2020届二轮复习 解三角形学案（全国通用）
2020 届二轮复习 解三角形 学案
五年高考
考点一 正弦定理和余弦定理
1.(2018 山东,9,5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos
C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )
A.a=2b B.b=2a
C.A=2B D.B=2A
答案 A
2.(2018 天津,3,5 分)在△ABC 中,若 AB=,BC=3,∠C=120°,则 AC=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
3.(2018 浙江,14,5 分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点 D 为 AB 延长线上一点,BD=2,连接 CD,则△BDC 的面积
是 ,cos∠BDC= .
答案 ;
4.(2018 课标全国Ⅱ,13,5 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A=,cos C=,a=1,则 b= .
答案
5.(2018 天津,15,13 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a>b,a=5,c=6,sin B=.
(1)求 b 和 sin A 的值;
(2)求 sin 的值.
解析 (1)在△ABC 中,因为 a>b,所以由 sin B=,可得 cos B=.由已知及余弦定理,有 b2=a2+c2-2accos B=13,所以 b=.
由正弦定理=,得 sin A==.
所以,b 的值为,sin A 的值为.
(2)由(1)及 a
b,则∠B=( )
A. B. C. D.
答案 A
8.(2018 天津,6,5 分)在△ABC 中,∠ABC=,AB=,BC=3,则 sin∠BAC=( )
A. B. C. D.
答案 C
9.(2018 湖南,3,5 分)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B=b,则角 A 等于( )
A. B. C. D.
答案 D
10.(2018 天津,13,5 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知△ABC 的面积为 3,b-c=2,cos A=-,则 a 的值
为 .
答案 8
11.(2018 重庆,13,5 分)在△ABC 中,B=120°,AB=,A 的角平分线 AD=,则 AC= .
答案
12.(2018 广东,11,5 分)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=,sin B=,C=,则 b= .
答案 1
13.(2018 福建,12,4 分)若锐角△ABC 的面积为 10,且 AB=5,AC=8,则 BC 等于 .
答案 7
14.(2018 广东,12,5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 bcos C+ccos B=2b,则= .
答案 2
15.(2018 天津,12,5 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c=a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为 .
答案 -
16.(2018 福建,12,4 分)在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC 的面积等于 .
答案 2
17.(2018 安徽,12,5 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角 C= .
答案 π
18.(2018 浙江,16,4 分)在△ABC 中,∠C=90°,M 是 BC 的中点.若 sin∠BAM=,则 sin∠BAC= .
答案
19.(2018 辽宁,17,12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求:
(1)a 和 c 的值;
(2)cos(B-C)的值.
解析 (1)由·=2 得 c·acos B=2,
又 cos B=,所以 ac=6.
由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B.
又 b=3,所以 a2+c2=9+2×2=13.
解得 a=2,c=3 或 a=3,c=2.
因 a>c,所以 a=3,c=2.
(2)在△ABC 中,sin B===,
由正弦定理,得 sin C=sin B=×=.
因 a=b>c,所以 C 为锐角,
因此 cos C===.
于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C
=×+×=.
20.(2018 山东,17,12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B=.
(1)求 a,c 的值;
(2)求 sin(A-B)的值.
解析 (1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 得 b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),
又 b=2,a+c=6,cos B=,所以 ac=9,解得 a=3,c=3.
(2)在△ABC 中,sin B==,
由正弦定理得 sin A==.
因为 a=c,所以 A 为锐角,所以 cos A==.
因此 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.
21.(2018 重庆,20,12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a2+b2+ab=c2.
(1)求 C;
(2)设 cos Acos B=,=,求 tan α 的值.
解析 (1)因为 a2+b2+ab=c2,
由余弦定理有 cos C===-,
故 C=.
(2)由题意得
=,
因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos B)=,tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=,
tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B=.①
因为 C=,A+B=,所以 sin(A+B)=,
因为 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,即-sin Asin B=,解得 sin Asin B=-=.
由①得 tan2α-5tan α+4=0,
解得 tan α=1 或 tan α=4.
考点二 正、余弦定理的应用
1.(2018 课标全国Ⅲ,8,5 分)在△ABC 中,B=,BC 边上的高等于 BC,则 cos A=( )
A. B. C.- D.-
答案 C
2.(2018 课标全国Ⅱ,17,12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin(A+C)=8sin2.
(1)求 cos B;
(2)若 a+c=6,△ABC 的面积为 2,求 b.
解析 本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.
(1)由题设及 A+B+C=π 得 sin B=8sin2,故 sin B=4(1-cos B).
上式两边平方,整理得 17cos2B-32cos B+15=0,
解得 cos B=1(舍去),cos B=.
(2)由 cos B=得 sin B=,故 S△ABC=acsin B=ac.
又 S△ABC=2,则 ac=.
由余弦定理及 a+c=6 得 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.
所以 b=2.
3.(2018 浙江,16,14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B.
(1)证明:A=2B;
(2)若△ABC 的面积 S=,求角 A 的大小.
