数学文卷·2018届广东省惠州一中（惠州市）高三第三次调研考试（2018

数学文卷·2018届广东省惠州一中（惠州市）高三第三次调研考试（2018

惠州市 2018 届高三第三次调研考试 文科数学 全卷满分 150 分，时间 120 分钟． 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1. 集合 ， ，则 = （ ） (A) (B) (C) (D) 2．设 （ 为虚数单位），则 （ ） (A) (B) (C) (D) 2 3．等比数列 中， ， ，则 （　 ） (A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64 4. 已知向量 ， 则 （ ） (A) (B) (C) (D) 5．下列说法中正确的是（ ） (A) “ ”是“函数 是奇函数”的充要条件 (B) 若 ，则 (C) 若 为假命题，则 均为假命题 (D) “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” 6．已知输入实数 ，执行如图所示的流程图，则输出的 是 （ ） (A) (B) (C) (D) 7．将函数 （ ）的图象向右平移 个单位后得到函数 }{ 022 ≤−−= xxxA }{ 1<= xxB )( BCA R }{ 1x x > }{ 1 2x x< ≤ }{ 1x x ≥ }{ 1 2x x≤ ≤ 1 iz i = − i 1 z = 2 2 2 1 2 { }na 1 2 2a a+ = 4 5 4a a+ = 10 11a a+ = a b⊥  2,a b= =  2a b− =  2 2 2 2 5 10 (0) 0f = ( )f x 2 0 0 0: , 1 0p x R x x∃ ∈ − − > 2: , 1 0p x R x x¬ ∀ ∈ − − < p q∧ ,p q 6 πα = 1sin 2 α = 6 πα ≠ 1sin 2 α ≠ 12x = x 25 102 103 51 ( ) ( )1 cos 24f x x θ= + 2 πθ < 5 12 π ( )g x 开始 输 入 x n=1 n≤3 输 出 x 否 结束 x=2x+1n=n+1 是 的图象，若 的图象关于直线 对称，则 （ ） (A) (B) (C) (D) 8．已知 , 满足条件 ，则 的最大值是 ( ) (A) (B) (C) 3 (D) 4 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) (A) (B) (C) (D) 10．已知函数 的定义域为 ，满足 ，当 时， ，则函数 的大致图象是（ ） (A) (B) (C) (D) 11．已知 P 为抛物线 上一个动点，Q 为圆 上一个动点，则点 P 到 点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和最小值是（ ） (A) (B) (C) (D) 12. 设定义在 上的函数 满足任意 都有 ，且 时， ，则 的大小关系是（ ） (A) (B) (C) (D) 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。 2 4y x= ( )22 4 1x y+ − = 17 ( )g x 9x π= θ = 7 18 π 18 π 18 π− 7 18 π− x y 0 4 0 1 0 x y x y x − ≤  + − ≤  − ≥ y x 1 2 8 3 3 16 3 3 32 3 3 16 3 ( )y f x= { }| 0x x ≠ ( ) ( ) 0f x f x+ − = 0x > ( ) ln 1f x x x= − + ( )y f x= 17 1− 2 5 2− 2 R ( )y f x= t R∈ ( ) ( ) 12f t f t + = ( ]0,4x∈ ( ) ( )f xf x x ′ > ( ) ( ) ( )2016 4 2017 2 2018f f f、 、 ( ) ( ) ( )2 2018 2016 4 2017f f f< < ( ) ( ) ( )2 2018 2016 4 2017f f f> > ( ) ( ) ( )4 2017 2 2018 2016f f f< < ( ) ( ) ( )4 2017 2 2018 2016f f f> > 13．已知数据 的平均数为 2，则数据 的平均数为 . 14．设 ，且 是 与 的等比中项，则 的最小值为 . 