高中数学讲义微专题77 定点定直线问题

高中数学讲义微专题77 定点定直线问题

微专题 77 定点定直线问题 一、基础知识： 1、处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为 ） （2）利用条件找到 与过定点的曲线 的联系，得到有关 与 的等式 （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点 ，使得无论 的值如何变化，等式恒成立。 此时要将关于 与 的等式进行变形，直至易于找到 。常见的变形方向如下： ① 若等式的形式为整式，则考虑将含 的项归在一组，变形为“ ”的形式，从而 只需要先让括号内的部分为零即可 ② 若等式为含 的分式， 的取值一方面可以考虑使其分子为 0，从而分式与分母的取值 无关；或者考虑让分子分母消去 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相 互转化，但通常选择容易观察到的形式） 2、一些技巧与注意事项： （1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）。然后再验证该 点（或该直线）对一般情况是否符合。属于“先猜再证”。 （2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件。 所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否 过定点。尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件。例如：直线 ，就应该能够意识到 ，进而直线绕定点 旋转 二、典型例题： 例 1：椭圆 的离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 （1）求椭圆 的标准方程 （2）若直线 与椭圆 相交于 两点（ 不是左右顶点），且以 为直径 的圆过椭圆 的右顶点。求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标 解：（1） ，设左焦点 k k  , 0F x y  k ,x y  0 0,x y k k ,x y 0 0,x y k  k  0 0,x y k 0 0,x y k : 1l y kx k    1 1y k x    1, 1    2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    1 2  2,1P 10 C :l y kx m  C ,A B ,A B AB C l 1 : : 2 : 3 :12 ce a b ca     1 ,0F c ，解得 椭圆方程为 （2）由（1）可知椭圆右顶点 设 ， 以 为直径的圆过 即 ① 联立直线与椭圆方程： ，代入到① 或 当 时， 恒过 当 时， 恒过 ，但 为椭圆右顶点，不符 题意，故舍去    2 2 1 2 0 1 10PF c       1c  2, 3a b    2 2 14 3 x y   2,0D    1 1 2 2, , ,A x y B x y  AB  2,0D DA DB  DA DB  0DA DB       1 1 2 22, , 2,DA x y DB x y          1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4 0DA DB x x y y x x x x y y             2 23 4 12 y kx m x y         2 2 23 4 8 4 3 0k x mkx m      2 1 2 1 22 2 4 38 ,4 3 4 3 mmkx x x xk k            2 2 1 2 1 2 1 2 1 2y y kx m kx m k x x mk x x m         2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 8 3 12 4 3 4 3 4 3 k m mk mk m kmk k k          2 2 2 2 2 2 4 3 8 3 122 4 04 3 4 3 4 3 m mk m kDA DB k k k             2 2 2 2 2 4 12 16 16 12 3 12 04 3 m mk k m k k          2 27 16 4 0 7 2 2 0m mk k m k m k        2 7m k   2m k  2 7m k  2 2: 7 7l y kx k k x       l 2 ,07      2m k   : 2 2l y kx k k x    l  2,0  2,0 恒过 例 2：已知椭圆 经过点 ，且椭圆的离心率为 （1）求椭圆的方程 （2）过椭圆的右焦点 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于 和 ，设线段 的中点分别为 ，求证：直线 恒过一个定点 解：（1） 代入 可得： 椭圆方程为 （2）由（1）可得： 当直线 斜率不存在时， 所以可得： 为 轴 当 斜率存在时，设 ，则 设 ，联立方程可得： 同理，联立 ，可得： l 2 ,07        2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    33, 2      1 2e  F ,A C ,B D ,AC BD ,P Q PQ 1 2 ce a  : : 2 : 3 :1a b c  2 2 2 