2019-2020学年河北省张家口市第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年河北省张家口市第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年河北省张家口市第一中学高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：集合，集合，所以,故选D.‎ ‎【考点】1、一元二次不等式；2、集合的运算.‎ ‎2．下列有关命题的说法错误的是（ ）‎ A．若“”为假命题，则p，q均为假命题 B．“ ”是“”的充分不必要条件 C．“”的必要不充分条件是“”‎ D．若命题p：，，则命题：，‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据复合命题的之间判定的真值表，可判定A；根据充要条件的定义，可判定B、C，根据存在性命题的否定，可得判定D，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，对于A中，若“”为假命题，根据复合命题的真值表，可得p，q均为假命题，所以A是正确的；‎ 对于B中，“”是“”是成立的，但当“”时，“”不一定是成立的，所以“”是“”是的充分不必要条件，所以B是正确的；‎ 对于C中， “”时，“”不一定成立，而“”时，“”是成立的，所以“”的充分不必要条件是“”是错误的；‎ 对于D中，根据存在性命题的否定可知，命题p：，，则命题：‎ ‎，正确的，所以D是正确的；‎ 综上可知，错误的为C，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的真假判定及应用，复合命题的真假判定，充要条件以及含由量词的否定等知识点的应用，其中解答中熟记简易逻辑的相关知识点，合理应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎3．函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵2x>0,‎ 故0≤4-2x<4,‎ ‎∴函数值域为[0,2).‎ ‎4．函数的部分图像如图所示，则 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.‎ ‎【考点】 三角函数的图像与性质 ‎【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．‎ ‎5．函数在点处的切线斜率为，则的最小值是（ ）‎ A．10 B．9 C．8 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】对函数求导可得，根据导数的几何意义，，即 ‎==()·)=+5≥2+5=4+5=9，当且仅当即时，取等号.所以的最小值是9.‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件 ‎6．设等比数列的前n项和为，且满足，则　　‎ A.4 B.5 C.8 D.9‎ ‎【答案】D ‎【解析】由等比数列的通项公式和求和公式代入题中式子可求。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列通项公式和求和公式基本量的运算。‎ ‎7．已知,均为单位向量,它们的夹角为,那么( )‎ A. B. C. D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：,,所以.‎ ‎【考点】向量的模的计算,向量数量积,模与向量关系.‎ ‎8．已知函数，则的图象大致为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于，排除B选项.‎ 由于，，函数单调递减，排除C选项.‎ 由于，排除D选项.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题.‎ ‎9．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是（）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形的形状．‎ ‎【详解】‎ 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，‎ 且b2+c2＝a2+bc．‎ 则：，‎ 由于：0＜A＜π，‎ 故：A．‎ 由于：sinBsinC＝sin2A，‎ 利用正弦定理得：bc＝a2，‎ 所以：b2+c2﹣2bc＝0，‎ 故：b＝c，‎ 所以：△ABC为等边三角形．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎10．一直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的半径为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：球的半径满足 ‎【考点】外接球 ‎11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为　　‎ A.相交 B.平行 C.异面而且垂直 D.异面但不垂直 ‎【答案】D ‎【解析】解：利用展开图可知，线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D ‎12．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截 得的弦长为2，则的离心率为 （ ）‎ A.2 B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，‎ 即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．‎ 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e的取值范围)．‎ 二、填空题 ‎13．设复数，则复数的共轭复数为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用复数的四则混合运算化简求解即可．‎ ‎【详解】‎ 复数，则复数 ‎．‎ 复数的共轭复数为：‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的四则混合运算，是基础题，分式类型的复数计算注意分母实数化的方法.‎ ‎14．已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，弦所在直线方程为，则，‎ ‎∵，在抛物线上 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，即 ‎∴弦所在直线方程为 故答案为 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦所在直线方程的斜率，方法一利用点差法，列出有关弦 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.‎ ‎15．函数的最小值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把式子进行配方，再把两个根式写成两点间距离公式的形式,根据式子 的几何意义可以求出函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 问题就可以转化为在直角坐标系中，在横轴上找到一点,使得该点到 两点的距离最小,如下图所示：‎ 根据平面内,两点间线段最短,显然直线与横轴的交点就是到两点的距离最小的点,即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数的最小值问题,利用函数解析式的几何意义是解题的关键.