15．当双曲线 不是等轴双曲线时，我们把以双曲线 的实轴、虚轴的端点作为顶点 的椭圆称为双曲线 的“伴生椭圆”．则离心率为 的双曲线的“伴生椭圆”的 离心率为 ． 16．已知平面区域 ， ，在区域 上 随机取一点 ，点 落在区域 内的概率为 ． 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考 生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（本小题满分 12 分） 在 中，角 的对边分别为 ，已知 . （1）求 ； （2）若 ， 边上的中线 ，求 的面积. 18．（本小题满分 12 分） 在某大学联盟的自主招生考试中，报考文史专业的考生参加了人文基础学科考试科目 “语文”和“数学”的考试. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，本次 考试中成绩在 内的记为 ，其中“语文”科目成绩在 内的考生有 10 人. （1）求该考场考生数学科目成绩为 的人数； 1 2, , , nx x x 1 22, 2, , 2nx x x+ + + 0, 0a b> > 3 3a 3b 1 1 a b + C C C 3 ( ) 2 2{ , | 4}M x y x y= + ≤ ( ){ , | 2}N x y y x= ≥ − + M A A N ABC∆ , ,A B C , ,a b c cos cos cos 2cos sinC A B A B+ = tanA 2 5b = AB 17CD = ABC∆ ]100,90[ A )90,80[ A A B C D 图 2 E （2）已知参加本场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为 .在至少一科成绩为 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为 的概率. 19．（本小题满分 12 分） 如图 1,在直角梯形 中, , , , 点 为 中点,将 沿 折起, 使平面 平面 ,得到几何 体 ,如图 2 所示. （1）在 上是否存在一点 ,使 平面 ？若存在，证明你的结论， 若不存在，请说明理由； （2）求点 到平面 的距离. 20．（本小题满分 12 分） 已知 ， 分别为椭圆 ： 的左、右焦点，点 在椭圆 上. （1）求 的最小值； （2）设直线 的斜率为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，若点 在第一象限， 且 ，求 面积的最大值. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ，其导函数 ，且 ， ． ABCD 90ADC∠ = ° / /CD AB 1 22AD CD AB= = = E AC ADC∆ AC ADC ⊥ ABC D ABC− CD F / /AD EFB A A A C ABD 1F 2F C 2 2 18 2 x y+ = P C 1 2PF PF⋅  l 1 2 l C A B P 1 2 1PF PF⋅ = −  ABP∆ ( ) 3f x ax bx c= + + ( ) 23 3f x x= −′ + ( )0 1f = − ( ) ( )ln 1g x x x mm x = + ≥ BA CD 图 1 E （1）求 的极值； （2）求证：对任意 ，都有 ． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以直角坐标系原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 的极坐标方程； （2）设射线 ， ，若 分别与曲线 相交于异于原点的两点 ， 求 的面积． 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 . （1）解不等式 ； （2） ， 恒成立，求实数 的取值范围. ( )f x ( )1 2, 0,x x ∈ +∞ ( ) ( )1 2f x g x≤ C 2 2 2cos 2 2 2sin x y α α  = + = + α O x C 1 : 3l πθ = 2 : 6l πθ = 1 2,l l C ,A B ABO∆ ( ) 2 2 1f x x x= − − + ( ) 0f x ≤ x R∀ ∈ ( ) 22 4f x m m− ≤ m 惠州市 2018 届第三次调研考试 文科数学参考答案与评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B C D C D C B A A C 1.