四川省资阳市2020届高三第二次诊断考试 数学(理科)（PDF版含命题说明）

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书书书 数学!理工类"双向细目表 第 !!!!! 页!共!页" 数学!理工类"双向细目表 !!考查内容!!"!"年高考考试说明要求的全部内容"解析几何只考小题# 预设难度!"#$"!!预估得分!%&#& 题型 题号 知识板块 考点 具体知识点 "试题切入点# 分值 预设 难度 预估 得分 知识层次 板块分值 能力层次 ' ( ) 板块 分值 空间想象 抽象概括 推理论证 运算求解 数据处理 应用意识 创新意识 一 选 择 题 * 数与代数 集合简易逻辑 集合的运算 + ",% - " 集合逻辑用语 + " ! 数与代数 复数 复数运算共轭复数 + ",% - " 复数 + " . 数与代数 三角函数 三角函数定义诱导公式 + ",% - " 数列 *! " " - 解析几何 椭圆 焦半径与离心率 + ",/ .,+ " 概率统计 !! " " + 数与代数 函数 函数图像 + ",/ .,+ " 平面向量 + " " " $ 数与代数 算法初步 程序框图 + ",/ .,+ " 三角函数 !! " " " / 数与代数 平面向量 向量基本运算三角形法则 + ",$ . " 算法线性规划 *" " " " % 解析几何 直线与圆 直线与圆的公共点 + ",$ . " 函数与导数 !/ " " " & 概率统计 概率 几何概型求概率 + ",$ . " 立体几何 !! " " " " *" 数与代数 三角函数 三角函数图象及其性质 + ",+ !,+ " 解析几何 *" " " " " ** 立体几何 四面体 空间坐标四面体外接球体积 + ",- ! " 选考内容 *" " " " " " *! 数与代数 函数导数 求最大值问题 + ",. *,+ " 总分 *+" " " " " " 二 填 空 题 *. 立体几何 圆柱 部分圆柱体体积 + ",% - " " " " " *- 概率统计 概率 独立重复试验求概率 + ",/ .,+ " " " *+ 数与代数 函数导数 利用导数函数解不等式 + ",+ !,+ " " " " *$ 数与代数 线性规划 实际问题求最值 + ",- ! " " " " " " 三 解 答 题 */ 数与代数 数列 *! ",% &,$ " " " " "*# 求通项公式 "!# 求和 *% 数与代数 解三角形 *! ",/ %,- " " " " "*# 求角 "!# 求边长最大值 *& 概率统计 统计 *! ",$ /,! " " " " " " "*# 求回归方程 "!# 回归方程解实际问题 !" 立体几何 四棱锥 *! ",+ $,$ " " " " " " " "*# 判断并证明面面垂直 "!# 求二面角的余弦值范围 !* 数与代数 函数导数不等式 *! ",. .,$ " " " " " " "*# 求参数取值范围 "!# 零点问题求参数范围 !!选考 选考试题 坐标系与参数方程 *" ",+ + " " " "*# 求曲线的极坐标方程 "!# 求线段比值 !.选考 选考试题 不等式选讲 *" ",+ + " " " "*# 求最值 "!# 求参数取值范围 书书书 数学!理工类"试题答案 第 !!!!! 页!共"页" 高!"#$级第一次诊断性考试 数学!理工类"参考答案 评分说明! !"本解答给出了一种或几种解法供参考!如果考生的解法与本解答不同!可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则" #"对计算题!当考生的解答在某一步出现错误时!如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度!可视影响的程度决定后继部分的给分!但不得超过该部分正确解答应得分数的一半#如果 后继部分的解答有较严重的错误!就不再给分" $"解答右端所注分数!表示考生正确做到这一步应得的累加分数" %"只给整数分"选择题和填空题不给中间分" 一"选择题#&'分$ !!