2017-2018学年广西南宁市马山县金伦中学等学校“4 + N”高中联合体高二下学期期中联考数学（文）试题

2017-2018学年广西南宁市马山县金伦中学等学校“4 + N”高中联合体高二下学期期中联考数学（文）试题

‎2017-2018学年广西南宁市马山县金伦中学等学校“4 + N”高中联合体高二下学期期中联考（数学文科）‎ 注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，务必将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 考生注意事项：‎ ‎ 1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0. 5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。‎ ‎ 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效 ‎ 3、第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 一、选择题 ‎1．已知,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3．已知平面向量满足,则向量的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.‎ 根据该走势图，下列结论正确的是（ ）‎ A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化 B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱 C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差 小于11月份的方差 D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值 大于今年1月份的平均值 ‎5．已知,则 ( ) ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6、执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）．‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎7．长方体内部挖去一部分的三视图如图所示，则几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．在上随机的取一个实数,则事件“直线与圆相交”发生的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．将函数 的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．在中，已知分别为角的对边且若且，则的周长等于( )‎ A. B. ‎12 C. D. ‎ ‎11．是双曲线的左右焦点，过且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知函数,函数．若函数恰好有个不同零点，则实数的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 注意事项 ‎ 1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0 .5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。‎ ‎ 2、第Ⅱ卷共2页，请用直径0. 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。在试题卷上作答无效 ‎ 3、第Ⅱ卷共10小题，共90分 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.‎ ‎13．若， 满足约束条件，则的最大值为__________;‎ ‎14、已知函数在点处的切线方程为，则________;‎ ‎15.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是_________;‎ ‎16．如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围__________．‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 在等差数列中， ， ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设（），（），求 ‎18. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 由中央电视台综合频道（）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课,每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了两个地区共100名观众，得到如下的列联表：‎ 非常满意 满意 合计 ‎ ‎ 合计 已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为0.35，‎ 且.‎ ‎（1）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“满意”的地区的人数各是多少？‎ ‎（2）在（1）抽取的“满意”的观众中，随机选出2人进行座谈，求至少有1名是地区观众的概率？‎ ‎（3）完成上述表格，并根据表格判断是否有90%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系？‎ 附:参考公式：‎ ‎ ‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19．(本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知边长为的正方形与菱形所在平面互相垂直， 为中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若,求四面体的体积．‎ ‎20．(本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）设椭圆方程为，离心率为， 是椭圆的两个焦点， 为椭圆上一点且的周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）已知点，直线不经过点且与椭圆交于两点，若直线与直线的斜率之和为1，证明直线过定点，并求出该定点.‎ ‎21．(本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）若是的极小值点,求实数的取值范围及函数的极值;‎ ‎（Ⅱ）当时,求函数在区间上的最大值.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。‎ ‎22（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线交于两点，过点且垂直于的直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] ‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若对于恒成立，求实数的取值范围. ‎ ‎2017～2018学年度下学期“4+N”高中联合体期中联考试卷 参考答案及评分标准 ‎（高二数学文科）‎ 说明：‎ ‎1．第一题选择题，选对得分，多选、错选或不选一律给0分．‎ ‎2．第二题填空题，不给中间分．‎ ‎3．第三题解答题，本答案给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．‎ ‎4．对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎5．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎6．只给整数分数．‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答 案 C A C D D C C C B A B C 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． 14． 4 15． 16． ‎ 三、解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】(1)设的公差为，由题意得--------2分 解得-------4分 得-----6分 ‎（2）∵-------8分 ‎= -------- 12分 ‎18【答案】（1）；（2）；（3）没有90%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.‎ 解析：(1)由题意，得，所以，--------1分 所以因为，所以， ，--------2分 则应抽取地区的“满意”观众，抽取地区的“满意”观众.-------4分 ‎(2)所抽取的地区的“满意”观众记为，所抽取的地区的“满意”观众记为1,2，3，4.‎ 则随机选出三人的不同选法有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共21个结果，至少有1名是地区的结果有18个，其概率为.------8分 ‎ (3) -----------11分 所以没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系. -------12分 ‎19、解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD．‎ ‎∵BC平面ADF，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF．-----2分 ‎∵四边形ABEF是菱形，∴BE∥AF．‎ ‎∵BE平面ADF，AF⊂平面ADF，‎ ‎∴BE∥平面ADF．---------4分 ‎∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE=B，‎ ‎∴平面BCE∥平面ADF．------5分 ‎∵EM⊂平面BCE，∴EM∥平面ADF． -------6分 ‎ ‎（2）取AB中点P，连结PE．∵在菱形ABEF中，∠ABE=60°，‎ ‎∴△AEB为正三角形，∴EP⊥AB．∵AB=2，∴EP=．‎ ‎∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，‎ ‎∴EP⊥平面ABCD， ∴EP为四面体E﹣ACM的高．-------8分 ‎ ‎∴-------12分 ‎20【答案】（1）；（2）证明见解析， .‎ 解析：(1)由题意得，故．-------1分 的周长为-------2分 ‎∴，．∴，-------3分 ‎∴椭圆的方程为.---------4分 ‎（2）由题意设直线方程为，‎ 由消去y整理得，-----5分 ‎∵直线与椭圆交于两点，‎ ‎∴．-------6分 设点， ，则，-------7分 由题意得--------8分 即，∴-------9分 整理得--------10分 ‎∴直线方程为,即，∴直线过定点.--------12分 ‎21【答案】（1）极小值为,极大值为.（2）见解析 解析： --------1分 ‎（Ⅰ）若是的极小值,则列表分析如下:--------2分 单调递增 单调递减 单调递增 所以极小值为,极大值为.----------5分 ‎（Ⅱ）当时,函数在上单调递增,所以最大值为------6分 ‎（1）当时, 在上单调递增,在上单调递减,所以最大值为------8分 ‎（2）当时, 在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,------9分 所以最大值可能为或 ------10分 ‎①当时,最大值为 ‎②当时,最大值为 ------11分 ‎ 综上所述,当时,最大值为当时,最大值为-------12分 ‎22、【答案】（1）. （2）‎ ‎【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），‎ 利用平方关系可得：化为直角坐标方程 ‎ 利用互化公式可得：曲线的极坐标方程为，即------3分 曲线的极坐标方程为，可得：，‎ 可得：曲线的直角坐标方程为. ---------5分 ‎（2）联立可得， ------6分 设点的极角为，则，可得 -----7分 ‎ 则代入，可得：. -----8分 ‎，代入，可得：-------9分 可得： ---------10分 ‎23.【答案】（1）；（2）或.。‎ ‎【解析】（1）时，不等式为，等价于 或或，‎ 解得，或或，-------3分（解对一个不等式得一分） ‎ ‎∴， ∴不等式的解集是.-----5分 ‎（2）由绝对值的三角不等式得， ------7分 ‎∵对于恒成立，∴，解得或.‎ ‎∴实数的取值范围为．-------10分