数学文卷·2018届山西大学附中高二下学期期中考试（2017-05）

数学文卷·2018届山西大学附中高二下学期期中考试（2017-05）

山西大学附中 ‎2016~2017学年高二第二学期期中考试 数学文科试题 考试时间：90分钟 满分：100分 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1. 已知复数，若是纯虚数，则实数等于（　　）‎ ‎ A． B． C． D．高 ‎2．已知点的直角坐标，则它的一个极坐标为（　　）‎ A．(4，) B．(4，) C．(-4，) D．(4，) ‎ ‎3．在同一平面直角坐标系中，在坐标伸缩变换作用下，曲线变为曲线，则变换为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（　　）‎ A．假设都是偶数 B．假设都不是偶数 C．假设至多有一个是偶数 D．假设至多有两个是偶数 ‎5.在证明命题“对于任意角，”的过程：‎ ‎“”中应用了 A．分析法 B．综合法 C．分析法和综合法综合使用 D．间接证法 ‎6.已知函数的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．已知，，则的最大值和最小值分别是（　　）‎ A．和 B．3和1 C．和 D．和3‎ ‎8．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ） ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9．已知点为曲线:上的动点，若不等式恒成立，则实数的取值范围（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以的所有正约数之和 参照上述方法，可求得的所有正约数之和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若函数对任意的都有恒成立，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．与的大小不确定 ‎12．设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是 （ ）‎ A．在单调递增 B．在单调递减 ‎ C．在上有极大值 D．在上有极小值 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）‎ ‎13已知m为实数，i为虚数单位，若，则= ． ‎ ‎14．在极坐标系中，已知直线过点(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，则直线的极坐标方程为__________________． ‎ ‎15．已知某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：‎ 商店名称 A B C D E 销售额（x）/千万元 ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 利润额（y）/千万元 ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 根据如下的参考公式与参考数据，求利润额y与销售额x之间的线性回归方程__________．‎ ‎（参考公式： ，）‎ ‎16. 参数方程（为参数）化为普通方程 ．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分8分）‎ 已知复数．‎ ‎（1）求复数的模；‎ ‎（2）若复数是方程的一个根，求实数的值．‎ ‎18. （本小题满分10分）‎ ‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为．‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程和直线普通方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，，若点的坐标为，求的值．‎ ‎19．（本小题满分10分）‎ ‎ 某企业通过调查问卷（满分分）的形式对本企业名员工的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中名员工（名女员工，名男员工）的得分，如下表：‎ ‎(1)根据以上数据，估计该企业得分大于分的员工人数；‎ ‎(2)现用计算器求得这名员工的平均得分为分，若规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：‎ ‎(3)根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？‎ 参考数据：‎ ‎20. （本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线的直角坐标方程为：，曲线的方程为，现建立以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系．‎ ‎（1）写出直线极坐标方程，曲线的参数方程；‎ ‎（2）过点平行于直线的直线与曲线交于、两点，若，求点轨迹的直角坐标方程．‎ ‎21.（本小题满分10分）‎ 已知函数， .‎ ‎（1）当时，求函数切线斜率中的最大值；‎ ‎（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围.‎ 山西大学附中 ‎2016～2017学年第二学期高二期中考试 数学试题参考答案 一．选择题：（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎ ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 二. 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13． 14. 15. 16. ‎ 三．解答题 ‎17．（本小题满分8分）（1） …………………………3分 ‎∴ …………………………4分 ‎（2）∵复数是方程的一个根 ‎∴ …………………………5分 由复数相等的定义，得：‎ ‎ …………………………6分 解得： …………………………8分 ‎18. （本小题满分10分）‎ 解：（1）由，得，‎ 从而可得，即，‎ 即圆的直角坐标方程为…………………………2分 直线的普通方程为．……………………4分 ‎（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，‎ 得，即．……………………6分 由于，故可设t1，t2是上述方程的两实根，‎ ‎∴ ……………………8分 ‎ 又直线过点，故由上式及的几何意义得．…………………10分 ‎19．（本小题满分10分）解：‎ 从表中可知，名员工中有名得分大于分……………………1分 任选一名员工，它的得分大于分的概率是……………………2分 估计此次调查中，该单位共有名员工的得分大于分………4分 完成下列表格：‎ ‎……………………6分 假设该企业员工“性别”与“工作是否满意”无关……………………7分 ‎……………………9分 能在犯错误的概率不超过%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关 ‎ …………………………………10分 ‎20. （本小题满分10分）解：（1）直线斜率为1，直线的极坐标方程为……2分 可得曲线参数方程为（）……………………4分 ‎（2）设点及过点的直线为…………………5分 由直线与曲线相交可得： ………………6分 ∴，即：，…………8分 ‎∴,即表示一椭圆…………………9分 取代入得：.‎ 由得 故点的轨迹是椭圆夹在平行直线之间的两段椭圆弧.…………………10分 ‎21. （本小题满分10分）‎ ‎【解答】解：（1）函数的定义域为.‎ 当时， ，‎ 所以函数切线斜率的最大值为1. ……………………4分 ‎（2）因为关于的方程有解，‎ 令，则问题等价于函数存在零点，……………………5分 所以.‎ 当时，令，得.‎ ‎， 随的变化情况如下表：‎ 所以为函数的最小值，‎ 当时，即时，函数没有零点，……………………6分 当时，即时，注意到，‎ 所以函数存在零点. ……………………7分 当时， 对成立，‎ 函数在上单调递减.‎ 而， ，‎ 所以函数存在零点. ……………………9分 综上，当或时，关于的方程有解. ……………………10分