专题52 椭圆方程多结合其几何性质考查-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

专题52 椭圆方程多结合其几何性质考查-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

‎ ‎ 考纲要求:‎ ‎1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．　2.了解椭圆的简单应用．3．理解数形结合的思想．‎ 基础知识回顾:‎ 一、椭圆的定义 二、椭圆的标准方程和几何性质 三、直线与椭圆的位置关系 ‎1．位置关系的判断 直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ，‎ ‎(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．‎ ‎2．弦长公式 ‎(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝ |y1－y2|.‎ ‎(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.‎ 应用举例:‎ 类型一、椭圆定义的应用 ‎【例1】【2018届云南省师范大学附属中学高三月考二】点P在椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎上，‎F‎1‎‎,‎F‎2‎ 是椭圆的两个焦点，‎∠F‎1‎PF‎2‎=‎‎60‎‎0‎，且ΔF‎1‎PF‎2‎的三条边‎|PF‎2‎|‎，‎|PF‎1‎|‎，‎|F‎1‎F‎2‎|‎成等差数列，则此椭圆的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【例2】【2018届福建省闽侯第六中学高三上学期第一次月考】已知椭圆： ，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点评：(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．‎ 类型二、椭圆标准方程的求法 ‎【例3】【2018届广西柳州市高三毕业班上学期摸底】已知焦点在轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为，则椭圆的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，选B.‎ 点评：求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解．有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．‎ 类型三、椭圆的焦点三角形问题 ‎【例4】为椭圆上一点，为左右焦点，若，则的面积为 .‎ 解析：由椭圆方程可知，，∵点在椭圆上，为椭圆的左右焦点，∴，设，则，解得，所以的面积为．所以答案应填：．‎ ‎【例5】【2018届重庆市第一中学高三上期中】已知点是椭圆上一点， 分别为的左、右焦点， ， ， 的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆相交于两点，点，记直线的斜率分别为，当最大时，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 直线的方程为.‎ ‎（2）①当直线的斜率为0时，则；‎ ‎②当直线的斜率不为0时，设， ，直线的方程为，‎ 将代入，整理得，‎ 则， ，又， ，‎ 点评：(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的关系．‎ ‎(2)对△F1PF2的处理方法⇔ 类型四、椭圆的离心率问题 ‎【例6】【2018届山西省山大附中等晋豫名校高三第四次调研诊断】已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上， ， ，则椭圆的离心率（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于，则， ， ‎ ‎， ， ， ， ， ， ， ，则 ，选C. ‎ ‎【例7】【2018届四川省成都市新津中学高三11月月】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上， 为椭圆的顶点， 为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【例8】【2018届南宁市届高三毕业班摸底】已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0‎，弦的中点坐标是M‎-4,1‎，则椭圆的离心率是（ ）‎ A. B. ‎2‎‎2‎ C. ‎3‎‎2‎ D. ‎‎5‎‎5‎ ‎【答案】C ‎【解析】设直线与椭圆交点为A(x‎1‎,y‎1‎),B(x‎2‎,y‎2‎)‎，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM‎=-b‎2‎a‎2‎kxM,‎代入k=1,M(-4,1),解得b‎2‎a‎2‎‎=‎1‎‎4‎,e=‎1-‎‎(ba)‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎，选C. ‎ 点评：求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围．离心率e与a，b的关系：e2＝⇒＝。‎ 类型五、直线与椭圆的位置关系 ‎【例9】【2018届广西贺州市桂梧高中高三上第四次联考】已知中心为坐标原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为4，且椭圆过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与椭圆交于， 两点， ，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎ ‎ 点评：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．‎ 类型六、与椭圆有关的最值问题 ‎【例10】已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭圆内一点，则的最小值______________‎ 解析：由椭圆的方程化为 ，可得 ，∴ ．如图所示．‎ ‎∵ ，∴ ．当且仅当三点 共线时取等号．∴ 的最小值为．‎ ‎【例11】【2018届四川省成都市第七中学高三上半期】已知椭圆： ‎ 的左、右焦点分别为 且离心率为， 为椭圆上三个点， 的周长为，线段的垂直平分线经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求线段长度的最大值.‎ ‎【答案】(1) ；(2)4.‎ ‎（2）当斜率不存在时， 最大值为 当斜率存在时，设： ‎ 联立与得： ， ‎ 中点坐标为 因为的垂直平分线经过点，所以（若为0，则中垂线为轴，这与题 ‎ ‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法：‎ ‎(1)求出a，c代入公式e＝；‎ ‎(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎2、‎ 利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常用到结论有：(其中，θ＝∠F1PF2)‎ ‎(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos θ；(3)当P为短轴端点时，θ最大．‎ ‎(4)S＝|PF1||PF2|sin θ＝·b2＝b2tan ＝c·|y0|.