【解析】 , , ,故选 D． 2.【解析】 ，所以 ，则 ，故选择 B. 3. 【 解 析 ， 解 得 ， . 故选 B 4. 【解析】 ＝ ．故选 C． 5.【解析】 试题分析： 时， ，但 是不是奇函数，A 错； 命题 的否定是 ，B 错； 中只要有一个为假 命 题 ， 则 为 假 命 题 ， C 错 ； “ 若 ， 则 ” 的 否 命 题 是 “ 若 ， 则 ”是正确的，故选 D． 6.【解析】输入 ， 经过第一次循环得到 ， 经过第二循环得到 ， 经过第三次循环得到 ，此时输出 ， 故选 C． 考点：程序框图的识别及应用 7.【解析】因为 ，所以 ，所以 ，解 }{ 1 2A x x= − ≤ ≤ }{ 1≥= xxBCR }{ 21 ≤≤= xxBCA R ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 i ii iz ii i i + − += = = = − +− − + 2 2z = 1 2z = 3 3 4 5 1 2 4a a a q a q+ = + = 3 2q = 9 9 9 10 11 1 2 1 2( )a a a q a q a a q+ = + = + 32 2 16= × = 2a b− =  2(2 )a b−  2 2 4 4 16 4 2 5a b ab+ − = + =   2( )f x x x= + (0) 0f = ( )f x 2 0 0 0: , 1 0p x R x x∃ ∈ − − > 2: , 1 0p x R x x¬ ∀ ∈ − − ≤ ,p q p q∧ 6 πα = 1sin 2 α = 6 πα ≠ 1sin 2 α ≠ 12x = 2 12 1 25, 2x n= × + = = 2 25 1 51, 3x n= × + = = 2 51 1 103, 4x n= × + = = x ( ) ( )1 cos 24f x x θ= + ( ) 1 5 1 5cos 2 cos 24 12 4 6g x x x π πθ θ    = − + = − +         2 5 9 6 k π π θ π− + = ( )k Z∈ 得 ，又 ，所以 ，故选 D. 8.【解析】． 因为 ，如图所示经过原点 的直线斜率最大的为直线 与直线 的 交 点 ，故 ，选 C. 9.【解析】由三视图可知该三棱锥底面是边长为 4 的正三角形，面积为 ，高为 4， 则 ，故选 B． 10.【解析】由 ，知 是奇函数，故排除 C,D；当 时， ，从而 A 正确. 11.【解析】根据抛物线的定义，点 P 到准线的距离等于到焦点的距离，则距离之和等于 ， 画图可得, 的最小值为圆心 C 与焦点 F 连线与抛物线相交于点 P，则最小值等于 ， 圆心 ，得 ，所以最小值为 ，故选 A. 12.【解析】由题意可得： ，则： ， 11 18k πθ π= + ( )k Z∈ 2 πθ < 7 18 πθ = − 0 0 yz x −= − ( )0,0 4 0x y+ − = 1x = ( )1,3 max 3 31z = = 4 3 1 16 34 33 4 3V = × × = ( ) ( ) 0f x f x+ − = ( )f x 1 2x = 1 21 1 1 1 1 1( ) ln 1 ln ln 2 ln ln 2 02 2 2 2 2 2f e= − + = + = − = − < PQ PF+ PQ PF+ CF r− (0, 4)C 2 24 1 17CF = + = 17 1− ( ) ( )2 1f t f t + = ( ) ( )2 4 1f t f t+ + = 据此有： ，即函数 是周期为 的周期函数， 构造新函数 ，则 ， 则函数 是定义域 内的增函数， 有： ，即： ， 利用函数的周期性可得： ， 据此可得： . 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 4 14. 4 15. 16. 13.【解析】平均数为 14.【解析】试题分析：因 ,即 ,故 , 所以 ,应填 . 15.【解析】试题分析：设双曲线 C 的方程为 ，所以 ， ∴ 双 曲 线 C 的 “ 伴 生 椭 圆 ” 方 程 为 ： ， ∴ “ 伴 生 椭 圆 ” 的 离 心 率 为 16.