河北省蠡县中学2018-2019学年高二9月月考数学（理）试题

河北省蠡县中学2018-2019学年高二9月月考数学（理）试题

蠡县中学2018学年度9月月考 数学试卷 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.从装有黑球和白球各2个的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件（ ）‎ A．至少有1个黑球，至少有1个白球 B．恰有一个黑球，恰有2个白球 C．至少有一个黑球，都是黑球 D．至少有1个黑球，都是白球 ‎2.4名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同的标报名方法共有（　　）‎ A．4种 B．16种 ‎ C．64种 D．256种 ‎3.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（mod m），‎ 例如10=2（mod 4），下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的i等于（　　 ）‎ A．4 B．‎8 ‎C．16 D．32‎ ‎4.已知f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1，‎ 若用秦九韶算法求f（5）的值，下面说法正确（）‎ A．至多4乘法运算和5次加法运算 B．15次乘法运算和5次加法运算 C．10次乘法运算和5次加法运算 D．至多5次乘法运算和5次加法运算 ‎5.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（　　）‎ A．24种 B．48种 C．96种 D．144种 ‎6.某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：‎ 记忆能力x ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 识图能力y ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 由表中数据，求得线性回归方程为， =x+，若某儿童的记忆能力为11时，则他的识图能力约为（ ）‎ A．8.5 B．‎8.7 ‎C．8.9 D．9‎ ‎7.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，3，…，840随机编号，则抽取的42个人中，编号落入区间[481，720]的人数为 A．11 B．‎12 C．13 D．14‎ ‎8.由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有（　　）‎ A．72 B．‎60 ‎C．48 D．52‎ ‎9.某教师一天上3个班级的课，每班开1节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有排法有（　　）‎ A．474种 B．77种 C．462种 D．79种 ‎10.对任意实数x，有，则a2=（　　）‎ A．3 B．‎6 ‎ C．9 D．21‎ ‎11.已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是（　　）‎ A．﹣20 B．20 ‎ C．﹣540 D．540‎ ‎12.甲乙二人玩游戏，甲想一数字记为a，乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1，2，3}，若|a﹣b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”，则他们“心有灵犀”的概率为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.在[﹣2，3]上随机取一个数x，则（x+1）（x﹣3）≤0的概率为　　．‎ ‎14.十进制1039（10）转化为8进制为　　（8）．‎ ‎15.设样本数据x1，x2，…，x2017的方差是4，若yi=2xi﹣1（i=1，2，…，2017），则 y1，y2，…y2017的方差为　 　．‎ ‎16.将（2x2﹣x+1）8展开且合并同类项之后的式子中x5的系数是　　．‎ 三、解答题（本题共6道小题,第1题10分,其它题12分）‎ ‎17.某冷饮店为了解气温变化对其营业额的影响，随机记录了该店1月份销售淡季中5天的日营业额y（单位：百元）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如下表所示：‎ x ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎10‎ y ‎12‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎（Ⅰ）判定y与x之间是正相关还是负相关，并求回归方程=x+‎ ‎（Ⅱ）若该地1月份某天的最低气温为‎6℃‎，预测该店当日的营业额 ‎（参考公式： ==，‎ ‎ =﹣）．‎ ‎18.某统计部门就“A市汽车价格区间的购买意愿”对100人进行了问卷调查，并将结果制作成频率分布直方图，如图，已知样本中数据在区间[10，15）上的人数与数据在区间[25，30）的人数之比为3：4．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值．‎ ‎（Ⅱ）估计A市汽车价格区间购买意愿的中位数；‎ ‎（Ⅲ）按分层抽样的方法在数据区间[10，15）和[20，25）上接受调查的市民中选取6人参加座谈，再从这6人中随机选取2人作为主要发言人，求在[10，15）的市民中至少有一人被选中的概率．‎ ‎19.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a、b、c成等比数列，c=bsinC﹣ccosB．‎ ‎（Ⅰ）求B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若b=2，求△ABC的周长和面积．‎ ‎20.已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992。‎ ‎（1）求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（2）求展开式中系数最大的项。‎ ‎21.已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0．‎ ‎（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有实根的概率；‎ ‎（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．‎ ‎22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．‎ ‎（1）证明PA∥平面EDB；‎ ‎（2）证明PB⊥平面EFD；‎ ‎（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．‎ ‎ 9月月考试卷答案 一.选择题 1.B 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B 7.B 8.B 9.A 10.B 11.C 12.D 二.填空题 13. 14.2017 15.16 16.﹣1288‎ ‎17.