陕西省西安中学2020届高三仿真考试(一)数学(理)试题

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陕西省西安中学2020届高三仿真考试(一)数学(理)试题

西安中学高2020届仿真考试 理科数学 ‎1、已知复数满足,则复数( )‎ ‎ ‎ ‎2、已知集合 ,则( )‎ ‎ ‎ ‎3、已知都是实数,那么“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4、已知等比数列中有,数列是等差数列,且,则( )‎ A.2 B.4 C.8 D.16‎ ‎5、已知 , , ,则 的大小关系为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事:“今有良马与驽马发长安,至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里,日增一十二里;驽马初日行九十七里,日减二里.” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和,设计框图如下图. 若输出的的值为350,则判断框中可填( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎7、如图,若在矩形中随机撒一粒豆子,则豆子落在图中阴影部分的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8、在中,已知D是BC延长线上一点,点E为线段AD的中点,‎ 若,且,则=(    )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9、已知函数与互为反函数,函数的图象与的图象关于轴对称,若,则实数的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、已知数列的通项公式,则( )‎ A.150 B.162 C.180 D.210‎ ‎11、关于函数 有下述四个结论:‎ 函数 的图象把圆的面积两等分;‎ 是周期为的函数 函数在区间上有3个零点;‎ 函数在区间上单调递减;则正确结论的序号为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知双曲线过点且渐近线为,则下列结论错误的是( )‎ ‎ 曲线的方程为; ‎ ‎ 左焦点到一条渐近线距离为;‎ 直线与曲线有两个公共点; ‎ 过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条;‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13、已知一组数据分别是 则这组数据的中位数与众数的等比中项为 ;‎ ‎14、若二项式的展开式中的常数项为,则______.‎ ‎15、已知抛物线的焦点为,准线为,过点斜率为的直线与抛物线交于点(在轴的上方),过作于点,连接交抛物线于点,则_______.‎ ‎16.半径为2的球面上有,,,四点,且,,两两垂直,则,与 ‎ 面积之和的最大值为 .‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17、(本题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中, ‎ ‎(1)证明:平面 ; 若 ,,为线段上一点,且,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎18、(本题满分12分)‎ 的内角的对边分别为,已知.‎ ‎(1)求;(2)若,的面积为,求.‎ ‎19.(本小题满分12分) ‎ ‎ 现在是夏季多雨,是防汛时节,某地位于甲、乙两条河流的交汇处,根据统计资料预测,今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25,乙河流发生洪水的概率为0.18,(假设两河流发生洪水与否互不影响).现有一台大型设备正在该地施工,为了保护设备,施工方提出以下三种方案:‎ 方案一:运走设备需要花4000元;‎ 方案二:建一保护围墙,需要花费1000元,但围墙只能抵御一个河流发生的洪水,当两河流同时发生洪水时,设备将受损,损失56000元;‎ 方案三:不采取措施,此时,当两个河流都发生洪水时损失60000元,只有一条河流发生洪水时,损失10000元。‎ ‎(1)试求方案三中损失费 (随机变量)的分布列;‎ ‎(2)试比较哪一种方案好,说明理由。‎ ‎20、(本题满分12分)‎ ‎ 已知函数 , ‎ ‎(1)若 ,求 在区间 上的单调区间;‎ ‎(2)若 ,证明: 时恒有 ‎ ‎21、(本题满分12分)已知椭圆的右焦点为,上顶点为,直线的斜率为,且原点到直线的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若不经过点的直线与椭圆交于两点,且与圆 相切.试探究的周长是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由.‎ ‎(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做按所做的第一题计分 ‎22、[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ ‎ 在平面直角坐标系 中, .以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为 ,点 为 上的动点, 为 的中点。‎ ‎(1)求点 的轨迹 的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点 的极坐标为 ,若直线 经过点 与曲线 交于 ,弦 的中点为 ‎ ‎ 求 的取值范围。