2017-2018学年河南省濮阳市高二下学期升级考试数学（理）试题（A卷）-解析版

2017-2018学年河南省濮阳市高二下学期升级考试数学（理）试题（A卷）-解析版

绝密★启用前 河南省濮阳市2017-2018学年高二下学期升级考试数学（理）试题（A卷）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．对任意复数，为虚数单位，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题可知，然后根据复数的运算性质及基本概念逐一核对四个选项得到正确答案.‎ 详解：已知 则 选项A，，错误.‎ 选项B，，正确.‎ 选项C，，错误.‎ 选项D，，不恒成立，错误.‎ 故选B.‎ 点睛： 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算.‎ ‎2．已知命题：，，若是真命题，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先写出命题的否定形式，将其转化为恒成立问题，求出的值. ‎ 详解：命题：，，则为，是真命题，即恒成立，‎ 的最大值为1，所以 故选A.‎ 点睛：含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎3．已知一组样本点，其中.根据最小二乘法求得的回归方程是，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 若所有样本点都在上，则变量间的相关系数为1‎ B. 至少有一个样本点落在回归直线上 C. 对所有的预报变量，的值一定与有误差 D. 若斜率，则变量与正相关 ‎【答案】D ‎【解析】分析：样本点均在直线上，则变量间的相关系数，A错误；样本点可能都不在直线上，B错误；样本点可能在直线上，即预报变量对应的估计值可能与可以相等，C错误；相关系数与符号相同D正确.‎ 详解：选项A：所有样本点都在，则变量间的相关系数，相关系数可以为 ， 故A错误.‎ 选项B：回归直线必过样本中心点，但样本点可能都不在回归直线上，故B错误.‎ 选项C：样本点可能在直线上，即可以存在预报变量对应的估计值与没有误差，故C错误.‎ 选项D：相关系数与符号相同，若斜率，则，样本点分布从左至右上升，变量与正相关，故D正确.‎ 点睛：本题考查线性回归分析的相关系数、样本点、‎ 回归直线、样本中心点等基本数据，基本概念的准确把握是解题关键.‎ ‎4．函数在其定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据函数单调性、极值与导数的关系即可得到结论.‎ 详解：观察函数图象，从左到右单调性先单调递增，然后单调递减，最后单调递增.对应的导数符号为正，负，正.,选项D的图象正确.‎ 故选D.‎ 点睛：本题主要考查函数图象的识别和判断，函数单调性与导数符号的对应关系是解题关键. ‎ ‎5．在中，，，分别为角，，所对的边，若，则（ ）‎ A. 一定是锐角三角形 B. 一定是钝角三角形 C. 一定是直角三角形 D. 一定是斜三角形 ‎【答案】C ‎【解析】分析：由已知构造余弦定理条件：，再结合余弦定理，化简整理得，即一定为直角三角形.‎ 详解：由已知，得 ①‎ ‎ 由余弦定理： ②‎ ‎ 将①代入② ‎ ‎ 整理得 ‎ ‎ 一定为直角三角形 ‎ 故选C 点睛：判断三角形形状 ‎（1）角的关系：‎ 通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎ ① 若；则A=B； ②若；则A=B或 ‎（2）边的关系：‎ 通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎① 若，则； ② 若，则；‎ ‎③ 若，则．‎ ‎6．设随机变量服从正态分布，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题可知，正态曲线关于对称，根据，即可求出 详解：随机变量服从正态分布 ‎ 正态曲线关于对称 ‎ ‎ ‎ ‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是正态曲线的对称性.‎ ‎7．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程 确定出来，类似的不难得到（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：通过类比推理的方法，得到求值的方法：列方程，求解（舍去负根）即可.‎ 详解：由已知代数式的求值方法，列方程，求解，舍负根.‎ ‎ 可得 ‎ ‎ 解得（舍）‎ ‎ 故选C.‎ 点睛：类比推理方法的前提是两种对象部分有共同属性，由特殊点向特殊点推理.通过类比推理考核研究问题的深度、思维散发情况和观察的仔细程度.‎ ‎8．已知点P是双曲线上一点，若，则△的面积为（　　）‎ A. B. C. 5 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，则： ，则： ，‎ 由勾股定理可得： ，‎ 综上可得： ‎ 则△的面积为： .‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．‎ ‎(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．‎ ‎9．若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列.已知数列 为调和数列，且，则（ ）‎ A. 10 B. 20 C. 30 D. 40‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意可知数列是等差数列，由等差数列的性质得 ，得 详解：数列为调和数列 ‎ 为等差数列，‎ ‎ 由等差数列的求和公式得，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由等差数列的性质 ‎ 故选B 点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，通过合理的转化建立起已知条件和考点之间的联系是解题关键.‎ ‎10．已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ）‎ A. 20 B. 24 C. 28 D. 32‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型即可得出.‎ 详解：均为正实数，且，则 ‎ 当且仅当时取等号.‎ ‎ 的最小值为20.‎ ‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.‎ ‎11．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（ ）‎ A. 300种 B. 150种 C. 120种 D. 90种 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据题意，先选后排.