命题意图#本小题考查集合运算$不等式解法$指数式的值等基础知识%考查运算求解能力! 解析#选择 ($因为") #"##*$#*!'#& '' ) #"*####& '+ $$)&!$#$%$,$('$所以 "$$) &!$#$%'! #!命题意图#本小题考查复数的运算$共轭复数概念等基础知识%考查运算求解能力! 解析#选择 -$由%)!!./"!#./")!.$/$所以其共轭复数%%)!*$/! $!命题意图#本小题考查三角函数的定义)诱导公式等基础知识%考查运算求解能力$应用意识! 解析#选择 0$角!的终边经过点& *槡$ #$*! "! # $所以123!)*槡$ #$所以123!!.!")*123!)槡$ #! %!命题意图#本小题考查椭圆的定义$基本量的关系$离心率等基础知识%考查运算求解能力$数 形结合思想$应用意识! 解析#选择 -$由题意有' 槡) $($所以) 槡) #($所以离心率*)) ' )槡#( 槡$( )槡& $ ! +!命题意图#本小题考查函数图象和性质等知识%考查数形结合等数学思想! 解析#选择 -$由题当#&*4时$+!#"&.4$排除 0$(%当#&.4时$+!#"&'! &!命题意图#本小题考查程序框图及其应用$指数式和对数式求值等基础知识%考查运算求解能 力$应用意识! 解析#选择($依程序框图运行$当输入#)*#时$输出')#*#)! %$当输入#)! 5时$输出,) ()627$ ! 5)*#$则'.()! %*#)*8 %! 8!命题意图#本小题考查平面向量的基本运算$三角形法则等基础知识%考查数形结合思想$运算 求解能力$应用意识! 数学!理工类"试题答案 第 #!!!! 页!共"页" 解析#选择 ($因为 &''-.) &''-". &''".)! # &''$".! $ &''"/)! # &''$".! $!&''$/* &''$"")! & &''$".! $ &''$/) *! & &''"$.! $ &''$/$所以")*! &$#)! $!故".#)! &! ,!命题意图#本小题考查直线和圆的方程$点到直线的距离$直线与圆的位置关系等基础知识%考 查运算求解能力$分类讨论思想$数形结合思想$应用意识! 解析#选择 ($圆的标准方程为!#.!"#.!,*!"#)%$圆心!*!$!"到直线0##., 槡. #)'的 距离为1)" 槡*!.!. #" !#.!槡 # )!(#!圆的半径"$结合图形知$圆上有三点到直线0的距离为!! 5!命题意图#本小题考查概率等基本知识$渗透数学文化$考查抽象概括能力和应用意识! 解析#选择 ($设图"三角形的面积为2$则图#中每个小阴影三角形的面积为图"三角形面 积的2 &%$于是所求的概率为 &) #8 &%2 2 )#8 &%! !'!命题意图#本小题考查三角函数图象及其性质等基础知识%考查逻辑推理能力$数形结合思 想$应用意识! 解析#选择 9$由+!#!")+!##")!知!#!$!"$!##$!"是+!#")$3/: ##*!! "$ .!图象的两 个对称中心$则#!*## 是3 #)! #的整数倍!3 是函数+!#"的最小正周期"$结论"错误%因为 + #!! "$ )$3/:!.!)!$所以结论$正确%由#4!*! ####*! $##4!.! #!4)%"解得4!* ! !# ###4!.+! !#!4)%"$当4)'时$+!#"在 *! !#$+!* +!# 上单调递增$则+!#"在 '$+!* +!# 上单调递 增$在 +! !#$!* +# 上单调递减$结论%错误%,)+!#"的图象向右平移 ! !#个单位长度后所得图象 对应的函数为,)$3/: # #*!! "!# *!! "$ .!)*$123##.!$是偶函数$所以图象关于, 轴对 称$结论#正确! !!!命题意图#本小题考查空间直角坐标系$空间几何体的外接球$球的体积等基础知识%考查空 间想象能力$推理论证能力$运算求解能力$应用意识! 解析#选择 -$由题意知$该四面体侧棱 &"*底面 "$/$且底面是边长为 槡# $的正三角形$侧 棱 &")#$所以底面正三角形的外接圆半径为#$球心必在过 &" 中点且平行于底面的平面 上$所以球半径5) ##.!