‎ ‎ 当y0＝±b，即P为短轴端点时，S△PF1F2有最大值为bc.‎ ‎(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).‎ 实战演练:‎ ‎1.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，若的周长为，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 2.【2018届云南省昆明市高新技术开发区高考适应性月考】设分别是椭圆（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点， 在轴上的截距为1，若，且轴，则此椭圆的长轴长为（ ）‎ A. B. 3 C. D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】轴， 在轴上的截距为1，则， ，则 ，‎ ‎， ， ， ， ， ， .选D . ‎ ‎3.【2018届河南省中原名校高三第三次质量考评】已知点是椭圆上的一点， ， 是焦点，若取最大时，则的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 4．【2018届浙江省温州市高三9月】正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. ‎(‎5‎‎-1‎‎2‎,1)‎ B. ‎(0,‎5‎‎-1‎‎2‎)‎ C. ‎(‎3‎‎-1‎‎2‎,1)‎ D. ‎‎(0,‎3‎‎-1‎‎2‎)‎ ‎【答案】B ‎【解析】设正方体的边长为‎2m，‎∵‎椭圆的焦点在正方形的内部，‎∴m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎上，‎∴m‎2‎a‎2‎+m‎2‎b‎2‎=1≥c‎2‎a‎2‎+c‎2‎b‎2‎=e‎2‎+‎e‎2‎‎1-‎e‎2‎，e‎4‎‎-3e‎2‎+1≥0‎，e‎2‎‎≤‎3-‎‎5‎‎2‎=‎5‎‎-1‎‎2‎‎2‎,∴0b>0)‎交于A,B两点，若ΔOAB是直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. ‎2‎‎2‎ B. ‎3‎‎3‎ C. ‎6‎‎3‎ D. ‎【答案】C ‎【解析】x=‎a‎2‎代入椭圆方程得y=±‎3‎‎2‎b，‎3‎‎2‎b=a‎2‎⇒3(a‎2‎-c‎2‎)=a‎2‎⇒ca=‎‎6‎‎3‎，故选C.‎ ‎6．【2018届广西桂林市柳州市高三综合模拟金卷（1）】已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 7．【2018届山东省淄博市淄川中学高三上学期开学】已知点是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）‎ A. 2 B. C. 0 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】椭圆，即为，则椭圆的，则由为的中线，即有，则，可设，则，即有，当时，取得最小值，则的最小值为，故选A. ‎ ‎8．设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则| |＋||的最大值为_______‎ 解析：由椭圆方程可知，两焦点坐标，由椭圆定义可得 ‎，结合三角形三边关系可知，所以，最大值为15 ‎ ‎9．已知直线与椭圆相交于两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为___________．‎ ‎ 10.【2018届天津市实验中学高三上期中】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点.‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；‎ ‎（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎（3）当直线垂直于轴时， ，因此的面积.‎ 当直线不垂直于轴时，该直线方程为，代入，‎ 解得， ，‎ 则，又点到直线的距离，‎ ‎∴的面积 于是 由，得，其中，当时，等号成立.‎ ‎∴的最大值是.‎ ‎11.【2018届福建省福州市第一中学高三上学期期中】已知是椭圆 的左右焦点，O为坐标原点， 在椭圆上，线段与轴的交点满足.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）直线与椭圆相交于两点， ，判断的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 由得，且有 ‎，且有 因为，得，即 化简得：‎ 满足， ，‎ 点到直线的距离，所以（定值）.‎ ‎12.【2018届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高三上学期期中】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的焦距为2，且过点‎(‎2‎,‎6‎‎2‎)‎.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若点A,B分别是椭圆E的左右顶点，直线经过点B且垂直与轴，点P是椭圆上异于A,B的任意一点，直线AP交于点M.‎ ‎ ①设直线OM的斜率为k‎1‎，直线BP的斜率为k‎2‎，求证：k‎1‎k‎2‎为定值；‎ ‎②设过点M垂直于PB的直线为m ，求证：直线m过定点，并求出定点的坐标.‎ ‎【答案】（1）x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎；（2）k‎1‎k‎2‎‎=-‎‎3‎‎2‎，‎(-1,0)‎.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13．【2018届江苏省徐州市高三上学期期中】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左顶点为A(-2,0)‎，离心率为，过点A的直线与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上的一点.‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）若‎△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎（2）‎y=0,y=±‎3‎‎4‎(x+2)‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件列关于a,b,c方程组，解得a,b（2）先设直线方程（点斜式），与椭圆方程联立解得B点坐标，由AC与BC垂直，以及AC=BC解出C点纵坐标，得关于k的二次方程，即得直线方程 试题解析：（1）由题意可得： a=2‎e=‎‎1‎‎2‎，即a=2‎ca‎=‎‎1‎‎2‎， ‎ 从而有b‎2‎‎=a‎2‎-c‎2‎=3‎，‎ 所以椭圆E的标准方程为：x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎． ‎ ‎ ‎ ‎14．【2017届北京房山高三上期末】已知两定点， ，曲线上的动点满足，直线与曲线的另一个交点为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，若，求直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎（Ⅱ）由题意知直线不垂直于轴，也不与轴重合或平行．‎ 设， ，直线方程为，其中．‎ 由，得．‎ 解得或．‎ 依题意， ．‎ 因为，‎ 所以，则．‎ ‎ ‎