2 14 3 x y c c   33, 2      2 2 3 3 1 1 14 4 3 cc c     2, 3a b    2 2 14 3 x y   1,0F AC : 1, : 0AC x BD y     1,0 , 0,0P Q PQ x AC  : 1 , 0AC y k x k    1: 1BD y xk      1 1 2 2, , ,A x y C x y    2 2 2 2 2 2 1 4 3 8 4 12 0 3 4 12 y k x k x k x k x y            2 1 2 2 8 4 3 kx x k         1 2 1 2 1 2 2 61 1 2 4 3 ky y k x k x k x x k k            2 1 2 1 2 2 2 4 3, ,2 2 4 3 4 3 x x y y k kP k k                 2 2 1 1 3 4 12 y xk x y        的方程为： ，整理可得： 时，直线方程对 均成立 直线 恒过定点 而 斜率不存在时，直线 也过 直线 过定点 例 3：如图，已知椭圆 的左右焦点为 ，其上顶点为 ，已知 是边长为 2 的正三角形 （1）求椭圆 的方程 （2）过点 任作一动直线 交椭圆 于 两点，记 ，若在线段 上取一点 使得 ，试判断当直线 运动时，点 是否在某一定直线上运动？若 在，请求出该定直线；若不在请说明理由 解：（1）由椭圆方程可得 为边长是 2 的三角形 2 2 2 2 2 1 14 3 4 3, ,3 4 4 31 14 3 4 3 kk kQ k k k k                                          2 2 2 2 2 2 3 3 74 3 4 3 4 4 4 1 4 3 3 4 PQ k k kk kk k k k k        PQ  2 22 3 7 4 4 3 4 34 1 k ky xk kk               2 24 7 4 4 0 4 4 7 4 0yk x k y y k k x         4 7 0 x y     k R   PQ 4 ,07      AC PQ 4 ,07       PQ 4 ,07        2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    1 2,F F A 1 2F AF C  4,0Q  l C ,M N MQ QN  MN R MR RN   l R      1 2,0 , ,0 , 0,F c F c A b 1 2F AF 1 2 2 2 2 1F F c c      （2）设 设 ， 由 可得： 设 ，则 由 可得： ① 联立方程组 ，消去 整理可得： 代入到①可得： 在定直线 上 例 4：已知椭圆 的中心在坐标原点，左，右焦点分别为 ， 为椭圆 上的动点， 的面积最大值为 ，以原点为中心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线 相切 （1）求椭圆的方程 （2）若直线 过定点 且与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 的右顶点，直线 3OA b  2 2 2 4a b c    2 2 14 3 x y    : 4MN y k x     1 1 2 2, , ,M x y N x y    1 1 2 24 , , 4,MQ x y QN x y       MQ QN      1 1 2 2 44 4 4 xx x x           0 0,R x y    0 1 0 1 2 0 2 0, , ,MR x x y y RN x x y y       MR RN    0 1 2 0x x x x         1 1 2 2 1 2 1 21 2 0 1 1 2 2 4 4 2 4 41 81 4 xx xx x x x xx xx x x x x               2 23 4 12 4 x y y k x      y  2 2 2 23 4 32 64 12 0k x k x k     2 2 1 2 1 22 2 32 64 12,3 4 3 4 k kx x x xk k       2 2 2 2 2 0 2 22 64 12 32 242 43 4 3 4 3 4 12432 8 3 43 4 k k k k kx k kk             R 1x   C 1 2,F F P C 1 2PF F 3 3 4 5 0x y   l  1,0 C ,A B M C 分别与 轴交于 两点，试问以线段 为直径的圆是否过 轴上的定点？若是， 求出定点坐标；若不是，说明理由 解：（1） 因为圆与直线相切 椭圆方程为： （2）当直线 的斜率存在时，设 ，由椭圆方程可得点 设 ，联立方程可得： 由 ， 可得： ，分别令 ，可得： ，设 轴上的定点为 若 为直径的圆是否过 ，则 问题转化为 恒成立 即 ① ,AM BM y ,P Q PQ x  1 2 1 2max 1 32PF FS F F b bc    2 2 5 1 3 4O ld b b      3c  2 2 2 4a b c     2 2 14 x y  l  : 1l y k x   2,0M    1 1 2 2, , ,A x y B x y   2 24 4 1 x y y k x       2 2 2 21 4 8 4 4 0k x k x k     2 2 1 2 1 22 2 8 4 4,1 4 1 4 k kx x x xk k       