槡 # 槡) +$所以球的体积为% $!!槡+"$) 槡#' + $ !! !#!命题意图#本小题考查导数的几何意义)函数与导数综合运用等知识%考查抽象概括等数学能 力以及数学抽象能力$考查函数与方程)化归与转化等数学思想! 解析#选择 ($设切点!#'$6:!'#'.(""$则由+6!#'") ' '#'.()#得'#'.()! #'!'+'"$又 由6:!'#'.(")##'$得#')! #6:!'#'.(")! #6:' #$则()' #*'#')' #*' #6:' #$有'() 数学!理工类"试题答案 第 $!!!! 页!共"页" ! #'#*! #'#6:' #!'+'"$令7!'")! #'#*! #'#6:' #$则76!'")' ! #*6:'! "# $故当'('( 槡#; 时76!'"+'%当'+ 槡#;时76!'"('$故当' 槡)#;时7!'"取得极大值也即最大值7!槡#;");! 二"填空题##'分$ !$!命题意图#本小题考查圆柱的体积公式$扇形的面积等基础知识%考查空间想象能力$运算求 解能力$应用意识! 解析#填!'! 槡.$ $$由题意知圆柱截掉后剩余部分的底面面积为!'! $ 槡. $$所以剩余部分的 体积为!'! 槡.$ $! !%!命题意图#本小题考查概率)独立重复试验等基础知识$考查抽象概括能力和应用意识! 解析#填#' #8$甲获胜的方式有#<'和#+$%"$!,$%"$!,$'"$!8>+$'"围 成 的 梯 形 及 其 内 部$包 含 的 整 点 有 !,$'"$!8$!"$ !,$!"$!+$#"$!&$#"$!8$#"$!,$#"$!%$$"$!+$$"$!&$$"$!8$$"$!,$$"$!$$%"$!%$%"$!+$%"$ !&$%"$!8$%"$!,$%"!作直线$#'#.+'%,)'并平移$分析可得当直线过点!,$'"时%最小$即 %?/:),=$#')#+&'!元"! 三"解答题#共8'分$ !8!命题意图#本小题考查等差数列)等比数列的通项公式$前9 项和公式及其应用等基础知识% 考查运算求解能力$应用意识! 解析#!!"由题意有#'9)29.%$ 当9)!时$#'!)'!.%$所以'!)%! #分……………………………………………………… 当9,#时$29)#'9*%$29*!)#'9*!*%$ 数学!理工类"试题答案 第 %!!!! 页!共"页" 两式相减得'9)29*29*!)#'9*#'9*!$整理得 '9 '9*! )#$ 所以数列&'9'是以%为首项$#为公比的等比数列! &分……………………………………… 所以数列&'9'的通项公式'9)%=#9*!)#9.!!9)'- "! 8分………………………………… !#"由#(9 )'# 9)##9.#$ 所以(9)#9.#$ 所以数列&(9'是以%为首项$#为公差的等差数列! !'分……………………………………… 所以 39)%9.9!9*!" # =#)9#.$9! !#分…………………………………………………… !,!命题意图#本小题考查正弦定理$两角和的正弦公式$三角函数求最值等基础知识%考查运算 求解能力$逻辑推理能力$应用意识! 解析#!!"由'123/.! #))($根据正弦定理有# 3/:"123/.! #3/:/)3/:$! #分………………………………………………………………… 所以3/:"123/.! #3/:/)3/:!"./")3/:"123/.123"3/:/$ 所以! #3/:/)123"3/:/! %分…………………………………………………………………… 因为/ 为三角形内角$所以3/:/1'$ 所以123")! #$ 因为 " 为三角形内角$所以 ")! $! &分………………………………………………………… !#"由' 槡) $$")! $$根据正弦定理有# ( 3/:$) ) 3/:/) ' 3/:")#$ 所以()#3/:$$))#3/:/! ,分…………………………………………………………………… 所以(.))#3/:$.#3/:/)#3/: #! $ *! "/ .#3/:/ 槡) $123/.