【解析】【答案】 【解析】由题意可得，集合 M 表示坐标原点为圆心，2 为半径的圆及其内部，集合 N 表示图中的阴 2 2 ( ) ( )4f t f t= + ( )f x 4 ( ) ( ) ( ], 0,4f xF x xx = ∈ ( ) ( ) ( ) 2 ' 0f x x f xF x x −= > ( )F x ( ]0,4 ( ) ( ) ( )1 2 4 1 2 4 f f f< < ( ) ( ) ( )4 1 2 2 4f f f< < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2016 4 , 2017 1 , 2018 2f f f f f f= = = ( ) ( ) ( )4 2017 2 2018 2016f f f< < 2 4 π π − ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22 2 2 2 2 2 4n nx x x x x x n n n + + + + + + + + + += = + =  3)3(33 2 ==⋅ ba 33 =+ba 1=+ ba =+ ba 11 42)11)(( ≥++=++ a b b a baba 4 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 2 23 2a be b aa += = ∴ =， 2 2 2 2 1y x b a + = 2 2 2 22 b a a b a − = = 2 4 π π − 影区域，其中 ， 由几何概型公式可得：点 落在区域 内的概率为 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17. （本小题满分 12 分） 【答案】（1） ; （2）当 时， ；当 时， . 【解析】试题分析：（1）将 代入化简求值即可；（Ⅱ）在 中，由余弦定理 解 得 或 6，利用面积公式求解即可. 试题解析： （1）由已知得 ， ……2 分 所以 ， ………4 分 因为在 中， ， 所以 ， 则 ． ……………6 分 （2）由（1）得， ， ， ……………8 分 在 中， ， 代入条件得 ，解得 或 6， ………10 分 当 时， ；当 时， ． ………12 分 21 12 2 2 24 2S π π= × − × × = −阴影 A N 2 2 2 2 4p π π π π − −= =× tan 2A = 2c = 1 sin 42ABCS bc A= =  6c = 12ABCS∆ = ( )C A Bπ= − + ACD 2c = ( )cos cos cos cos π cos cosC A B A B A B + = − + +  ( )cos cos cos sin sinA B A B A B= − + + = sin sin 2cos sinA B A B= ABC∆ sin 0B ≠ sin 2cosA A= tan 2A = 5cos 5A = 2 5sin 5A = ACD∆ 2 2 2 2 cos2 2 c cCD b b A = + − ⋅ ⋅ ⋅   2 8 12 0c c− + = 2c = 2c = 1 sin 42ABCS bc A∆ = = 6c = 12ABCS∆ = 18. （本小题满分 12 分） 19. 解：(1)该考场的考生人数为 10÷0.25=40 人. ………2 分 数学科目成绩为 的人数为 40×(1-0.0025×10-0.015×10-0.0375×10×2)=40×0.075=3 人. ………5 分 (2) 语文和数学成绩为 A 的各有 3 人，其中有两人的两科成绩均为 ，所以还有两名同学 只有一科成绩为 . ……………7 分 设这四人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙的两科成绩均为 ，则在至少一科成绩为 的考生 中， 随机抽取两人进行访谈，基本事件为{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}， {丙，丁}共 6 个， …………… 10 分 设“随机抽取两人，这两人的两科成绩均为 ”为事件 ，则事件 包含的事件有 1 个， 则 . ……………12 分 19. 