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b'x+a',则以下结论正确的是(　　)‎ A.b>b',a>a' ‎ B.b>b',aa' ‎ D.b0,故选B.‎ ‎3.C　独立性检验只表明两个分类变量的相关程度,而不是事件是否发生的概率估计.‎ ‎4.D　由表格中的数据可知选项A正确;‎ ‎∵x‎=‎‎1‎‎4‎(0+1+3+4)=2,y‎=‎‎1‎‎4‎(2.2+4.3+4.8+6.7)=4.5,‎ ‎∴4.5=2b+2.6,‎ 解得b=0.95,∴y=0.95x+2.6.‎ 当x=6时,y=0.95×6+2.6=8.3,故选项B正确;‎ 由y=0.95x+2.6可知选项C正确;‎ 当x=3时,y=0.95×3+2.6=5.45,残差是5.45-4.8=0.65,故选项D错误.‎ ‎5.A　由2×2列联表得到a=45,b=10,c=30,d=15,则a+b=55,c+d=45,a+c=75,b+d=25,ad=675,bc=300,n=100,计算得χ2=‎100×(675-300‎‎)‎‎2‎‎55×45×75×25‎≈3.030.‎ 因为3.030>2.706,所以有90%的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”,故选A.‎ ‎6.7.5　∵x=6.5,y=80,∴a=80-(-4)×6.5,解得a=106,∴回归方程为y=-4x+106.‎ 当y=76时,76=-4x+106,∴x=7.5,故答案为7.5.‎ ‎7.解 (1)由题意知n=10,x‎=‎‎1‎‎10‎‎∑‎i=1‎‎10‎xi=‎80‎‎10‎=8,y‎=‎‎1‎‎10‎‎∑‎i=1‎‎10‎yi=‎20‎‎10‎=2,‎ 又‎∑‎i=1‎‎10‎xi‎2‎‎-‎‎10‎x‎2‎=720-10×82=80,‎ ‎∑‎i=1‎‎10‎xiyi-10x‎ ‎y=184-10×8×2=24,‎ 由此得b=‎24‎‎80‎=0.3,a=y-bx=2-0.3×8=-0.4,‎ 故所求线性回归方程为y=0.3x-0.4.‎ ‎(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b=0.3>0),因此x与y之间是正相关.‎ ‎(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7-0.4=1.7(千元).‎ ‎8.A　依题意,由χ2=n(ad-bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎,‎ 得χ2=‎110×(40×30-20×20‎‎)‎‎2‎‎60×50×60×50‎≈7.8>6.635.‎ 所以有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,故选A.‎ ‎9.C　由题意可知,b'=2,a'=-2,b=‎∑‎i=1‎‎6‎‎(xi-x)(yi-y)‎‎∑‎i=1‎‎6‎‎(xi-‎x‎)‎‎2‎‎=‎‎5‎‎7‎.‎ a=y-bx‎=‎13‎‎6‎-‎5‎‎7‎×‎‎7‎‎2‎=-‎1‎‎3‎,‎ 故ba',故选C.‎ ‎10.185　由题意,得父亲身高x cm与儿子身高y cm对应关系如下表:‎ x ‎173‎ ‎170‎ ‎176‎ y ‎170‎ ‎176‎ ‎182‎ 则x‎=‎‎173+170+176‎‎3‎=173,y‎=‎‎170+176+182‎‎3‎=176,‎ ‎∑‎i=1‎‎3‎‎(xi-x)(yi-y)=(173-173)×(170-176)+(170-173)×(176-176)+(176-173)×(182-176)=18,‎ ‎∑‎i=1‎‎3‎‎(xi-x)2=(173-173)2+(170-173)2+(176-173)2=18.‎ ‎∴b=‎18‎‎18‎=1.∴a=y-bx=176-173=3.‎ ‎∴线性回归直线方程y=bx+a=x+3.‎ ‎∴可估计孙子身高为182+3=185(cm).‎ ‎11.解 (1)甲班化学成绩前十的平均分 x甲‎=‎‎1‎‎10‎‎(72+74+74+79+79+80+81+85+89+96)=80.9;‎ 乙班化学成绩前十的平均分 x乙‎=‎‎1‎‎10‎‎(78+80+81+85+86+93+96+97+99+99)=89.4.‎ ‎∵x甲‎<‎x乙,∴大致可以判断新课堂教学的教学效果更佳.‎ ‎(2)‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 ‎10‎ ‎16‎ ‎26‎ 成绩不优良 ‎10‎ ‎4‎ ‎14‎ 总　计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 根据2×2列联表中的数据,得 χ2=‎40(10×4-16×10‎‎)‎‎2‎‎26×14×20×20‎≈3.956>3.841,‎ ‎∴有95%的把握认为“成绩优良与教学方式有关”.‎ ‎12.解 (1)由所给数据计算得t‎=‎‎1‎‎7‎(1+2+3+4+5+6+7)=4,‎ y‎=‎‎1‎‎7‎‎(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,‎ ‎∑‎i=1‎‎7‎‎(ti-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28,‎ ‎∑‎i=1‎‎7‎‎(ti-t)(yi-y)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,‎ b=‎∑‎i=1‎‎7‎‎(ti-t)(yi-y)‎‎∑‎i=1‎‎7‎‎(ti-‎t‎)‎‎2‎‎=‎‎14‎‎28‎=0.5,a=y-bt=4.3-0.5×4=2.3,‎ 所求回归方程为y=0.5t+2.3.‎ ‎(2)由(1)知,b=0.5>0,故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年约增加0.5千元.‎ 将2019年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得y=0.5×9+2.3=6.8,‎ 故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.‎ ‎13.解 (1)由题意,得年收入x为解释变量,年饮食支出y为预报变量,作散点图如图.‎ 从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.‎ 因为x=6,y=1.83,‎∑‎i=1‎‎10‎xi‎2‎=406,‎∑‎i=1‎‎10‎xiyi=117.7,所以b=‎∑‎i=1‎‎10‎xiyi‎-10x ‎y‎∑‎i=1‎‎10‎xi‎2‎‎-10‎x‎2‎≈0.172,‎ a=y-bx≈1.83-0.172×6=0.798.‎ 从而得到线性回归方程为y=0.172x+0.798.‎ ‎(2)y=0.172×9+0.798=2.346(万元).‎ 所以某家庭年收入为9万元时,可以预测其年饮食支出为2.346万元.‎ ‎14.解 (1)总人数N=‎28‎‎5×0.02‎=280,a=280×0.02×5=28.‎ 第3组的频率是1-5×(0.02+0.02+0.06+0.02)=0.4,‎ 所以b=280×0.4=112.‎ ‎(2)因为年龄低于40岁的员工在第1,2,3组,共有28+28+112=168(人),‎ 利用分层抽样在168人中抽取42人,每组抽取的人数分别为:‎ 第1组抽取的人数为28×‎42‎‎168‎=7(人),第2组抽取的人数为28×‎42‎‎168‎=7(人),‎ 第3组抽取的人数为112×‎42‎‎168‎=28(人),‎ 所以第1,2,3组分别抽7人、7人、28人.‎ ‎(3)根据表中数据,得χ2=‎42×(16×14-4×8‎‎)‎‎2‎‎24×18×20×22‎≈8.145>6.635.‎ 从而有99%的把握认为该单位的员工“是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系”.‎