2,0M    1 1 2 2, , ,A x y B x y    1 2 1 2 : 2 , : 22 2 y yAM y x BM y xx x     0x  1 2 1 2 2 20, , 0,2 2 y yP Qx x             x  0,0N x PQ  0,0N x 0PN QN   1 2 0 0 1 2 2 2, , ,2 2 y yPN x QN xx x                    2 1 2 0 1 2 4 02 2 y yx x x     2 1 2 0 1 2 1 2 4 02 4 y yx x x x x    由 及 可得： 代入到①可得： 解得： 圆过定点 当直线斜率不存在时，直线方程为 ，可得 为直径的圆 过点 所以以线段 为直径的圆过 轴上定点 例 5：如图，在平面直角坐标系 中，离心率为 的椭圆 的 左顶点为 ，过原点 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆 交 于 两点，直线 分别与 轴交于 两点，当直 线 的斜率为 时， （1）求椭圆 的标准方程 （2）试问以 为直径的圆是否过定点（与 的斜率无关）？请证明你的结论 解：（1）由 可得： 由对称性可知： 2 2 1 2 1 22 2 8 4 4,1 4 1 4 k kx x x xk k      1y k x      2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1y y k x x k x x x x         2 2 3 4 1 k k   2 22 0 2 2 2 2 34 4 1 04 4 82 41 4 1 4 k kx k k k k       2 2 2 0 02 12 3 04 kx xk      0 3x     3,0 1x  PQ 2 2 3x y   3,0 PQ x  3,0 xOy 2 2   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    A O C ,P Q ,PA QA y ,M N PQ 2 2 2 3PQ  C MN PQ 2 2PQk  2: 2PQ y x 0 0 2, 2P x x      1 32OP PQ  2 2 0 0 0 2 3 22x x x         由 可得 椭圆方程为 代入 ，可得： （2）设 由对称性可知 ，由（1）可知 设 ，联立直线与椭圆方程： ，整理可得： 解得： ，代入 可得： 从而 ，因为 是直线 与 轴的交点 以 为直径的圆的圆心为 ，半径 圆方程为： ，整理可得： 所以令 ，解得 以 为直径的圆恒过  2,1P 2 2 ce a  : : 2 :1:1a b c   2 2 2 2 12 x y b b   2,1P 2 22, 4b a  2 2 : 14 2 x yC    0 0,P x y  0 0,Q x y   2,0A   : 2AP y k x     22 2 2 2 2 2 2 4 2 4 y k x x k x x y           2 2 2 22 1 8 8 4 0k x k x k     2 0 2 8 4 2 1A kx x k    2 0 2 2 4 2 1 kx k    2y k x  2 0 2 2 2 4 422 1 2 1 k ky k k k        2 2 2 2 4 4,2 1 2 1 k kP k k       2 2 2 2 4 4,2 1 2 1 k kQ k k       2 2 22 22 4 40 12 1 2 1 8 22 42 2 12 1 AQ k k k kk k kk kk                  1: 22AQ y xk    ,M N ,PA QA y   10,2 , 0,M k N k       MN 22 10, 2 k k      22 1 2 kr k   2 22 2 2 2 1 2 1 2 2 k kx y k k              2 22 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 22 2 k k k kx y y x y yk k k k                     0y  2x    MN  2,0 例 6：已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为 半径的圆与直线 相切，过点 且不垂直 轴的直线 与椭圆 相交于 两点 （1）求椭圆 的方程 （2）若 点关于 轴的对称点是 ，求证：直线 与 轴相交于定点 解：（1） 已知圆方程为： 因为与直线相切 椭圆 的方程为： （2）设直线 ， 联立方程可得： ，消去 可得： 考虑直线 直线 的方程为： 令 可得：   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    1 2 6 0x y    4,0P x l C ,A B C B x E AE x 1 2 ce a  2 2 2x y b  6 3 2 d b b     2 2 2 2 12 aa c b ca c          C 2 2 14 3 x y   : 4l y k x     1 1 2 2, , ,A x y B x y  2 2,E x y    2 2 14 3 4 x y y k x       y  22 23 4 4 12x k x    2 2 2 24 3 32 64 12 0k x k x k      2 2 1 2 1 22 2 32 64 12,4 3 4 3 k