数学文卷·2018届湖南省衡阳八中高二上学期六科联赛（2016-12）

数学文卷·2018届湖南省衡阳八中高二上学期六科联赛（2016-12）

衡阳市八中2016年高二上期六科联赛试题 数 学（文）‎ 命题人：彭学军 审题人：谷中田 满分：150分； 时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（　　）‎ A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（3， 1） D．（4，﹣2）‎ ‎2. 已知条件p：x＞y，条件q：，则p是q的（　　 ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3. 若函数在附近的平均变化率为 ，‎ 则（ ）‎ A．2　　　　　 B．‎4 C． D． ‎ ‎4. 双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（　　）‎ A． B． C．1 D． ‎ ‎5. 若函数，则在的导数等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 椭圆的一个焦点是（0，2），那么等于（　　）‎ A．﹣1 B．‎1 ‎C． D． ‎ ‎7.若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8. 函数的极大值为6，那么的值是（　　）‎ A．5 B．‎0 ‎C．6 D．1‎ ‎9. 已知关于的方程有实数解，则的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 在同一坐标系中，方程与表示的曲线大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若，则(　 　)‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12. 已知椭圆与圆C2：，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在题中横线上）‎ ‎13. 若直线与抛物线交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是　 　．‎ ‎14. 若为实数，且，则= ．‎ ‎15. 已知某生产厂家的年利润(单位：万元)与年产量(单位：万件)的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件.‎ ‎16. 设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为 .‎ 19、 解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，设圆C与直线交于A、B两点，求．‎ ‎18.（本小题12分）命题：方程是焦点在轴上的椭圆；命题：函数在上单调递增. 若和均为假命题，‎ 求实数的取值范围．‎ ‎19.（本小题12分）已知双曲线的离心率为，实轴长为2．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若直线被双曲线截得的弦长为,求实数的值.‎ ‎20.（本小题12分） 已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，且函数有且只有两个零点，求常数的值．‎ ‎21.（本小题12分）设函数． ‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）已知 对任意恒成立， 求实数的取值范围．‎ ‎22.（本小题12分）平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）为上两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值．‎ 衡阳市八中2016年高二上期六科联赛试题 数学（文）参考答案 命题人：彭学军 审题人：谷中田 满分：150分； 时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（　　）‎ A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（3， 1） D．（4，﹣2）‎ ‎【解答】复数在复平面内对应点的坐标是（3，-1）．‎ 故选：A． ‎ ‎2. 已知条件p：x＞y，条件q：，则p是q的（　　 ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解答】由条件p：x＞y，不能推出条件q：，p是q的不充分条件，‎ 由条件q：，推出条件p：x＞y，p是q的必要条件，故选：B．‎ ‎3. 若函数在附近的平均变化率为 ，则 ‎（ ）‎ A．2　　　　　 B．‎4 C． D． ‎ ‎【解答】, 故选：B．‎ ‎4. 双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（　　）‎ A． B． C．1 D． ‎ ‎【解答】双曲线x2﹣y2=1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y=±x，‎ 所以所求的距离为=．故选B． ‎ ‎5. 若函数，则在的导数等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】函数f（x）的导函数，故选：C.‎ ‎6. 椭圆的一个焦点是（0，2），那么等于（　　）‎ A．﹣1 B．‎1 ‎C． D． ‎ ‎【解答】椭圆5x2+ky2=5 即 x2 +=1，∵焦点坐标为（0，2），c2=4，∴﹣1=4，∴k=1，故选: B．‎ ‎7.若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解答】∵直线的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程可得 y=﹣x+．故直线的斜率等于﹣．故选：D．‎ ‎8. 函数的极大值为6，那么的值是（　　）‎ A．5 B．‎0 ‎C．6 D．1‎ ‎【解答】∵函数f（x）=2x3﹣3x2+a，导数f′（x）=6x2﹣6x，令f′（x）=0，可得 x=0 或 x=1，‎ 导数在 x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）=a=6．‎ 导数在 x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值． ‎ 故选：C．‎ ‎9. 已知关于的方程有实数解，则的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】由题意 k= ，记f（x）=， ∴f'（x）=．‎ f'（x）在（0，e）上为正，在（e，+∞）上为负，可以得到f（x）的取值范围为（﹣∞，],这也就是k的取值范围，∴k的最大值为：．故选：C．‎ ‎10. 在同一坐标系中，方程与表示的曲线大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】∵a＞b∴椭圆的焦点在x轴上，排除C和D，整理抛物线方程得y2=﹣x ‎∵a＞b＞0∴﹣＜0∴抛物线的开口向左，焦点在x轴．