专题2-5 数列中的最值问题（练）-2018年高考数学（文）二轮复习讲练测

专题2-5 数列中的最值问题（练）-2018年高考数学（文）二轮复习讲练测

‎2018高三二轮复习之讲练测之练案【新课标版文科数学】‎ 练---精准到位 ‎ 专题五 数列最值问题 ‎1.练高考 ‎1.【2015高考北京】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】先分析四个答案支，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，选C.‎ ‎2.【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a‎1a2 …an的最大值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设等比数列的公比为,由得,,解得.所以,于是当或时,取得最大值.‎ ‎3.【2015高考四川】设数列的前项和，且成等差数列.‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）10.‎ ‎【解析】（1）由已知，有，‎ 即.‎ 从而.‎ 又因为成等差数列，即.‎ 所以，解得.‎ 所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列.‎ 故.‎ ‎（2）由（1）得.‎ 所以.‎ 由，得，即.‎ 因为，‎ 所以.‎ 于是，使成立的n的最小值为10.‎ ‎4.【2017北京，理20】设和是两个等差数列，记，‎ 其中表示这个数中最大的数．‎ ‎（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 所以.‎ 所以对任意，于是，‎ 所以是等差数列.‎ ‎5.【2015高考上海】已知数列与满足，.‎ ‎（1）若，且，求数列的通项公式；‎ ‎（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；‎ ‎（3）设， （），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）‎ ‎【解析】解：（1）由，得，‎ 所以是首项为，公差为的等差数列，‎ 故的通项公式为，.‎ 证明：（2）由，得.‎ 所以为常数列，，即.‎ 因为，，所以，即.‎ 故的第项是最大项.‎ 解：（3）因为，所以，‎ 当时，‎ ‎.‎ 当时，，符合上式.‎ 所以.‎ 因为，所以，.‎ ①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；‎ ②当时，的最大值为，最小值为，而；‎ ③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由 及，得.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎2.练模拟 ‎1.【2018届高三二轮同步】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，如果当n＝m时，Sn最小，那么m的值为(　　)‎ A. 10 B. 9 C. 5 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d.由已知得，解得.所以Sn＝，因为n∈N*，所以当n＝5时，Sn取得最小值，故选C.‎ ‎2.设等差数列的前项和为，且满足，，则取最大值时的值为（ ）‎ A．7 B．8 C. 9 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题设可得,即,也即,故应选C.‎ ‎3.【2018届江西省师范大学附属中学、九江第一中学高三11月联考】已知数列的前项和为,且,在等差数列中, ,且公差.使得成立的最小正整数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以,两式相减,得,即,又,所以,因为在等差数列中, ,且公差,所以,当时, (排除A),当时, (排除 B),当时, ;故选C.‎ ‎4.已知，设为数列的最大项，则． ‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】因为 ，所以当时，；当时，，所以为数列的最大项， 8‎ ‎5.若正数项数列的前项和为,首项,点在曲线上.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设,表示数列的前项和,若恒成立,求及实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ，‎ ‎【解析】（1）由得…………2分 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列 所以,即…………4分 由公式得 所以…………6分 ‎（2）因为 所以…………10分 显然是关于的增函数, 所以有最小值, ‎ 由于恒成立,所以, ‎ 于是的取值范围为 …………12分 ‎6.【2018届四川省广安、眉山毕业班第一次诊断】已知数列的前项和为，且 ‎.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求满足不等式的最小正整数.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由可得，两式相减可得，又，利用累加法可求数列的通项公式；（2）由（1）知，利用裂项相消法可求出数列的前项和为，求解不等式可得，从而可得满足不等式的最小正整数.‎ 试题解析：（1）由，有，又，‎ 所以时， ‎ ‎.‎ 当时，也满足，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以 令，解得，‎ 所以满足不等式的最小正整数为.‎ 3. 练原创 ‎1. 设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，n=1,2,3…，若，则的最大值是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得 ‎，又，所以 ‎，而，所以，所以 ‎，所以的最大值是.‎ ‎2. 已知数列满足，，记，且存在正整数，使得对一切恒成立，则的最大值为 ．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】，……‎ ‎，‎ 对一切恒成立，的最大值为：4．故答案为：４．‎ ‎3.已知等差数列的公差，且，当时，数列的前项和取得最小值，则首项的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用三角函数的降幂公式将条件转化为再利用和差化积公式转化，求得，从而可求得等差数列的公差，根据即可求得首项的取值范围．‎ ‎∵为等差数列，，‎ ‎，‎ ‎∵时，数列的前项和取得最小值，，‎ 故选D ‎4.已知数列，中，，数列的前项和为.‎ （1） 是否存在等比数列，使对任意恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由；‎ （2） 若，求证： .‎ ‎【答案】（1）一个是，另一个是；（2）‎ ‎【解析】（1）满足条件的数列存在且只有两个，其通项公式为和.‎ 证明：在中，令，得，设，则，‎ 由，得，‎ 若，则，满足对任意恒成立，‎ 此时和，‎ 若，则，即矛盾，‎ 综上可知，满足条件的数列存在且只有两个，一个是，另一个是；‎ ‎ ‎ ‎（2）因为，故，，于是，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴ ‎ 练---精准到位