$3/:/ 槡)# $3/: /.!! "& # 槡# $! !!分………………………………………………………………… 当/)! $时$等号成立! 所以(.)的最大值为 槡# $! !#分………………………………………………………………… 另解#!#"由' 槡) $$")! $$根据余弦定理有# !槡$"#)(#.)#*#()123! $$ 数学!理工类"试题答案 第 &!!!! 页!共"页" 即$)(#.)#*()! ,分…………………………………………………………………………… 因为(#.)#*())!(.)"#*$(),!(.)"#*$(.)! "# # )!(.)"# % $ 所以$,!(.)"# % ! !!分…………………………………………………………………………… 即(.)# 槡# $$当且仅当()) 槡) $时$等号成立! 所以(.)的最大值为 槡# $! !#分………………………………………………………………… !5!命题意图#本小题考查回归方程)统计案例等基本知识$考查回归分析的基本思想$考查抽象 概括等能力和应用意识$以及数据分析能力! 解析#!!"由题$%与温度# 又可以用线性回归方程来拟合$设:%):'.:(#! :(; 2 8 <;! !#< =3#"!%< =%%" 2 8 <;! !#< =3#"# ;%&>%!, !,# 4'>#++$ %分…………………………………………… 所以:' ;%%=:(3# ;$>+$8='>#++>#8;=$>$%,$ 故%关于# 的线性回归方程为:%)'>#++#*$>$%,> ,分……………………………………… !#"由!!"可得6:,)'>#++#*$>$%,$ 于是产卵数, 关于温度# 的回归方程为,);'>#++#*$>$%,! 当#)#&时$,);'>#++=#&*$>$%,);$>#,#4#8% 当#)$&时$,);'>#++=$&*$>$%,);+>,$#4$%!% 因为函数,);'>#++#*$>$%,单调递增$ 所以$在气温在#&@&$&@之间时$一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是*#8$$%!+的正整 数! !#分…………………………………………………………………………………………… #'!命题意图#本小题考查四棱锥$平面与平面垂直的判定定理$二面角的余弦值等基础知识%考 查空间想象能力$推理论证能力$运算求解能力$创新意识! 解析#!!"因为 &")"$$. 为线段&$ 的中点! 所以 ".*&$! #分……………………………………………………………………………… 因为 &"*底面 "$/-$$/5平面 "$/-$ 所以$/*&"$ 又因为底面 "$/- 为正方形$所以$/*"$$ &"$"$)"$ 所以$/*平面 &"$$ 因为 ".5平面 &"$$ 所以 ".*$/! %分……………………………………………………………………………… 因为 &$$$/)$$ 所以 ".*平面 &$/$ 因为 ".5平面 ".?$ 所以平面 ".?*平面 &$/! &分………………………………………………………………… 数学!理工类"试题答案 第 '!!!! 页!共"页" !#"由题意$以 "$$"- 所在直线分别为#$, 轴建立空间直角坐标系如图所示$令 &")#$ 则 "!'$'$'"$$!#$'$'"$.!!$'$!"$?!#$@$'"!其中'(@##"! 易知平面$"? 的一个法向量!)!'$'$!"! ,分………………… 设平面 ".? 的法向量")!#$,$%"$ 由 ", &''"?)'$ ", &''".)' . / 0 ! 即 ##.@,)'$ #.%)'. / 0 ! 令%)!$则") *!$# @$! 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"也可得分 ! +分………………………………………… !#"由!!"知! $# )$ %3/:#%.! %$ 设点 & 的极坐标为!$!$%"$因为C&*CD$则点D 的极坐标为 $#$%A!! "# ! 