2017-2018学年山东省菏泽市高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年山东省菏泽市高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省菏泽市高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．下列表述正确的是（ ）‎ ‎①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理；‎ ‎③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理；‎ ‎⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.‎ A. ①②③ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ①③⑤‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：归纳推理是由部分到整体的推理，‎ 演绎推理是由一般到特殊的推理，‎ 类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ 故①③⑤是正确的 ‎【考点】归纳推理；演绎推理的意义 ‎2．在求平均变化率中，自变量的增量（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由导数的定义，可得自变量x的增量△x可以是正数、负数，不可以是0.‎ 故选：D.‎ ‎3．已知回归方程为：，若解释变量增加1个单位，则预报变量平均（ ）‎ A. 增加2个单位 B. 减少2个单位 C. 增加3个单位 D. 减少3个单位 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由回归方程=3﹣2x的斜率为﹣2，得出解释变量与预报变量之间的关系．‎ 详解：回归方程为=3﹣2x时，‎ 解释变量增加1个单位，则预报变量平均减少2个单位．‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查了线性回归方程一次项系数的实际意义，属于基础题.‎ ‎4．下列结论：①；②；③；④.其中正确的有（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用导数的基本运算公式分别计算即可．‎ 详解：（sin x）′=cos x，故①正确；‎ ‎（）′=﹣，故②错误； ‎ ‎（log3x）′=，故③错误；‎ ‎（ln x）′=，故④正确．‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查导数基本公式，注意区分，的导数.‎ ‎5．已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是（ ）‎ A. 在上为减函数 B. 在处取得最大值 C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．‎ 详解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知：‎ f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0‎ 当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；‎ 当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．‎ 可知C正确，A错误；‎ 由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误．‎ 故选：C．‎ 点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x）＞0得增区间，由f′（x）＜0得减区间，由f′（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x）的符号是否发生改变.‎ ‎6．下面结论正确的是（ ）‎ ‎①“所有2的倍数都是4的倍数，某数是2的倍数，则一定是4的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.‎ ‎②在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.‎ ‎③由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.‎ ‎④一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式必为.‎ A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】①“所有的倍数都是的倍数，某数是的倍数，则一定是的倍数”这是三段论推理，但其结论是错误的，原因是大前提“所有的倍数都是的倍数”错误，故①正确；②在类比时，平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适，故②错误；③由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理，且是类比推理，正确；④一个数列的前三项是，那么这个数列的通项公式是错误，如数列 ，故④错误，正确的命题是①③，故选A.‎ ‎7．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加 “智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：‎ 小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； ‎ 小王说：“丁团队获得一等奖”； ‎ 小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； ‎ 小赵说：“甲团队获得一等奖”． ‎ 若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】D ‎【解析】1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;‎ ‎2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;‎ ‎3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;‎ ‎4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.‎ ‎【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.‎ ‎8．设是可导函数，且，则（ ）‎ A. B. -1 C. 0 D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为 所以，故选B.‎ ‎【考点】导数的概念.‎ ‎9．对具有线性相关关系的两个变量和，测得一组数据如下表所示：‎ 根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为，则（ ）‎ A. 85.5 B. 80 C. 85 D. 90‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：计算，代入线性回归方程，求出纵标的平均数，解方程求出m．‎ 详解：∵=5，回归直线方程为y=10.5x+1.5，‎ ‎∴=54，‎ ‎∴55×4=20+40+60+70+m，‎ ‎∴m=80，‎ 故选：B．‎ 点睛：回归直线中样本中心一定在回归直线上，可以利用这一条件结合回归直线方程求出另一个未知量.‎ ‎10．用反证法证明命题“若自然数的积为偶数，则中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（ ）‎ A. 中中至多有一个偶数 B. 都是奇数 C. 至多有一个奇数 D. 都是偶数 ‎【答案】B ‎【解析】“至少有一个偶数”的对立面是“没有偶数”，故选B.‎ ‎11．有一段演绎推理是这样的：“若函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值；己知函数在上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值”.对于以上推理，说法正确的是（ ）‎ A. 大前提错误，结论错误 B. 小前提错误，结论错误 C. 推理形式错误，结论错误 D. 该段演绎推理正确，结论正确 ‎【答案】A ‎【解析】∵大前提是：“若函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值”，不是真命题，因为对于可导函数，如果，且满足当附近的导函数值异号时，那么 是函数的极值点，∴大前提错误，导致结论错误，故选A．‎ ‎12．已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意，设g（x）=f（x）﹣2x2+x﹣1，由题设可知g′（x）＜0，即函数g（x）在R上为减函数，则原不等式可以转化为g（x）＜g（3），结合函数的单调性分析可得答案．‎ 详解：根据题意，设g（x）=f（x）﹣2x2+x﹣1，其导数g′（x）=f′（x）﹣4x+1，‎ 又由f'（x）＜4x﹣1，即f′（x）﹣4x+1＜0，‎ 则g′（x）＜0，即函数g（x）在R上为减函数，‎ 又由f（3）=16，则g（3）=f（3）﹣18+3﹣1=0，‎ f（x）＜2x2﹣x+1⇒f（x）﹣2x2+x﹣1＜0⇒g（x）＜g（3），‎ 又由函数g（x）为减函数，则有x＞3，‎ 则不等式f（x）＜2x2﹣x+1的解集为{x|x＞3}；‎ 故选：C．‎ 点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如构造；如构造；如构造等.‎ 二、填空题 ‎13．曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据导数的几何意义可知函数f（x）在x=1处的切线斜率k=f′（1），利用点斜式可得直线方程．‎ 详解：∵f（x）=ex ‎∴f（1）=e且f′（x）=ex 根据导数的几何意义可知函数f（x）在x=1处的切线斜率k=f′（1）=e ‎∴函数f（x）=ex在x=1处的切线方程是y﹣e=e（x﹣1），‎ 即y=ex 故答案为：y=ex．‎ 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎14．某箱子的容积与底面边长的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为__________．‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】分析：令v′=60x﹣=0，解得x=40，明确函数的单调性，由此能求出当箱子的容积最大时，箱子的底面边长．‎ 详解：∵V（x）=x2（）（0＜x＜60），‎ ‎∴v′=60x﹣，0＜x＜60，‎ 令v′=60x﹣=0，解得x=0（舍去），或x=40，‎ 并求得V（40）=16000．‎ 当x∈（0，40）时，v‘（x）＞0，v（x）是增函数；‎ 当x∈（40，60）时，v′（x）＜0，v（x）是减函数，‎ v（40）=16000是最大值．‎ ‎∴当箱子容积最大，箱子的底面边长为40．‎ 故答案为：40．‎ 点睛：求函数最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 求出函数的极值 （5）把极值与端点值进行比较得到函数的最值.‎ ‎15．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立，变量分离求最值即可．‎ 详解：f′（x）=k﹣，‎ ‎∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，‎ ‎∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．‎ ‎∴k≥，‎ 而y=在区间（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴k≥1．‎ ‎∴k的取值范围是：[1，+∞）．‎ 故答案为：[1，+∞）．‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题，最常用的手段：参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题（或含参讨论）.‎ ‎16．二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；观察发现 ‎，三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度，则，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题通过观察维测度与二维测度、二维测度与三维测度之间的关系，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.‎ 三、解答题 ‎17．请用分析法证明：‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】分析：两边平方寻找使不等式成立的条件即可 详解：‎ 要证 ‎ 只要证 ‎ 即 证 ‎ 而上式显然成立，故原不等式成立 点睛：分析法即“执果索因”，从结果切入，寻找使结果成立的条件，不断地向条件靠拢，从而解决问题的方法.‎ ‎18．已知为正实数，请用反证法证明：与中至少有一个不小于2.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：假设命题的反面，利用完全平方公式分解因式即可得出矛盾，得出结论成立．‎ 详解：‎ 假设结论不成立，则，‎ 所以，即，‎ 即，矛盾！‎ 故假设不成立，所以与中至少有一个不小于2‎ 点睛：反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发,经过推理得出和反面命题矛盾,或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的,即所求证命题成立.‎ ‎19．“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：‎ 步数/步 ‎0-3000‎ ‎3001-6000‎ ‎6001-8000‎ ‎8001-10000‎ ‎10000以上 男生人数/人 ‎1‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎15‎ ‎5‎ 女性人数/人 ‎0‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎1‎ 规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．填写上面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；‎ ‎【答案】没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”．‎ ‎【解析】分析：根据题意，由频率分布表可得 2×2 列联表，由独立性检验计算公式计算K2的值，结合独立性检验的意义可得答案 详解：‎ 根据题意完成下面的列联表：‎ 根据列联表中的数据，得到，‎ 所以没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”．‎ 点睛：独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III） 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）‎ ‎20．若，，求：‎ ‎（1）的单调增区间；‎ ‎（2）在上的最小值和最大值.‎ ‎【答案】(1) 增区间为;(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）求导，解不等式得到的单调增区间；‎ ‎（2）求出极值与端点值，经比较得到在上的最小值和最大值.‎ 详解：‎ ‎（1），‎ 由 解得，‎ 的增区间为；‎ ‎（2）， （舍）或，‎ ‎, , ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 点睛：函数的最值 ‎(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．‎ ‎(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．‎ ‎21．下表提供了某厂生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据：‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测生产20吨该产品的生产能耗是多少吨标准煤？‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，‎ ‎【答案】(1) 线性回归方程为;(2) 生产20吨该产品的生产能耗大约是18.2吨标准煤.‎ ‎【解析】试题分析：1）产量x与相应的生产能耗y的平均数，得到样本中心点，把所给的数据代入公式，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，再求出的值，从而得到线性回归方程； （2）当x=20，代入回归直线方程，求得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意，得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则，，‎ 故线性回归方程为；‎ ‎（2）当吨时，产品消耗的标准煤的数量为：‎ ‎，‎ 答：生产20吨该产品的生产能耗大约是18.2吨标准煤.‎ 点睛：求解回归方程问题的三个易误点：‎ ‎① 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．‎ ‎② 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过点，可能所有的样本数据点都不在直线上．‎ ‎③ 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．‎ ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）讨论函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 当时， 的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是;(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）求导，解不等式，得到增区间，解不等式，得到减区间；‎ ‎（2）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2⇔1+﹣≥b，构造函数g（x）=1+﹣，g（x）min即为所求的b的值 详解：‎ ‎（1）在区间上， ，‎ 当时， 恒成立， 在区间上单调递减；‎ 当时，令得，‎ 在区间上，，函数单调递减，‎ 在区间上，，函数单调递增.‎ 综上所述：当时， 的单调递减区间是，无单调递增区间；‎ 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是 ‎（2）因为函数在处取得极值，‎ 所以，解得，经检验可知满足题意 由已知，即，‎ 即对恒成立，‎ 令，‎ 则，‎ 易得在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，即.‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;‎ ‎（3）若恒成立，可转化为