试题解析：(1)存在 的中点 成立, 连结 , 在 中, ,分别为 , 的中点 ……2 分 为 的中位线 // ………4 分 平面 平面 //平面 ……………6 分 (2) 设点 到平面 的距离为 ⊥ , , ⊥ ⊥ ⊥ ， ⊥ ……………7 分 ⊥ 即 ⊥ CD A A A A M A M M 6 1)( =MP F EF BF ACD∆ ,E F AC DC EF∴ ACD∆ AD∴ EF EF ⊆ EFB AD ⊄ EFB AD∴ EFB C ABD h 平面 ABD 平面 CAB 平面 ABD 平面 C=ABAB BC且 BA BC∴ 平面 CAD BC∴ AD AD DC AD∴ 平面 BCD AD BD ………9 分 三棱锥 的高 , ………10 分 即 ………12 分 20. （本小题满分 12 分） 【答案】（1） 的最小值为 ; （2）12. 【解析】试题分析： （1）设 ，由向量数量积的坐标运算求得 ，注意椭圆中 有 ，因此可得最小值； （2）由直线与圆锥曲线相交的弦长公式求得弦长 ，求出 点坐标，再求得 到直线 的距 离 即三角形的高，从而得 面积 由基本不等式可得最大值． 试题解析： （1）有题意可知 ， ，设点 则 ， ， ………2 分 ∴ ， ∵点 在椭圆 上，∴ ，即 ， ………3 分 ∴ （ ）， ………4 分 ∴当 时， 的最小值为 ． ………6 分 （注：此问也可用椭圆的参数方程表达点 P 求解） （2）设 的方程 ，点 ， ， S 2 3ADB∆∴ = B ACD− 2 2BC = S 2ACD∆∴ = B ACD C ADBV− −=V 1 12 2 2 2 33 3 h× × = × × 2 6 3h∴ = 1 2PF PF⋅  4− ( )0 0,P x y 2 0 1 2 34 4 xPF PF⋅ = − +  02 2 2 2x− ≤ ≤ AB P P AB PAB∆ ( )2 24PABS b b∆ = − ( )1 6,0F − ( )2 6,0F 0 0( , )P x y ( )1 0 06 ,PF x y= − − − ( )2 0 06 ,PF x y= − − 2 2 1 2 0 0 6PF PF x y⋅ = + −  ( )0 0,P x y C 2 2 0 0 18 2 x y+ = 2 2 0 0 2 4 xy = − 2 2 2 0 0 1 2 0 32 6 44 4 x xPF PF x⋅ = + − − = − +  02 2 2 2x− ≤ ≤ 0 0x = 1 2PF PF⋅  4− l 1 2y x b= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 由 得 ， ………7 分 令 ，解得 ． 由韦达定理得 ， ， 由弦长公式得 ， ………8 分 且 ，得 ． 又点 到直线 的距离 ， ………9 分 ∴ ， ………11 分 当且仅当 时，等号成立， ∴ 面积最大值为 2. ……12 分 21.（本小题满分 12 分） 解析：（1）依题意得 ， ………2 分 知 在 和 上是减函数，在 上是增函数 ………4 分 ∴ ， ………5 分 （2）法 1：易得 时， ， 依题意知，只要 由 知，只要 ………7 分 令 ，则 ………8 分 2 2 1 ,2 18 2 y x b x y = + + =     2 22 2 4 0x bx b+ + − = 2 24 8 16 0b b∆ = − + > 2 2m− < < 1 2 2x x b+ = − 2 1 2 2 4x x b= − ( ) ( )2 2 1 2 1 2 11 4 5 44AB x x x x b= + + − = − 1 2 1PF PF⋅ = −  ( )2,1P P l 2 1 51 4 b bd = = + ( )221 1 5 42 2 5PAB bS AB d b∆ = = × × − ( )2 24b b= − 2 24 22 b b+ −≤ = 2b = ± PAB∆ ( ) 3 3 1f x x x= − + − ( ) ( )( )23 3 3 1 1f x x x x= − + = − + −′ ( )f x ( ), 1−∞ − ( )1,+∞ ( )1,1− ( ) ( )1 3f x f= − = − 极小值 ( ) ( )1 1f x f= = 极大值 0x > ( ) 1f x = 最大值 ( ) ( )1 ( 0) 1 ln 1 ( 0)mg x x x x m xx ≤ > ⇔ ≤ + ≥ > 1a ≥ 2 2ln 1( 0) ln 1 0( 0)x x x x x x x x≤ + > ⇔ + − ≥ > ( ) 2ln 1 ( 0)h x x x x x= + − > ( ) 2 ln 1h x x x x= + −′ 注意到 ，当 时， ；当 时， ， ………9 分 即 在 上是减函数，在 是增函数， ………10 分 即 ，综上知对任意 ，都有 ………12 分 法 2：易得 时， ， ………7 分 由 知, ,令 ………8 分 则 ………9 分 注意到 ，当 时， ；当 时， ，………10 分 即 在 上 是 减 函 数 ， 在 是 增 函 数 ， ， 所 以 , 即 . 