故选A ‎11．若，则(　 　)‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】依题可构造函数f(x)＝，则f′(x)＝＝.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，所以f(x)＝在区间(0，1)上递减，故0＜x1＜x2＜1时有f(x1)＞f(x2)，即x2ex1＞x1ex2. 故选D．‎ ‎12. 已知椭圆与圆C2：，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解答】法1：如图，设P为椭圆的左（右）顶点，‎ 则已知∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，‎ 即，则，故选A． ‎ 法2：若在椭圆C1上存在点，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则，可得 ‎.则已知此方程组在无解.消即故选A．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在题中横线上）‎ ‎13. 若直线与抛物线交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是　（4，2）　．‎ ‎【解答】把直线方程与抛物线方程联立得，‎ 消去y得到x2﹣8x+4=0，利用根与系数的关系得到x1+x2=8，则y1+y2=x1+x2﹣4=4‎ 中点坐标为（，）=（4，2）故答案为：（4，2）‎ ‎14. 若为实数，且，则= . ‎ ‎【解答】，‎ ‎15. 已知某生产厂家的年利润(单位：万元)与年产量(单位：万件)的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件.‎ ‎【解答】 由，易知函数在取得最大值.‎ ‎16. 设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为 .‎ ‎【解答】由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，‎ ‎∵ex+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，‎ 又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，‎ 要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，即，解得﹣1≤a≤2．‎ 即 19、 解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，设圆C与直线交于A、B两点，求．‎ ‎【解答】直线的参数方程（t为参数）化为普通方程，得：x+y﹣1=0..3分 把圆C的方程为ρ=4cosθ化为直角坐标方程，得：x2+y2=4x即（x﹣2）2+y2=4…..6分 ‎ 点C到的距离 …..8分 ‎∴ …..10分 ‎18.（本小题12分）命题：方程是焦点在轴上的椭圆；命题：函数在上单调递增.若和均为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【解答】对于命题，可得； ……2分 对于命题，由≥0对恒成立得 ‎≤01≤≤3 …… 6分 由为假，为假得: 真假， …… 8分 若真假时，可得，故 …… 12分 ‎19.（本小题12分）已知双曲线的离心率为，实轴长为2．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若直线被双曲线截得的弦长为,求实数的值.‎ ‎【解答】（1）由题意得，‎ ‎∴所求双曲线的方程为. …… 5分 ‎（2）， …… 7分 可知. …… 9分 由弦长公式得 ……… 12分 ‎20.（本小题12分） 已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，且函数有且只有两个零点，求常数的值．‎ ‎【解答】解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)．‎ A． 若a≥1，则f′(x)≥0，且f′(x)＝0当且仅当a＝1，x＝－1时成立．故此时f(x)在R上是增函数．‎ ‎…… 2分 ‎(ii)由于a≠0，故当a＜1时，f′(x)＝0有两个根: x1＝，x2＝.‎ 若0＜a＜1，则当x∈(－∞，x2)或x∈(x1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；当x∈(x2，x1)时，f′(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是减函数． …… 4分 若a＜0，则当x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)时，f′(x)＜0，故f(x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是减函数；当x∈(x1，x2)时f′(x)＞0，故f(x)在(x1，x2)是增函数．…… 6分 ‎(2)当时，,‎ 由（1）知;. …… 9分 则函数有且只有两个零点或,‎ 故． … 12分 ‎21.（本小题12分）设函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）已知 对任意恒成立， 求实数的取值范围． ‎ ‎【解答】解：（1）， …… 2分 若f′（x）=0，则, 列表如下:‎ x ‎（1，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎﹣‎ f（x）‎ 单调增 极大值 单调减 单调减 故的单调递增区间为; 递减区间为 …… 6分 ‎（2）在两边取对数，得，由于0＜x＜1，所以（*）… 8分 由（1）的结果可知，当x∈（0，1）时，，‎ 为使（*）式对所有x∈（0，1）成立，当且仅当，即a＞﹣eln2 …… 12分 ‎22.（本小题12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．‎ ‎（1）求M的方程；‎ ‎（2）C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．‎ ‎【解答】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则 ＋＝1，＋＝1. ＝－1.‎ 由此可得＝－＝1.‎ 因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2. …… 3分 又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.‎ 所以M的方程为＋＝1. …… 5分 ‎(2)由解得或因此|AB|＝. … 7分 由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n (－

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