①先选，将5名教师分成三组，有两种方式，即1，1，3与1，2，2，注意去除重复部分；②后排，将分好的三组全排列，即可得到答案.‎ 详解：根据题意：分两步计算 ‎（1）将5名教师分成三组，有两种方式即1，1，3与1，2，2；‎ ‎ ①分成1，1，3三组的方法有 ‎ ②分成1，2，2三组的方法有 一共有种的分组方法；‎ ‎（2）将分好的三组全排列有种方法.‎ 则不同的派出方法有种.‎ 故选B.‎ 点睛：对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列。‎ ‎12．若函数图象上存在两个点，关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”.若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为（ ）‎ A. 0 B. 2 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题可知当时，与恰有两个交点.根据函数的导数确定的图象，即可求得实数的值.‎ 详解：由题可知，当时，与恰有两个交点.‎ ‎ 函数求导（）‎ 易得时取得极小值；时取得极大值 另可知，所得函数图象如图所示.‎ 当，即时与恰有两个交点.‎ 当时，恰好有两个“孪生点对”，‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查新定义，通过审题，读懂题意，选择解题方向，将问题转化为当时，与恰有两个交点是解题关键.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．用数学归纳法证明 时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据等式左边的特点，各项数字先递增再递减，分别写出与的结论，即可得到答案.‎ 详解：根据等式左边的特点，各项数字先递增再递减，得 ‎ 时，左边 时，左边 ‎ 比较两式，等式左边应添加的式子是 故答案为 点睛：本题主要考查数学归纳法，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子.‎ ‎14．已知，则=______．‎ ‎【答案】180‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为.‎ 点睛：二项式通项与展开式的应用：‎ ‎（1）通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数；‎ ‎（2）展开式的应用：①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法；②可证明整除问题（或求余数），关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断；③有关组合式的求值证明，常采用构造法.‎ ‎15．已知球的半径为1，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：以球心为坐标原点建立空间直角坐标系，设点的坐标，用来表示，进而求出答案.‎ 详解：由题可知，‎ 则，‎ 以球心为坐标原点，以为轴正方向，平面的垂线为轴建立空间坐标系，则，，设 ‎ ‎， ‎ 在球面上，则 设，当直线与圆相切时，取得最值.‎ 由得 ‎ ‎ 故答案为 点睛：本题考查了空间向量数量积的运算，使用坐标法可以简化计算，动点问题中变量的取值范围是解此类问题的关键.‎ ‎16．如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为__________海里．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据已知条件，分别在和中计算，在用余弦定理计算.‎ 详解：连接，‎ 由题可知，，，，，，则 在中，由正弦定理 得 为等腰直角三角形，则 在中，由余弦定理得 故答案为.‎ 点睛：解三角形的应用问题，先将实际问题抽象成三角形问题，再合理选择三角形以及正、余弦定理进行计算.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）‎ 平均每天锻炼的时间/分钟 总人数 ‎20‎ ‎36‎ ‎44‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎10‎ 将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.‎ ‎（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；‎ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 女 ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎（Ⅱ）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？‎ 参考公式，其中.‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.‎ ‎【解析】【试题分析】（1）根据题目所给数据可填写好表格.（2）通过公式计算，所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.‎ ‎【试题解析】‎ ‎(1)‎ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 女 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ ‎(2) ‎ 所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.‎ ‎18．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：‎ 类型 数量 ‎20‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ 以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：‎ ‎（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，.某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）‎ ‎（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故盈利8000元：‎ ‎①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)①；②50万元.