数学理卷·2017届吉林省长春市实验中学高三第五次模拟考试（2017

数学理卷·2017届吉林省长春市实验中学高三第五次模拟考试（2017

‎ ‎ 数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知中，，则等于（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎3.设向量，且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.等比数列中，，则的前项和为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.关于直线、与平面、，有以下四个命题：‎ ‎①若且，则；‎ ‎②若且，则；‎ ‎③若且，则；‎ ‎④若且，则.‎ 其中真命题的序号是（ ）‎ A．①② B．③④ C.①④ D．②③‎ ‎6.网格纸的各小格都是边长为的正方形，图中粗实线画出的是一个几何体的三视图，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.设满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.下列四个命题中真命题的个数是（ ）‎ ‎①若是奇函数，则的图像关于轴对称；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若函数对任意满足，则是函数的一个周期；‎ ‎④命题“在中，是成立的充要条件；‎ ‎⑤命题“存在”的否定是“任意”‎ A． B． C. D．‎ ‎9.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 ‎ C. 向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎10.如图，把圆周长为的圆的圆心放在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记弧，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（ ）‎ ‎11.已知分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与椭圆交于两点，若四边形的面积最大值为，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设函数有两个极值点，若点为坐标原点，点在圆上运动时，则函数图象的切线斜率的最大值为（ )‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设，则 ．‎ ‎14.已知直线经过圆的圆心，则最小值是 ．‎ ‎15.已知函数，若实数互不相等，且满足 ‎，则的取值范围是 ．‎ ‎16.已知直线和两定点，若点在上的射影为，且成等差数列，则的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 在数列中，，当时，其前项和满足.‎ （1） 求的表达式；‎ （2） 设，求的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知的图象上两相邻对称轴间的距离为.‎ （1） 求的单调减区间；‎ ‎（2）在中，分别是角的对边，若，的面积是，求的值.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，.‎ （1） 若点是的中点，求证：平面；‎ （2） 试问点在线段上什么位置时，二面角的余弦值为.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知圆经过点和点，圆心在直线上.‎ （1） 求圆的方程；‎ ‎（2）若直线与圆相交于两点，若为钝角（为坐标原点），求实数的取值范围.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的一个顶点坐标为，离心率为.‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 若，设是椭圆上异于点的任意两点，且，线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知函数（为常数，）‎ （1） 当时，求函数在处的切线方程；‎ （2） 当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围.‎ 长春市实验中学2017届高三第五次模拟考试 数学（理科）试卷参考答案 一、选择题 ‎1-5:DDBBD 6-10:DBCCD 11、12：DD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 17. ‎（1），，∴，‎ 即，①由题意得，①式两边同除以，‎ （2） ‎∵，‎ ‎∴.‎ 18. 解：由已知，函数周期为.‎ ‎∵‎ ‎，‎ ‎∴，∴.‎ （1） 由，得，‎ ‎∴，∴的单调减区间是.‎ （2） 由，得，.‎ ‎∵.‎ 由，得，‎ ‎∴，故.‎ 19. ‎（1）证明：连接，设，连接，‎ 由三角形的中位线定理可得：，‎ ‎∵平面，平面，∴平面.‎ （2） 建立如图空间直角坐标系，在中，斜边，得，‎ 所以.‎ 设，得.‎ 设平面的一个法向量，‎ 由得， 取，得.‎ 而平面的法向量，‎ 所以由题意，即，解得（舍去）或，‎ 所以当点在线段的中点时，二面角的余弦值为.‎ 20. 解：（1）线段的中垂线方程：，‎ 联立，得.‎ ‎∵，∴圆的半径.‎ ‎∴圆的方程为.‎ （2） 由变形得，代入圆的方程，得，‎ 令，得.‎ 设点上的横坐标分别为，则，‎ 依题意得，∴，‎ 解得，∴实数的取值范围是.‎ 21. 解：（1）设椭圆的方程为，‎ 可得，解得，即有椭圆的方程为.‎ （2） 设，的中点的横坐标为，‎ 由直线代入椭圆方程，可得 ‎，即，‎ ‎，‎ 可得的中点坐标为，‎ 中垂线方程为，令，可得，‎ 由，可得，即为，‎ 化为，解得或，显然满足判别式大于，‎ 即有或，‎ 当时，；‎ 当时，，即为；‎ 或，即为；‎ 同样当时，可得或.‎ 综上可得的范围是.‎ 22. ‎（1）时，，∴，‎ 于是，又，即切点为，∴切线方程为.‎ （2） ‎，，即，‎ ‎∵，∴，此时，∴上减，上增，‎ 又，∴.‎ （3） 因为，所以，即，‎ 所以在上单调递增，所以，‎ 只需满足，‎ 设，‎ 又，∴在的右侧需先增，∴‎ 设，对称轴，‎ 又，∴在时，，即，‎ ‎∴在上单调递增，∴ ，‎ 所以的取值范围是.‎