kx x x xk k      :AE  1 2 1 2 1 2 1 2 AE y y y yk x x x x       AE  1 2 1 1 1 2 y yy y x xx x    0y      1 1 2 1 2 1y x x y y x x      1 2 2 1 1 2x y x y x y y    ，而 ，代入可得： ， 代入 可得： 与 轴交于定点 例 7 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 椭 圆 与 直 线 ，四个点 中有三个点在椭圆 上，剩 余一个点在直线 上 （1）求椭圆 的方程 （2）若动点 在直线 上，过 作直线交椭圆 于 两点，使得 ，再过 作直线 ，求证：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标 解：（1）因为四个点中有三点在椭圆上，由椭圆的对称性可知： 必在椭圆上 若 在椭圆上，则为椭圆的左顶点。 但 ，所以与 在椭圆上矛盾 在椭圆上 椭圆方程为 1 2 2 1 1 2 x y x yx y y      1 1 2 24 , 4y k x y k x             1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 2 4 4 4 8 x k x x k x x x x xx k x k x x x           2 2 1 2 1 22 2 32 64 12,4 3 4 3 k kx x x xk k     2 2 2 2 2 2 22 64 12 32 242 44 3 4 3 4 3 12432 8 4 34 3 k k k k kx k kk          AE x  1,0 xOy   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     :l x m m R         3, 1 , 2 2,0 , 3,1 , 3, 3    C l C P l P C ,M N PM PN P 'l MN 'l    3, 1 , 3,1   2 2,0 3 2 2    3,1  3, 3  22 2 2 2 2 9 1 1 12 3 3 41 aa b b a b             2 2 112 4 x y  （2）依题意可得 ， 方程为： 且 共线 为 中点 在椭圆内部 设 ，因为 与椭圆交于 为 中点且 于 为 的中垂线 设 为 中点 当 时 恒过 当 时，直线 为 轴，过 2 2m   l 2 2x   PM PN , ,P M N P MN P  02 2,P y 2 2x   2 22 2, 3 , 2 2, 33 3              0 2 23, 33 3y      P MN 'l MN P 'l MN    1 1 2 2, , ,M x y N x y     2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 22 2 2 2 1 1 112 4 012 4112 4 x y x x y y x y                 1 2 1 2 1 2 1 23 0x x x x y y y y       P MN 1 2 1 2 04 2, 2x x y y y      0 0y    1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 2 3 3MN y y x xk x x y y y        'l MN  ' 0 0 0 3 3 4 2: 2 2 32 2 2 2 y yl y y x y x              'l 4 2 ,03      0 0y  : 2 2MN x   'l x 4 2 ,03      无论 位于哪个位置，直线 恒过 例 8：已知圆 ，点 ，点 在圆 上运动， 的垂直平分线交 于点 （1）求动点 的轨迹 的方程 （2）过 且斜率为 的动直线 交曲线 于 两点，在 轴上是否存在定点 ，使 得以 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由 解：（1）由图像可得： 点的轨迹为以 为焦点的椭圆 （2）设直线 ， ，与椭圆方程联立可得： 消去 可得： ，整理后可得： 设 ，因为以 为直径的圆过 点 ①  P 'l 4 2 ,03       2 2 1 : 1 8C x y    2 1,0C Q 1C 2QC 1QC P P W 10, 3S      k l W ,A B y D AB D 1 2 1 1 2 2PC PC PC PQ C Q     P 1 2,C C 2, 1a c   2 2 2 1b a c    2 2 12 x y   1: 3l y kx     1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 1 3 2 2 y kx x y       y 2 2 12 23x kx       2 2 4 162 1 03 9k x kx       1 2 1 22 2 4 16, 3 2 1 9 2 1 kx x x x k k          0,D b AB D DA DB  0DA DB       1 1 2 2, , ,DA x y b DB x y b           2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0DA DB x x y b y b x x y y b y y b                