【解答】解：（I）由散点图知：y与x之间是负相关；…‎ 因为n=5， =7， =9， （﹣5）=275﹣5×72=30；‎ ‎（xiyi﹣5）=294﹣5×7×9=﹣21．所以b=﹣0.7，…‎ ‎=﹣=9﹣（﹣0.7）×7=13.9．…故回归方程为y=﹣0.7x+13.9…‎ ‎（Ⅱ）当x=6时，y=﹣0.7×6+13.9=9.7．故预测该店当日的营业额约为970元…‎ ‎18.解：（Ⅰ）设样本中数据在区间[10，15）上的人数与数据在区间[25，30）的人数分别为3k，4k，则，‎ 解得k=5，∴a=0.03k÷5=0.03，b=0.04k÷5=0.04．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图得数据区间[5，20）内的频率为：（0.01+0.03+0.04）×5=0.4，数据区间[20，25）内的频率为：0.06×5=0.3，‎ ‎∴A市汽车价格区间购买意愿的中位数为：20+=．‎ ‎（Ⅲ）按分层抽样的方法在数据区间[10，15）和[20，25）上接受调查的市民中选取6人参加座谈，则在数据区间[10，15）上选取：6×=2人，[20，25）上选取：6×=4人，‎ 从这6人中随机选取2人作为主要发言人，基本事件总数n=，‎ 在[10，15）的市民中至少有一人被选中的对立事件是选中的2人都在[20，25）内，‎ ‎∴在[10，15）的市民中至少有一人被选中的概率p=1﹣=．‎ ‎19.解：（Ⅰ）根据题意，若c=bsinC﹣ccosB，‎ 由正弦定理可得sinC=sinBsinC﹣sinCcosB，‎ 又由sinC≠0，则有1=sinC﹣cosB，即1=2sin（B﹣），‎ 则有B﹣=或B﹣=，即B=或π（舍） 故B=；‎ ‎（Ⅱ）已知b=2，则b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣‎3ac=12，‎ 又由a、b、c成等比数列，即b2=ac，‎ 则有12=（a+c）2﹣36，解可得a+c=4，‎ 所以△ABC的周长l=a+b+c=2+4=6，‎ 面积S△ABC=acsinB=b2sinB=3．‎ ‎20.（1）令x=1，得二项展开式各项系数和为f(1)=(1+3)n=4n，由题意得：‎ ‎ 4n－2n=992 (2n)2－2n－992=0 ∴(2n+31)(2n－32)=0 （3分）‎ ‎ ∴展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是：‎ ‎ （6分）‎ ‎（2）展开式通项公式为r=0, 1…5‎ ‎ 假设Tr+1项系数最大，则有： （9分）‎ 解得： ∵r∈N ∴r=4 ∴展开式中系数最大项为 ‎21.【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型 用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件 依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个 二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有实根，‎ 等价于△=4（a﹣2）2+4（b2﹣16）≥0，即（a﹣2）2+b2≥16，‎ ‎“方程有两个根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为（1，6），（1，5）．（1，4），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4），（6，5），（6，6），共22个 ‎∴所求的概率为P（A）=；‎ ‎（2）由题意知本题是一个几何概型，；‎ 试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=16‎ 满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}‎ 其面积为S（B）=×π×42=4π ‎22.解：方法一：（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．‎ ‎∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在△PAC中，EO是中位线，‎ ‎∴PA∥EO而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，所以，PA∥平面EDB ‎（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC ‎∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC．①‎ 同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．‎ ‎∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．‎ 而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．② 由①和②推得DE⊥平面PBC．‎ 而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB 又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．‎ ‎（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．‎ 由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．设正方形ABCD的边长为a，则 ，．‎ 在Rt△PDB中，．‎ 在Rt△EFD中，，∴．‎ 所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．‎ 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．‎ ‎（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG．‎ 依题意得．‎ ‎∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且．‎ ‎∴，这表明PA∥EG．‎ 而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．‎ ‎（2）证明；依题意得B（a，a，0），．‎ 又，故． ∴PB⊥DE．‎ ‎ 由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．‎ ‎（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），，‎ 则（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a）．从而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a．所以．‎ 由条件EF⊥PB知，，即，‎ 解得 ∴点F的坐标为，且，‎ ‎∴‎ 即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．‎ ‎∵，且，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．‎