8分…………… 所以"C&"#,"CD"# "C&"#."CD"#) ! ! "C&"#. ! "CD"# ) ! ! $# ! .! $# # 数学!理工类"试题答案 第 "!!!! 页!共"页" ) ! $ %3/:#%.! %.$ %123#%.! % ) ! $ %.! # )% +! !'分……………………………………………………………………………… #$!命题意图#本小题考查基本不等式)不等式的证明方法)含绝对值的不等式等基本知识$考查 学生化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力$以及逻辑推理)数学运算等能力! 解析#!!"由题 ! #'槡 .!. #(槡 .!"# )!#'.!".!#(.!".# #'槡 .!, #(槡 .! #!#'.!".!#(.!".!#'.!".!#(.!" )%!'.(".% )!&$当且仅当')()$ #时取等号! 所以 #'槡 .!. #(槡 .!最大值为%> +分……………………………………………………… !#"由题$! '.% ()! $!'.(" ! '.%! "( )! $ +.( ' .%'! "( ,! $ +.# ( ' ,%'槡! "( )$$当且仅当 ( ' )%' ( $ '.( . / 0 )$ 即')!$()#取等号$ 所以$! '.% (的最小值为$! 又"#.#8"*"#*!"#"#8.!"$ 不等式"#.#8"*"#*!"#! '.% (对任意#)& 恒成立$只需"#8.!"#$即可$ 解得*##8#!$ 即 8 的取值范围是**#$!+! !'分……………………………………………………………… 书书书 数学命题报告 第 !!!!! 页!共"页" 数学科命题报告 一!指导思想 本次一诊考试试题命制主要依据!!"#$年普通高等学校招生全国统一考试大 纲"#!!"#$年普通高校招生全国统一考试数学试题"$全国!%"%#卷&'坚持(一体 四层四翼)的命题指导思想#针对(必备知识%关键能力%学科素养%核心价值)四层考 查内容以及(基础性%综合性%应用性%创新性)四个方面的考查要求#落实立德树人 根本任务#以诊断高三第一阶段复习成效为目的#从而正确引导各校下阶段复习 教学' 二!具体要求 #%本次考试范围与要求*试题分必考内容和选考内容'文科考生必考内容为 !课程标准"的必修内容和选修系列#和系列&内容#理科考生必考内容为!课程标 准"的必修内容和选修系列!和系列&内容'选考内容均为选修系列&的(坐标系 与参数方程)%(不等式选讲)等!个专题' !%本次试题注重对数学思想方法的考查#注重对数学能力的考查#展现数学的 科学价值和人文价值#考查数学学科素养'同时兼顾试题的基础性%综合性和应用 性#重视试题间的层次性#合理调控综合程度#坚持多角度%多层次的考查' '%主干知识重点考查'如函数与导数部分*对函数图象%函数性质%函数应用都 有所考查#应用导数解决函数最值问题#函数不等式等均有体现'又如三角函数与 解三角形部分#对三角函数的图象及其性质%诱导公式%三角函数定义等知识有所考 查#对正弦定理与余弦定理#以及利用两个定理解决实际问题均有体现' &%考查学科素养和实现育人目标* $#&强调综合能力的考查#重点是思维能力#而突破点是创新潜质#学科素养' $!&考查能力三原则*考潜能%考思维%考应用' 数学命题报告 第 "!!!! 页!共"页" $'&尽量体现!"#(版!普通高中课程方案和各学科课程标准"精神#一是全面落 实党的十八大和十九大精神+二是切实加强中华优秀传统文化和革命传统教育+三 是进一步强化了学科的育人功能' $&&增加数学知识广度'本次试题尽量增加知识广度#拓展数学视野#让考生善 于发现知识联系#进而透析命题意图' $)&突出试卷设计创新#优化试卷结构%创新设计理念%变换题型和设问方式%适 当改变试题的排列顺序#增强试题新颖性和灵活性#促进考生融会贯通%真懂会用# 引导中学数学全面教学%夯实基础%灵活学习%创新思考' $*&试题背景新颖#尽量体现了(德%智%体%美%劳)五育并举的育人目标' 三!命题意图 详见参考答案中每小题的命题意图'