1 2 1 2 2 2 2 3 3 2 1 y y k x x k       代入到①可得： 所以只需： 可得 所以存在定点 例 9：已知椭圆 和圆 ， 分别为椭圆的左顶点，下顶点 和右焦点 （1）点 是曲线 上位于第二象限的一点，若 的面积为 ，求证： （2）点 分别是椭圆 和圆 上位于 轴右侧的动点， 且直线 的斜率是直线 斜率的 2 倍，求证：直线 恒 过定点 解：（1）由椭圆可得 设 ，由 在第二象限可得： 的面积为  2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 3 3 9y y kx kx k x x k x x               2 2 18 1 9 2 1 k k          2 2 2 2 2 2 18 1 16 0 3 2 1 9 2 1 9 2 1 b kb k k k               2 2 22 2 2 2 6 1 3 2 52 6 5 0 0 3 2 1 3 2 1 k b b bb kb k k             2 2 26 1 3 2 5 0k b b b         2 26 1 3 5 1 0k b b b        2 21 6 6 3 5 0b k b k b       1b    0, 1 2 2 1 : 12 xC y  2 2 2 : 1C x y  , ,A B F P 2C APF 1 2 2 4 AP OP ,M N 1C 2C y BN BM MN      2,0 , 0, 1 , 1,0A B F   0 0,P x y P 0 00, 0x y  APF 1 2 2 4 0 1 2 2 2 4APFS AF y     ，代入圆方程可得： （2）设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，联立 与椭圆方程： 代入直线方程可得： 联立 与圆方程： 代入直线方程可得： 的方程为： 整理可得： 直线 恒过定点 1 2AF   0 2 2y  0 2 2x   2 2,2 2P      2 2 2 2, , ,2 2 2 2AP OP                  0AP OP    AP OP  BM k BN 2k : 1BM y kx   : 2 1BN y kx  BM   2 2 2 21 1 2 4 02 1 x y k x kx y kx           2 4 1 2M kx k   2 2 2 1 2 1M ky k    BN   2 2 2 21 1 4 4 0 2 1 x y k x kx y kx          2 4 1 4N kx k   2 2 4 1 4 1N ky k   2 2 2 2 2 2 4 2 1 4 4 1, , ,1 2 2 1 1 4 4 1 k k k kM Nk k k k                          2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 1 4 1 4 1 2 1 4 1 2 1 12 1 4 1 4 4 24 2 1 4 4 1 1 2 1 4 MN k k k k k kk kk k k kk k k k k k                 MN 2 2 2 2 1 1 4 2 1 2 2 1 k ky xk k k          1 12y xk    MN  0,1 例 10：已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，原点 到过点 的直线距离是 （1）求椭圆 的方程 （2）设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，过 作 的垂线与直线 交 于点 ，求证：点 在定直线上，并求出定直线的方程 解：（1）抛物线 的焦点坐标为 直线 的方程为： 椭圆方程为 （2）因为直线 与椭圆相切 联立直线与椭圆方程： 即 切点坐标 即   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    1F 2 4y x    ,0 , 0,A a B b 2 21 7 C :l y kx m  C P 1F 1PF l Q Q 2 4y x  1,0 1c  AB 1 0x y bx ay aba b      2 2 2 217O l abd a b    2 2 2 2 2 2 2 2 21 47 31 ab a a b ba b c             2 2 14 3 x y  l   2 2 22 2 4 3 8 4 12 0 14 3 y kx m k x kmx mx y             2 2 2 264 4 4 12 4 3 0k m m k       2 2 2 2 2 264 64 192 48 144 0k m k m k m      2 2 2 24 3 0 4 3k m m k      2 2 4 4 4 4 3P km km kx k m m      24 3 p p ky kx m mm m      4 3,kP m m     1 3 3 4 41 PF mk k k m m       的方程为 联立 方程： 解得 在 这条定直线上 1 4 3QF k mk   1FQ  4 13 k my x  1 ,FQ l  4 13 k my x y kx m           4 1 3 4 4 3 3k m x kx m kx mx k m kx m              4k m x k m    4x  Q 4x 