‎ ‎16．若数列满足,,则______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用递推公式再递推一步,得到一个新的等式,两个等式相减,再利用累乘法可求出数列的通项公式,利用所求的通项公式可以求出的值.‎ ‎【详解】‎ 得, ,‎ 所以有,因此.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用递推公式求数列的通项公式,考查了累乘法,考查了数学运算能力.‎ 三、解答题 ‎17．已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：．‎ 若p为真命题，求实数m的取值范围；‎ 若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）若为真命题，则应有，解得实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，则，应一真一假，进而实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若为真命题，则应有，解得； ‎ ‎（2）若为真命题，则有，即，‎ 因为为真命题，为假命题， ‎ 则，应一真一假.‎ ‎①当真假时，有，得；‎ ‎②当假真时，有，无解，综上，的取值范围是.‎ ‎18．等差数列中，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为．‎ 由已知得，‎ 解得．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．‎ 所以 ‎．‎ ‎【考点】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．‎ ‎19．某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？‎ ‎【答案】（1）；（2），；（3）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数 试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：‎ x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分 ‎(2)月平均用电量的众数是＝230. ------------- 5分 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，‎ 设中位数为a，‎ 由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5‎ 得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分 ‎(3)月平均用电量为[220,240]的用户有0.0125×20×100＝25户，‎ 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，‎ 月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，‎ 月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分 抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．-- 12分 ‎【考点】频率分布直方图及分层抽样 ‎20．如图：在三棱锥中，，是直角三角形，，‎ ‎，点分别为的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的大小；‎ ‎（3）求二面角的正切值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：以分别为轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标.（1）计算，可得两直线垂直；（2）计算直线的方向向量和平面的法向量，可求得线面角的余弦值，用反三角函数表示出这个角的大小；（3）分别求出平面，平面的法向量，利用法向量求两个平面所成角的余弦值，然后转化为正切值.‎ 试题解析：‎ 解法一（1）连接。在中，.‎ ‎，点为的中点，‎ ‎∴.‎ 又，即为在平面内的射影，∴.‎ 分别为的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2），∴.‎ 连结交于点，，∴，‎ ‎∴为直线与平面所成的角，.‎ ‎，∴，又，‎ ‎∴.，∴，‎ ‎∴在中，，∴，‎ 即直线与平面所成角的大小为.‎ ‎（3）过点作于点，连结，，‎ ‎∴，即为在平面内的射影，‎ ‎，∴为二面角的平面角.‎ ‎∴中，，‎ ‎∴，即二面角的正切值为.‎ 解法二 建立空间直角坐标系，如图 则.‎ ‎（1）∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由已知可得，为平面的法向量，，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线与面所成角的正弦值为.‎ ‎∴直线与面所成角的为.‎ ‎（3）设平面的一个法向量为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，令，‎ ‎∴.‎ 由已知可得，向量为平面的一个法向量，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴二面角的正切值为.‎ ‎【考点】空间线面关系的证明，求面面角.‎ ‎21．已知椭圆 的左焦点为，且椭圆上的点到点的距离最小值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知经过点的直线与椭圆交于不同的两点、，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由左焦点为，得，在根据椭圆上的点到点的距离最小值为，得，即可求解的值，得到椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，代入椭圆的方程，根据根与系数的关系及弦长公式，得出方程，即可求解的值.‎ 试题解析：（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【考点】椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系的应用.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（I）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.‎ 试题解析：（I）的定义域为.当时，‎ ‎，‎ 曲线在处的切线方程为 ‎（II）当时，等价于 设，则 ‎，‎ ‎（i）当，时，，故在上单调递增，因此；‎ ‎（ii）当时，令得 ‎.‎ 由和得，故当时，，在单调递减，因此.‎ 综上，的取值范围是 ‎【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性 ‎【名师点睛】求函数的单调区间的方法：‎ ‎（1）确定函数y＝f（x）的定义域；‎ ‎（2）求导数y′＝f′（x）；‎ ‎（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；‎ ‎（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