解析 (1)由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B,
故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
于是 sin B=sin(A-B).
又 A,B∈(0,π),故 08 B.ab(a+b)>16
C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24
答案 A
7.(2018 湖北,13,5 分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上,行
驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD= m.
答案 100
8.(2018 福建,13,4 分)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则 BD 的长为 .
答案
9.(2018 江苏,18,16 分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32 cm,容器Ⅰ的底面对角线
AC 的长为 10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线 EG,E1G1 的长分别为 14 cm 和 62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为 12
cm.现有一根玻璃棒 l,其长度为 40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将 l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点 A 处,另一端置于侧棱 CC1 上,求 l 没入水中部分的长度;
(2)将 l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点 E 处,另一端置于侧棱 GG1 上,求 l 没入水中部分的长度.
解析 (1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面 ABCD,所以平面 A1ACC1⊥平面 ABCD,CC1⊥AC.
记玻璃棒的另一端落在 CC1 上点 M 处.
因为 AC=10,AM=40,
所以 MC==30,从而 sin∠MAC=.
记 AM 与水面的交点为 P1,过 P1 作 P1Q1⊥AC,Q1 为垂足,
则 P1Q1⊥平面 ABCD,故 P1Q1=12,从而 AP1==16.
答:玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 16 cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为 24 cm)
(2)如图,O,O1 是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义,OO1⊥平面 EFGH,所以平面 E1EGG1⊥平面 EFGH,O1O⊥EG.
同理,平面 E1EGG1⊥平面 E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.
记玻璃棒的另一端落在 GG1 上点 N 处.
过 G 作 GK⊥E1G1,K 为垂足,则 GK=OO1=32.
因为 EG=14,E1G1=62,所以 KG1==24,从而 GG1===40.
设∠EGG1=α,∠ENG=β,
则 sin α=sin=cos∠KGG1=.
因为<α<π,所以 cos α=-.
在△ENG 中,由正弦定理可得=,解得 sin β=.
因为 0<β<,所以 cos β=.
于是 sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)
=sin αcos β +cos αsin β=×+×=.
记 EN 与水面的交点为 P2,过 P2 作 P2Q2⊥EG 交 EG 的延长线于 Q2,则 P2Q2⊥平面 EFGH,故 P2Q2=12,从而 EP2==20.
答:玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20 cm.
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为 20 cm)
10.(2018 北京,15,13 分)在△ABC 中,a2+c2=b2+ac.
(1)求∠B 的大小;
(2)求 cos A+cos C 的最大值.
解析 (1)由余弦定理及题设得 cos B===.
又因为 0<∠B<π,所以∠B=.(6 分)
(2)由(1)知∠A+∠C=.
cos A+cos C=cos A+cos
=cos A-cos A+sin A
=cos A+sin A
=cos.(11 分)
因为 0<∠A<,
所以当∠A=时,cos A+cos C 取得最大值 1.(13 分)
11.(2018 课标Ⅱ,17,12 分)△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍.
(1)求;
(2)若 AD=1,DC=,求 BD 和 AC 的长.
解析 (1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,
S△ADC=AC·ADsin∠CAD.
因为 S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,
所以 AB=2AC.
由正弦定理可得==.
(2)因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以 BD=.
在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,
AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.
故 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.
由(1)知 AB=2AC,所以 AC=1.
12.(2018 浙江,16,14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 A=,b2-a2=c2.
(1)求 tan C 的值;
(2)若△ABC 的面积为 3,求 b 的值.
解析 (1)由 b2-a2=c2 及正弦定理得 sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.
又由 A=,即 B+C=π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,
解得 tan C=2.
(2)由 tan C=2,C∈(0,π)得 sin C=,cos C=.
又因为 sin B=sin(A+C)=sin,
所以 sin B=.
由正弦定理得 c=b,
又因为 A=,bcsin A=3,所以 bc=6,故 b=3.
13.(2018 陕西,17,12 分)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 m=(a,b)与 n=(cos A,sin B)平行.
(1)求 A;
(2)若 a=,b=2,求△ABC 的面积.
解析 (1)因为 m∥n,所以 asin B-bcos A=0,
由正弦定理,得 sin Asin B-sin Bcos A=0,
又 sin B≠0,从而 tan A=,
由于 00,所以 c=3.
故△ABC 的面积为 bcsin A=.
解法二:由正弦定理,得=,
从而 sin B=,
又由 a>b,知 A>B,所以 cos B=.
故 sin C=sin(A+B)=sin
=sin Bcos+cos Bsin=.
所以△ABC 的面积为 absin C=.
14.(2018 江苏,15,14 分)在△ABC 中,已知 AB=2,AC=3,A=60°.
(1)求 BC 的长;
(2)求 sin 2C 的值.
解析 (1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=4+9-2×2×3×=7,
所以 BC=.
(2)由正弦定理知,=,
所以 sin C=·sin A==.
因为 AB
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