数学文卷·2017届河北省唐山市高三下学期第二次模拟考试（2017

数学文卷·2017届河北省唐山市高三下学期第二次模拟考试（2017

唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则集合中元素个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎2.设复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎4.从1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之积小于5的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.已知双曲线的渐进线方程为，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.已知，均为锐角，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.函数，的最小值为0，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的结果为（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7 ‎ ‎10.已知函数（）的图象关于轴对称，则在区间上的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知平面平面，平面平面，平面平面，则下列命题：‎ ‎①若，则，；②若，则；③若，，则．‎ 其中正确的命题是（ ）‎ A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② ‎ ‎12.已知是定义在上的可导函数，且满足，则（ ）‎ A． B． C．为减函数 D．为增函数 ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.函数的定义域为 ．‎ ‎14.平行四边形中，，则 ．‎ ‎15.在中，，，，则边上的高是 ．‎ ‎16.已知椭圆：的右焦点为，上、下顶点分别为，，直线交于另一点，若直线交轴于点，则的离心率是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎18.共享单车的出现方便了人们的出行，深受我市居民的喜爱．为调查某校大学生对共享单车的使用情况，从该校8000名学生中按年级用分层抽样的方式随机抽取了100位同学进行调查，得到这100名同学每周使用共享单车的时间（单位：小时）如表：‎ 使用时间 人数 ‎10‎ ‎40‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）已知该校大一学生由2400人，求抽取的100名学生中大一学生人数；‎ ‎（Ⅱ）作出这些数据的频率分布直方图；‎ ‎（Ⅲ）估计该校大学生每周使用共享单车的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．‎ ‎19.在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，为棱上一点．‎ ‎（Ⅰ）当为何值时，有平面；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点到平面的距离．‎ ‎20.已知的顶点，点在轴上移动，，且的中点在轴上．‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知过的直线交轨迹于不同两点，，求证：与，两点连线，的斜率之积为定值．‎ ‎21.已知函数的图象与轴相切．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与曲线相交于，两点，点，求．　‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，为不等式的解集.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明：当，时，.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14.1 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）设数列的公差为，的公比为（），则 解得或（舍），‎ 所以，．‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎18.解：（Ⅰ）设抽取的100名学生中大一学生有人，则，解得，‎ 所以抽取的100名学生中大一学生有30人．‎ ‎（Ⅱ）频率分布直方图如图所示．‎ ‎（Ⅲ），‎ 所以该校大学生每周使用共享单车的平均时间大约为4.4小时．‎ ‎19.解：（Ⅰ）当时，有平面．　‎ 取中点，连接，，‎ ‎∵，分别为，的中点，‎ ‎∴，且.‎ 又∵梯形中，，且，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，平面，∴平面，‎ 即当时，平面.‎ ‎（Ⅱ）∵为的中点，‎ ‎∴点到平面的距离等于点到平面的距离，设点到平面的距离为，‎ 由已知可得，，，‎ ‎∴，，‎ 由，得，‎ ‎∴，‎ 所以点到平面的距离为.‎ ‎20.解：（Ⅰ）设（），因为在轴上且中点在轴上，所以，由，得，‎ 化简得，所以点的轨迹的方程为（）．　‎ ‎（Ⅱ）直线的斜率显然存在且不为0，‎ 设直线的方程为，，，‎ 由得，‎ 所以，，‎ ‎，同理，‎ ‎，‎ 所以与，两点连线的斜率之积为定值4．‎ ‎21.解：（Ⅰ），‎ 设的图象与轴相切于点，‎ 则即解得,‎ 所以,‎ 等价于．‎ 设，则，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 所以，‎ 即，（*）‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）设，，‎ 由，得．‎ 由（*）式可得，当时，，即；‎ 以代换可得，有，即．‎ 所以当时，有．‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 又因为，所以，‎ 即．‎ ‎22.解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为．　‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入的直角坐标方程整理得：，‎ ‎，‎ 由的几何意义可知：. ‎ ‎23.解：（Ⅰ）‎ 由的单调性及得，或．　‎ 所以不等式的解集为. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，所以，，‎ ‎，‎ 所以，‎ 从而有．　‎