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据题意得到X的所有取值，然后利用统计数据求得每个X值的概率，从而可得分布列和期望．（2）①由题意得到任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，然后根据独立重复事件的概率可得所求；②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，根据题意求得的可能取值和对应的概率后，可得分分布列和期望，最后可得购进100辆车获得利润的期望值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可知的可能取值为．‎ 由统计数据可知：‎ ‎,‎ ‎．‎ 所以的分布列为：‎ X ‎0.9a ‎0.8a ‎0.7a a ‎1.1a ‎1.3a P ‎∴．‎ ‎（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为 ‎．‎ ‎②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，则的可能取值为-4000,8000.‎ 所以的分布列为：‎ ‎-4000‎ ‎8000‎ ‎∴所以．‎ 所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元．‎ ‎19．已知数列的前项和为，且，.‎ ‎（Ⅰ）试计算，，，，并猜想的表达式；‎ ‎（Ⅱ）求出的表达式，并证明（Ⅰ）中你的猜想.‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)，证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）利用公式，将已知转换成关于的递推公式，计算，，，，在通过分子和分母的规律猜想出.‎ ‎（2）根据，结合通项公式的累乘法求出.再运用求和证明（1）的猜想.‎ 详解：（Ⅰ）由，得，，，，‎ 猜想.‎ ‎（Ⅱ）证明：因为①，所以②，‎ ‎①-②得，所以.‎ 化简得，‎ 所以，，，…，，‎ 把上面各式相乘得，所以，‎ ‎，‎ ‎.‎ 点睛：数列问题注意两个方面的问题：‎ ‎（1）的特殊性；‎ ‎（2）时，①消去，如，可以计算；‎ ‎②消去，如，可以计算.‎ ‎20．如图，在中，，点在线段上.过点作交于点，将沿折起到的位置（点与重合），使得.‎ ‎（Ⅰ）求证：.‎ ‎（Ⅱ）试问：当点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)答案见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）由已知条件，结合线面垂直的判定定理和性质定理，即可得到.‎ ‎（2）过点作，则，，两两垂直，以B为坐标原点，以， 的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.设，应用空间向量，分别求得两平面的法向量，计算两平面法向量夹角，证明点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值为定值，且定值为.‎ 详解：证明：（Ⅰ）在中，‎ 因为，所以，所以，，‎ 又因为，平面，所以平面.‎ 又因为平面，所以.‎ ‎（Ⅱ）在平面内，过点作于点，‎ 由（Ⅰ）知平面，所以，‎ 又因为，平面，所以平面.‎ 在平面内过点作直线，则平面.‎ 如图所示，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.‎ 设，‎ 又因为，‎ 所以，.‎ 在中，，‎ 所以，，所以，‎ 所以，，.‎ 从而，.‎ 设是平面的一个法向量，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 取，得是平面的一个法向量.‎ 又平面的一个法向量为，‎ 设二面角的平面角为，‎ 则 .‎ 因此当点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值为定值，且定值为.‎ 点睛：点睛：用空间向量求二面角问题的解题步骤：‎ 右手定则建立空间直角坐标系，写出关键点坐标 设两平面的法向量， 两法向量夹角为，求法向量及两向量夹角的余弦；‎ 当两法向量的方向都向里或向外时，则二面角；当两法向量的方向一个向里一个向外时，二面角为.‎ ‎21．已知椭圆：的离心率为，点，分别为椭圆的左右顶点，点在上，且面积的最大值为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为的左焦点，点在直线上，过作的垂线交椭圆于，两点.证明：直线平分线段.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆方程.‎ ‎（2）由题意设，，，线段的中点.则，①易知平分线段；②，，因点，在椭圆上，根据点差法整理得 ‎，所以，直线平分线段.‎ 详解：解：（Ⅰ）由椭圆的性质知当点位于短轴顶点时面积最大.‎ ‎∴有，解得，‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）证明：设，，，线段的中点.‎ 则，，‎ 由（Ⅰ）可得，则直线的斜率为.‎ 当时，直线的斜率不存在，由椭圆性质易知平分线段，‎ 当时，直线的斜率.‎ ‎∵点，在椭圆上，，‎ 整理得：，‎ 又，，‎ ‎∴，直线的斜率为，‎ ‎∵直线的斜率为，‎ ‎∴直线平分线段.‎ 点睛：题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点在一起时，就要想到“点差法”.‎ ‎（1）设点，其中点坐标为，则 ‎（2）把 代入曲线的方程，并作差，利用平方差公式对结果因式分解，得到与两点斜率和中点坐标有关的方程，再根据具体题干内容进行分析.‎ ‎（3）点差法常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题。‎ ‎22．设函数.‎ ‎（1）当时，求的极值；‎ ‎（2）当时，证明： .‎ ‎【答案】（1）当， 取得极小值；当时， 取得极大值；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时， ，求导，然后利用求极值的一般步骤即可得到的极值；‎ ‎（2）证明：当时， ， ，‎ 则证明上述不等式成立，即证明.‎ 设，利用导数研究的性质可得.，‎ 再令，利用导数研究的性质可得所以，‎ 所以，即.‎ 试题解析：（1）当时， ，‎ ‎ ，‎ 当时， ， 在上单调递减；‎ 当时， ， 在上单调递增；‎ 当时， ， 在上单调递减.‎ 所以，当， 取得极小值；‎ 当时， 取得极大值.‎ ‎（2）证明：当时， ， ，‎ 所以不等式可变为.‎ 要证明上述不等式成立，即证明.‎ 设，则，‎ 令，得，‎ 在上， ， 是减函数；在上， ， 是增函数.‎ 所以.‎ 令，则，‎ 在上， ， 是增函数；在上， ， 是减函数，‎ 所以，‎ 所以，即，即，‎ 由此可知.‎