2019届二轮复习常考题型答题技巧概率的基本性质学案（全国通用）

2019届二轮复习常考题型答题技巧概率的基本性质学案（全国通用）

‎2019届二轮复习 常考题型答题技巧 概率的基本性质 学案 （全国通用）‎ ‎【知识梳理】‎ ‎1．事件的关系及运算 定义 表示法 图示 事件的关系学 ]‎ 包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A | ]‎ ‎(或A⊆B) ]‎ ‎ 学 ]‎ 事件互斥 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 若A∩B＝∅，‎ 则A与B 互斥 事件对立 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 若A∩B＝∅，‎ 且A∪B＝U，‎ 则A与B对立 事件的运算 并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B ‎(或A＋B)‎ 交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B ‎(或AB)‎ ‎2．概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围[0,1]．‎ ‎(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.‎ ‎(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．‎ 特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．‎ P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.‎ ‎【常考题型】‎ 题型一、事件间关系的判断 ‎【例1】　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：‎ ‎(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；‎ ‎(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；‎ ‎(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；‎ ‎(4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”．‎ ‎[解]　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．‎ ‎(1)“恰有一名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．‎ ‎(2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．‎ ‎(3)“至少一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．‎ ‎(4)“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．‎ ‎【类题通法】‎ 判断事件间关系的方法 ‎(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的．‎ ‎(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．‎ ‎【对点训练】‎ 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1 10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．‎ ‎(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；‎ ‎(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；‎ ‎(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于‎9”‎．‎ 解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．‎ ‎(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：‎ 从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．‎ ‎(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：‎ 从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于‎9”‎这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.‎ 题型二、事件的运算 ‎【例2】　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取三个球，设事件A＝，事件B＝，事件C＝ ，事件D＝.‎ 问：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？‎ ‎(2)事件C与A的交事件是什么事件？‎ ‎[解]　(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，或2个红球1个白球，故D＝A∪B.‎ ‎(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球，故C∩A＝A.‎ ‎【类题通法】‎ 进行事件运算应注意的问题 ‎ (1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．‎ ‎(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．‎ ‎【对点训练】‎ 在本例中，设事件E＝，事件F＝ ，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？‎ 解：C＝A∪B∪E；C∩F＝A∪B.‎ 题型三、互斥事件与对立事件的概率公式的应用 ‎【例3】　在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80 89分的概率是0.51，在70 79分的概率是0.15，在60 69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：‎ ‎(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；‎ ‎(2)小王数学考试及格的概率．‎ ‎[解]　设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80 89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A、B、C，且A，B，C两两互斥．‎ ‎(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A＋B，所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.‎ ‎(2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.‎ ‎【类题通法】‎ 概率公式的应用 ‎(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．‎ ‎(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P(B ‎)＝1，求出符合条件的事件的概率．‎ ‎【对点训练】‎ 一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：‎ ‎(1)取出1球是红球或黑球的概率；‎ ‎(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．‎ 解：法一：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．‎ ‎∴任取1球得红球或黑球的概率为 P1＝＝.‎ ‎(2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为＝.‎ 法二：(利用互斥事件求概率)‎ 记事件A1＝，A2＝，‎ A3＝，A4＝，则P(A1)＝，P(A2)＝，‎ P(A3)＝，P(A4)＝.‎ 根据题意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得 ‎(1)取出1球为红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.‎ ‎(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)‎ ‎＝＋＋＝.‎ 法三：(利用对立事件求概率)‎ ‎(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)‎ ‎＝1－－＝＝.‎ ‎(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.‎ 所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.‎ ‎【练习反馈】‎ ‎1．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“‎ 三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中错误的是 (　　)‎ A．A与C互斥　　　　　　 　B．B与C互斥 C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥 解析：选D　由题意知事件A、B、C两两不可能同时发生，因此两两互斥．‎ ‎2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)‎ A．至多有2件次品 B．至多有1件次品 C．至多有2件正品 D．至少有2件正品 解析：选B　至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．‎ ‎3．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 ．‎ 解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.‎ 答案： ‎4．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.15,0.20,0.45，则不中靶的概率是 ．‎ 解析：设射手“命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C互斥，故射手中靶概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.15＋0.20＋0.45＝0.80.因为中靶和不中靶是对立事件，故不中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.80＝0.20.‎ 答案：0.20‎ ‎5．黄种人群中各种血型的人所占比例如下：‎ 血型 A B AB O 该血型的人所占比例( )‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎8‎ ‎35‎ 已知同种血型的人之间可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，则：‎ ‎(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？‎ ‎(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？‎ 解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，得 P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，‎ P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.‎ 因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给小明血的人”为事件B′∪D′，根据互斥事件的概率加法公式，有P(B′∪D′)＝P (B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.‎ ‎(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输血给小明的人”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.‎ 法二：因为任找一个人，其血要么可以输给小明，要么不可以输给小明，两者互为对立事件，所以不能输给小明的概率为1－P(B′∪D′)＝1－0.64＝0.36.‎