综上知对任意 ，都有 . ………12 分 法 3: 易得 时， ， ………7 分 由 知, , ………8 分 令 ,则 ………9 分 令 ,则 ,………10 分 知 在 递增,注意到 , 所以, 在 上是减函数，在 是增函数,有 ,即 综上知对任意 ，都有 . ……12 分 22. （本小题满分 10 分） 解：(1)∵曲线 的参数方程为 ( )1 0h′ = 1x > ( ) 0h x′ > 0 1x< < ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )1 0h x h= = 最小值 ( ) 0h x ≥ ( )1 2, 0,x x ∈ +∞ ( ) ( )1 2f x g x≤ 0x > ( ) 1f x = 最大值 1a ≥ ( ) 1ln ( 0)g x x x xx ≥ + > ( ) 1ln ( 0)h x x x xx = + > ( ) 2 2 2 1 1ln 1 ln xh x x xx x −= + − = +′ ( )1 0h′ = 1x > ( ) 0h x′ > 0 1x< < ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )1 1h x h= = 最小值 ( ) 1h x = 最小值 ( ) 1g x = 最小值 ( )1 2, 0,x x ∈ +∞ ( ) ( )1 2f x g x≤ 0x > ( ) 1f x = 最大值 1a ≥ ( ) 1ln ( 0)g x x x xx ≥ + > ( ) 1ln ( 0)h x x x xx = + > ( ) 2 1ln 1 ( 0)h x x xx = + − >′ ( ) 2 1ln 1 ( 0)x x xx ϕ = + − > ( ) 3 1 1 0x x x ϕ = + >′ ( )xϕ ( )0,+∞ ( )1 0ϕ = ( )h x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) 1h x = 最小值 ( ) 1g x = 最小值 ( )1 2, 0,x x ∈ +∞ ( ) ( )1 2f x g x≤ C 2 2 2 cos ( 2 2 2 sin x y α α α  = + = + 为参数） ∴曲线的普通方程为 即 ……2 分 将 代入并化简得： 即曲线 的极坐标方程为 . …………5 分 （2）由 得到 …………7 分 同理 . ………… 9 分 又∵ ∴ . 即 的面积为 . …………10 分 23. （本小题满分 10 分） 23．解：（1）不等式 ，即 ，即 ，……2 分 ，解得 或 .……3 分 所以不等式 的解集为 或 .……4 分 （2） ……6 分 故 的最大值为 ，……8 分 因为对于 ，使 恒成立. 所以 ，即 ， 2 2( 2) ( 2) 8x y− + − = 2 2 4 4 0x y x y+ − − = cos , sinx yρ θ ρ θ= = 4cos 4sinρ θ θ= + C 4cos 4sinρ θ θ= + 3 4cos 4sin πθ ρ θ θ  =  = + 1 2 2 3OA ρ= = + 2 2 2 3OB ρ= = + 3 6 6AOB π π π∠ = − = 1 sin 4 2 32AOBS OA OB AOB∆ = ∠ = + AOB∆ 4 2 3+ ( ) 0f x ≤ 2 2 1x x− ≤ + 2 24 4 4 4 1x x x x− + ≤ + + 23 8 3 0x x+ − ≥ 1 3x ≥ 3x ≤ − ( ) 0f x ≤ 1{ 3x x ≥ 3}x ≤ − ( )= 2 2 1f x x x− − + = 13, 2 13 1, 22 3, 2 x x x x x x  + < − − + − ≤ ≤  − − >  ( )f x 1 5 2 2f  − =   x R∀ ∈ ( ) 22 4f x m m− ≤ 2 52 4 2m m+ ≥ 24 8 5 0m m+ − ≥ 解得 或 ，∴ .……10 分1 2m ≥ 5 2m ≤ − 5 1, ,2 2m    ∈ −∞ − +∞     