2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第八章 第7节 抛物线
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多维层次练51
[A级 基础巩固]
1．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝－2x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：由准线x＝1知，抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)且＝1，得p＝2，
所以所求抛物线的标准方程为y2＝－4x.
答案：D
2．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1
C．－ D．－
解析：由已知得准线方程为x＝－2，所以点F的坐标为(2，0)．
又A(－2，3)，所以直线AF的斜率为k＝＝－.
答案：C
3．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A. B．2
C．2 D．3
解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．
联立得方程组
解得或
因为点M在x轴的上方，
所以M(3，2)．
因为MN⊥l，
所以N(－1，2)．
所以|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝＝4.
所以△MNF是边长为4的等边三角形．
所以点M到直线NF的距离为2.
故选C.
答案：C
4．已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是，则|PA|＋|PM|的最小值是( )
A．8 B.
C．10 D.
解析：依题意可知焦点F的坐标为，准线方程为y＝－，延长PM交准线于H(图略)，
则|PF|＝|PH|，|PM|＝|PF|－，
|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－，
因为|PF|＋|PA|≥|FA|，
又|FA|＝ ＝10.
所以|PM|＋|PA|≥10－＝.
答案：B
5．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，
联立直线与抛物线的方程，得
解得或
不妨设M为(1，2)，N为(4，4)．
又因为抛物线焦点为F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)．
所以·＝0×3＋2×4＝8.
故选D.
答案：D
6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_______________．
解析：Q(－2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，l与抛物线有公共点；当k≠0时，Δ＝64(1－k2)≥0得－1≤k<0或0
0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝|PF|，则y0＝________．
解析：作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝|PF|，所以在直角三角形PKM中，sin∠PKM＝＝＝，所以∠PKM＝45°，所以△PMK为等腰直角三角形，所以|PM|＝|MK|＝4，又知点P在抛物线x2＝2py(p>0)上，所以解得
答案：2
9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为
4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，
所以p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)由(1)知点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)．
又因为F(1，0)，所以kFA＝.
因为MN⊥FA，所以kMN＝－，
所以FA的方程为y＝(x－1)，①
MN的方程为y＝－x＋2，②
由①②联立得x＝，y＝，
所以点N的坐标为.
10．(2020·泰安模拟)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解：(1)直线AB的方程是y＝2，
与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝，由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由(1)知p＝4，4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，
又x1＜x2，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4，4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
[B级 能力提升]
11．(2020·河南名校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M，N分别在抛物线C上，且＋3＝0，直线MN交l于点P，NN′⊥l，垂足为N′.若△MN′P的面积为24，则F到l的距离为( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：作出图形如下图，作MM′⊥l，垂足为M′，设|NF|＝m(m>0)，则|NN′|＝m.由＋3＝0，得|MF|＝3m，则|MM′|＝3m，过点N作NG⊥MM′，垂足为G，则|M′G|＝m，|MG|＝2m，所以∠NMG＝60°，所以|MP|＝6m，|NP|＝2m，|N′P|＝m，S△MN′P＝|MM′|·|N′P|＝×3m×m＝24，所以m＝4.易知F为线段MP的中点，所以F到l的距离为p
＝＝6.
答案：B
12．(2020·湖南名校大联考)已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，－4)且＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________．
解析：由题意得M(2，0)，N(0，－4)，设P(x，y)，由＝λ＋
μ得(x－2，y＋4)＝λ(0，4)＋μ(－2，0)，所以x－2＝－2μ，y＋4＝4λ.因此λ＋μ＝－＝－＋2＝＋≥，故λ＋μ的最小值为.
答案：
13．(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
解：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2.①
由可得y2－2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2.②
由①②联立，得y1＝3，且y2＝－1.
代入曲线C的方程得x1＝3，x2＝.
故|AB|＝＝.
[C级 素养升华]
14．(多选题)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程可能是( )
A．y2＝4x B．y2＝36x
C．y2＝32x D．y2＝8x
解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为
6，所以若设该点为P，则点P的坐标为(x0，±6)．因为点P到抛物线的焦点F的距离为10，所以由抛物线的定义得x0＋＝10.①
因为点P在抛物线上，所以36＝2px0.②
由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，
则抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x.
答案：AB
素养培育数学运算——高考解析几何问题中的“设而不求”(自主阅读)
(1)数学运算是指在知道运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题．
(2)“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：①灵活应用“点、线的几何性质”解题；②根据题意，整体消参或整体代入等．
类型1 巧妙运用抛物线定义得出与根与系数的关系
[典例1] (一题多解)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：法一 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝yA＋＋yB＋＝4×⇒yA＋yB＝p，
由可得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
所以yA＋yB＝＝p，解得a＝b，故该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
法二(点差法) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.
易知直线AB的斜率kAB＝＝＝.
由
得kAB＝＝＝·，
则·＝，所以＝⇒＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
类型2 利用“点差法”求解对称问题
[典例2] (1)△ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2，2)，△ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为________________．
(2)抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是________．
解析：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，边BC的中点为M(x0，y0)，易知G，则
从而即M，
又y＝2x1，y＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝＝＝＝＝－1，故直线BC的方程为y－(－1)＝－，即x＋y＋＝0.
(2)当k＝0时，显然成立．
当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由y＝2x1，y＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝＝＝＝，由对称性知kBC＝－，点M在直线y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1.由点M在抛物线内，得y<2x0，即(－k)2<2，所以－
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