专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎【高频考点解读】‎ ‎1．理解命题的概念 ‎2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 ‎3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 四种命题及其真假判断 例1、【2017山东，理3】已知命题p:；命题q：若a＞b，则，下列命题为真命题的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【提分秘籍】‎ 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系。要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可。对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤‎1”‎，则下列结论正确的是(　　)‎ A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞‎1”‎，是真命题 B．逆命题是“若m≤1，则函数f (x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题 解析：由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1。∴命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题。‎ 答案：D 热点题型二 充分条件、必要条件的判断 例2、【2017天津，理4】设，则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ，但，不满足 ，所以是充分不必要条件，选A.‎ ‎【提分秘籍】 充要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断。‎ ‎(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断。‎ ‎(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠‎1”‎是“x≠1或y≠‎1”‎的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝‎1”‎是“xy＝‎1”‎的何种条件。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－‎1”‎是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的(　　)‎ A．充分而不必要条件　B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0，但方程x＋y－1＝0有无数多个解，不能确定x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件。‎ 答案：A 热点题型三 充分条件、必要条件的应用 例3．已知集合M＝{x|x＜－3或x＞5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}。‎ ‎(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件；‎ ‎(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件；‎ ‎(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个必要但不充分条件。‎ 解析：(1)由M∩P＝{x|5＜x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件是{a|－3≤a≤5}；‎ ‎(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5＜x≤8}；反之，M∩P＝{x|5＜x≤8}未必有a＝0，故a＝0是所求的一个充分不必要条件；‎ ‎(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个必要不充分条件就是另求一个集合Q，使{a|－3≤a≤5}是集合Q的一个真子集．如果{a|a≤5}时，未必有M∩P＝{x|5＜x≤8}，但是M∩P＝{x|5＜x≤8}时，必有a≤5，故{a|a≤5}是所求的一个必要不充分条件。‎ ‎【提分秘籍】‎ 与充要条件有关的参数问题的求解方法 解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系，并由此列出关于参数的不等式(组)求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A．真，真，真　　　　　B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017天津，理4】设，则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ，但，不满足 ，所以是充分不必要条件，选A.‎ ‎2.【2017山东，理3】已知命题p:；命题q：若a＞b，则，下列命题为真命题的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由时有意义，知p是真命题，由可知q是假命题，即均是真命题，故选B.‎ ‎1.【2016高考浙江理数】命题“，使得”的否定形式是（ ）‎ A．，使得 B．，使得 ‎ C．，使得 D．，使得 ‎【答案】D ‎【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．‎ ‎【2015高考新课标1，理3】设命题：，则为( )‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】:，故选C.‎ ‎【2015高考浙江，理4】命题“且的否定形式是（ ）‎ A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 ‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.‎ ‎【2014·陕西卷】原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A．真，假，真 B．假，假，真 ‎ C．真，真，假 D．假，假，假 ‎【答案】B　‎ ‎【解析】设z1＝a＋bi，z2＝a－bi，且a，b∈R，则|z1|＝|z2|＝，故原命题为真，所以其否命题为假，逆否命题为真．当z1＝2＋i，z2＝－2＋i时，满足|z1|＝|z2|，此时z1，z2不是共轭复数，故原命题的逆命题为假．‎ ‎【2014·重庆卷】已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0，q：“x>‎1”‎是“x>‎2”‎的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．綈p∧綈q ‎ C．綈p∧q D．p∧綈q ‎【答案】D　‎ ‎【解析】根据指数函数的图像可知p为真命题．由于“x>‎1”‎是“x>‎2”‎的必要不充分条件，所以q为假命题，所以綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题．‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎ 1．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝‎0”‎是“函数f(x)为奇函数”的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：f(x)在R上为奇函数⇒f(0)＝0；f(0)＝‎0 f(x)在R上为奇函数，如f(x)＝x2，故选A.‎ 答案：A ‎2．下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是(　　)‎ A．a>b＋1 B．a>b－1‎ C．a2>b2 D．a3>b3‎ 解析：由a>b＋1，得a>b＋1>b，即a>b，而由a>b不能得出a>b＋1，因此，使a>b成立的充分不必要条件是a>b＋1，选A.‎ 答案：A ‎3．给定下列三个命题：‎ p1：函数y＝ax＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；‎ p2：∃a，b∈R，a2－ab＋b2<0；‎ p3：cosα＝cosβ成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．‎ 则下列命题中的真命题为(　　)‎ A．p1∨p2 B．p2∨綈p3‎ C．p1∨綈p3 D．綈p2∧p3‎ ‎4．“(m－1)(a－1)>‎0”‎是“logam>‎0”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：(m－1)(a－1)>0等价于或而logam>0等价于或所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m＝0，a＝0时，不能得出logam>0，故选B.‎ 答案：B ‎5．若集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x||x－a|<1}，则“a∈(2,3)”是“B⊆A”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．设函数f(x)＝log2x，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为f(x)＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a>b>0时，f(a)>f(b)；反之，当f(a)>f(b)时，a>b.故选B.‎ 答案：B ‎7．已知p：x≥k，q：<1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是(　　)‎ A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)‎ C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]‎ 解析：∵q：<1，∴－1<0，∴<0.‎ ‎∴(x－2)·(x＋1)>0，∴x<－1或x>2.‎ 因为p是q的充分不必要条件，所以k>2，故选B.‎ 答案：B ‎8．已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：∵f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋‎2a·bx＋b2，且f(x)＝(ax＋b)2为偶函数，∴‎2a·b＝0，即a·b＝0，所以a⊥b；若a⊥b，则有a·b＝0，∴f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋‎2a·bx＋b2＝a2x2＋b2为偶函数，∴“函数f(x)＝ (ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，故选C.‎ 答案：C ‎9．“若a，b∈R＋，a2＋b2<‎1”‎是“ab＋1>a＋b”的(　　)‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：a，b∈R＋，若a2＋b2<1，则a2＋2ab＋b2<1＋2ab<1＋2ab＋(ab)2，即(a＋b)2<(1＋ab)2，所以a＋b<1＋ab成立；当a＝b＝2时，有1＋ab>a＋b成立，但a2＋b2<1不成立，所以“a2＋b2<‎1”‎是“ab＋1>a＋b”的充分不必要条件，故选C.‎ 答案：C ‎10．在△ABC中，设p：＝＝；q：△ABC是正三角形，那么p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎11．以下四个命题中，真命题的个数是(　　)‎ ‎①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于‎1”‎的逆命题．‎ ‎②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lga＋lgb.‎ ‎③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．‎ ‎④在△ABC中，∠A<∠B是sinAb，则<”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题，则实数a，b应满足的前提条件是________。‎ ‎14．若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________。‎ 解析　由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，‎ ‎∴或∴0≤m≤2。‎ 答案　[0,2]‎ ‎15．如果对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<‎1”‎是“〈x〉＝〈y〉”的________条件．‎ 解析：可举例子，比如x＝－0.5，y＝－1.4，可得〈x〉＝0，〈y〉＝－1；比如x＝1.1，y＝1.5，〈x〉＝〈y〉＝2，|x－y|<1成立．因此“|x－y|<‎1”‎是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件．‎ 答案：必要不充分 ‎16．集合A＝，B＝{x||x－b|0)，命题q：实数m满足方程＋＝1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．‎ 解析：由a>0，m2－7am＋‎12a2<0，得‎3a0.‎ 由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2－m>m－1>0，‎ 解得1

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