甘肃省兰州第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题+含答案

甘肃省兰州第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题+含答案

兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题 高二数学（理）‎ 命题人: 审题人：‎ ‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）‎ ‎1．下列命题中,正确命题的个数为(　　)‎ ‎①“全等三角形的面积相等”的逆命题；‎ ‎②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；‎ ‎③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎2．命题“且的否定形式是(　　)‎ A．且 B．或 ‎ C．且 D．或 ‎3．抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为(　　)‎ A．2 B．1 C． D． ‎4．已知命题，.若命题是假命题，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线的充要条件是(　　)‎ A． B．‎ C．或 D．‎ ‎6．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ ‎7．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（ ）‎ A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6‎ ‎8．双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为(　　)‎ A．8 B．10 C．4＋3 D．3＋3 ‎9．在棱长为1的正四面体ABCD中，E, F分别是 BC, AD的中点，则=(　　)‎ ‎ A．0 B． C． D．‎ ‎10．不等式的解集记为，关于的不等式的解集记为，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是(　　)‎ A． B. ‎ C．　 D．‎ ‎11．已知直线的斜率为，它与抛物线相交于A，B两点，为抛物线的焦点， 若 ,则＝(　　)‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知点F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)‎ A．[，＋] B．[2，＋1]‎ C．[2，＋] D．[，＋1]‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）‎ ‎13．已知a＝(1,2，-y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a-b)，则x+y= ．‎ ‎14． 若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则·的最小值为________．‎ ‎15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余的，第4关收税金为剩余的，第5关收税金为剩余的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x．‎ ‎16．过双曲线（，）的右焦点作渐近线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为 ．‎ 三、解答题（本大题共6 小题，共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知命题p： 函数y=x2+mx+1在(-1，+∞）上单调递增，命题q： 对函数y=-4x2+4(2- m)x-1， y≤0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1 的中点，AA1＝AC＝CB＝AB =2． ‎ ‎(1)求证：BC1∥平面A1CD；‎ ‎(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．‎ ‎(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；‎ ‎(2)若平行于OA(O为坐标原点)的直线l与抛物线C相交于M、N两点，且|MN|=3，求DAMN的面积．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.‎ ‎(1)证明：PO⊥平面ABC；‎ ‎(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的余弦值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．‎ ‎(1)求双曲线C2的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，点M(1，0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过点M(1，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N(3，2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2为定值．‎ 兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题 高二数学（理）‎ 命题人: 审题人：‎ ‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）‎ ‎1．下列命题中,正确命题的个数为(　　)‎ ‎①“全等三角形的面积相等”的逆命题；‎ ‎②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；‎ ‎③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　C ‎2．命题“且的否定形式是(　　)‎ A．且 B．或 ‎ C．且 D．或 答案　B ‎3．抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为(　　)‎ A．2 B．1 C． D． 解析　由y＝4x2得x2＝y，所以2p＝，p＝，则抛物线的焦点到准线的距离为.‎ 答案　D ‎4．已知命题，.若命题是假命题，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ 答案　A ‎5．若，则方程表示焦点在轴上的双曲线的充要条件是(　　)‎ A． B．‎ C．或 D．‎ 答案　A ‎6．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ 答案　B ‎7．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（ ）‎ A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6‎ 答案　D ‎8．双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为(　　)‎ A．8 B．10 C．4＋3 D．3＋3 答案　B ‎9．在棱长为1的正四面体ABCD中，E, F分别是 BC, AD的中点，则=(　　)‎ ‎ A．0 B． C． D．‎ 答案　D ‎10．不等式的解集记为，关于的不等式的解集记为，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是(　　)‎ A． B. ‎ C．　 D．‎ 答案　A ‎11．已知直线的斜率为，它与抛物线相交于A，B两点，为抛物线的焦点，‎ ‎ 若 ,则＝(　　)‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案　C ‎12．已知点F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)‎ A．[，＋] B．[2，＋1]‎ C．[2，＋] D．[，＋1]‎ 答案　D 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）‎ ‎13．已知a＝(1,2，-y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a-b)，则x+y= ．‎ 答案　-‎ ‎14． 若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则·的最小值为________．‎ 答案　6‎ ‎15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余的，第4关收税金为剩余的，第5关收税金为剩余的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x．‎ 答案　 ‎16．过双曲线（，）的右焦点作渐近线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为 ．‎ 答案 ‎ 三、解答题（本大题共6 小题，共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知命题p： 函数y=x2+mx+1在(-1，+∞）上单调递增，命题q： 对函数y=-4x2+4(2- m)x-1， y≤0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．‎ 解：若函数y=x2+mx+1在（-1，+∞）上单调递增，则-≤-2，‎ ‎∴m≥2，即p：m≥2                      ……………………………2分 若函数y=-4x2+4（2- m）x-1≤0恒成立，则△=16（m-2）2-16≤0，‎ 解得1≤m≤3，即q：1≤m≤3                ……………………………5分 ‎∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假           ‎ 当p真q假时，由 解得：m>3   ……………………………7分 当p 假q真时，由 解得：1≤m<2   ……………………………9分 综上，m的取值范围是{m|m>3或1≤m<2}       ………………………… 10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1 的中点，AA1＝AC＝CB＝AB =2． ‎ ‎(1)求证：BC1∥平面A1CD；‎ ‎(2)求二面角D－A1C－E的余弦值．‎ 解析：(1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点．‎ 又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD. .............................4分 ‎(2)由AC＝CB＝AB，得AC⊥BC ‎ 以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.‎ 设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，，＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，‎ ‎．‎ 设是平面A1CD的法向量，‎ 则 可取．‎ 同理，设是平面A1CE的法向量，则可取．‎ 从而.‎ 即二面角D－A1C－E的余弦值为.................................12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．‎ ‎(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；‎ ‎(2)若平行于OA(O为坐标原点)的直线l与抛物线C相交于M、N两点，且|MN|=3，求DAMN的面积．‎ 解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2. ‎ 故抛物线方程为y2＝4x，准线为x＝-1. ……………………………4分 ‎(2)设直线l的方程为y＝－2x＋t，‎ 由得y2＋2y－2t＝0. ‎ ‎ ∴y1+y2=-2, y1y2=-2t, ……………………………6分 ‎∵直线l与抛物线C有公共点，∴Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.‎ 由|MN|==3得t=4， ……………………………10分 又A到直线l的距离为d= ……………………………11分 ‎∴DAMN的面积为S=|MN|﹒d=6. ……………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.‎ ‎(1)证明：PO⊥平面ABC；‎ ‎(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．‎ ‎(1)证明　因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.‎ 连接OB，因为AB＝BC＝AC，‎ 所以AB2＋BC2＝AC2，‎ 所以△ABC为等腰直角三角形，‎ 且OB⊥AC，OB＝AC＝2.‎ 由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.‎ 由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC. .............................6分 ‎(2)解　如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.‎ 由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，＝(0，2，2).取平面PAC的一个法向量＝(2，0，0).‎ 设M(a，2－a，0)(0

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