‎ ‎23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】‎ 已知,,不等式恒成立.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:.‎ 西安中学高2020届仿真考试 理科数学答案 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C B C D B A D A B C C 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13、 14、 124 15、 16、 8 ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎17、(本题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中, ‎ ‎(1)证明:平面 ; 若 ,,为线段上一点,且,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎17、(满分12分)‎ ‎(1)证明:在四棱锥中,,‎ ‎ ,.‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎,平面ABCD.‎ 解:,平面ABCD,‎ 以A为原点,AD为x轴,AM为y轴,AB为z轴,‎ 建立空间直角坐标系,,,E为线段BM上一点,‎ 且,,.‎ ‎,0,,0,,0,,2,,‎ ‎, 0,,2,,‎ 设平面BDM的法向量y,,则 ,,取,得,‎ 设直线EC与平面BDM所成角为,则直线EC与平面BDM所成角的正弦值为:‎ ‎.‎ ‎18、(本题满分12分)‎ 的内角的对边分别为,已知.‎ ‎(1)求;(2)若,的面积为,求.‎ 解:(1)在中, ‎ 即: ,又 ‎ 所以: , 或 (舍去),‎ ‎ 分 ‎(2)由的面积为得: ,又由得 ‎ 所以 ,由余弦定理得: ‎ 即分 ‎19、(满分12分)‎ 解:(1)在方案三中,记:甲河流发生洪水的事件为,乙河流发生洪水的事件为 ,则 ,有且只有一条发生洪水的概率为 ‎ ‎ 两河流都发生洪水的概率为 ,两河流都不发生洪水的概率为 ‎ 由题意知: 的取值为:10000,60000,0,则 的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎10000‎ ‎60000‎ ‎ ‎ ‎0.615‎ ‎0.34‎ ‎0.045‎ ‎(2)对于方案一来说,花费4000元 对于方案二来说:建围墙花费1000元,他只能抵御一条河流的洪水,但当两条河流都发生洪水时,损失56000元,而两条河流都发生洪水的概率为 ,所以该方案中可能的花费为 元 对于方案三来说:损失费用为:(元)‎ 比较可知:方案二最好,方案一次之,方案三最差。‎ ‎20、(本题满分12分)‎ ‎ 已知函数 , ‎ ‎(1)若 ,求 在区间 上的单调区间;‎ ‎(2)若 ,证明: 时恒有 ‎ 解:(1) ;‎ ‎ ,令 及 ,得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 单调递减 极小 单调递增 极大 单调递减 由上述表格可知: 在递减,在递增,在递减分 ‎(2)证明:,, ,设 ‎ 而 在 为增函数,又 ,‎ 所以存在唯一 ,使得 ,在 上, , 递减, ,在 上,递增, ‎ 因此在 总有 即 在递减,所以有: 分 ‎21、(本题满分12分)已知椭圆的右焦点为,上顶点为,直线的斜率为,且原点到直线的距离为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若不经过点的直线与椭圆交于两点,且与圆 相切.试探究的周长是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由.‎ ‎(1)解:由题可知,,则,又直线的方程为,即,所以,解得,所以椭圆的标准方程为.分 ‎(2)因为直线与圆相切,‎ 所以,即 分 设,联立,消去整理得,‎ 所以,分;‎ ‎ 分 所以 ‎ 又,所以.分 因为,同理 ‎ 所以,分 所以的周长是;‎ 则的周长为定值.分 ‎22、[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ ‎ 在平面直角坐标系 中, .以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为 ,点 为 上的动点, 为 的中点。‎ ‎(1)求点 的轨迹 的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点 的极坐标为 ,若直线 经过点 与曲线 交于 ,弦 的中点为 ‎ ‎ 求 的取值范围。‎ ‎22、解:(1)设 ,因为的极坐标方程为 ,所以的直角坐标坐标方程为 , ,即 ,点 在半圆 上,所以 ,整理得: 分 ‎(2)因为直线 过点 ,所以直线的参数方程为 ( 为参数, 为直线倾斜角, ),代入 方程得: ,则 ,‎ ‎ ,所以分 ‎23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】‎ 已知,,不等式恒成立.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:.‎ ‎23、解(1)∵,∴.‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.分 ‎(2)∵,,‎ 即两边开平方得.‎ 同理可得,.‎ 三式相加,得.分
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