数学理卷·2018届广东省普宁市第一中学高二下学期开学考试（2017-02）

数学理卷·2018届广东省普宁市第一中学高二下学期开学考试（2017-02）

‎ 普宁一中2016--2017学年度第二学期高二级 开学考试 ‎ 理科数学试题卷 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。‎ ‎2.用2B铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.考生必须保持答题卷的整洁。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.设为虚数单位，表示复数的共轭复数，若，则等于 ‎ A. B. C. 2 D.‎ ‎2.已知集合，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则当时，有 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎4.已知F为双曲线的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 已知图甲是函数的图象，图乙是由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎7.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 ‎ A. 34 B. 55 C. 78 D. 89 ‎ ‎8.已知，且，则等于 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.若实数满足不等式组，且的最大值为9，则实数等于 ‎ A. B. C. 1 D.‎ ‎10.已知直线和直线，抛物线上一点P到直线和的距离之和的最小值是 ‎ A. B. C. D.3‎ ‎11.已知蚂蚁从正方体的顶点A处出发，经过正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点的位置，则下列图中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是 ‎ A. ①② B. ①③ C. ②④ D.③④‎ ‎12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知的展开式中的系数为5，则 .‎ ‎14. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路，如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数为 . ‎ ‎15.平面向量，且与的夹角等于与的夹角，则等于 .‎ ‎16.设G是的重心，且，则角B的大小为 .‎ 三．解答题（共70分）‎ ‎17（10分）.在长丰中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.‎ ‎（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）求这两个班参赛的学生人数，并回答这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内.‎ ‎18（12分）．设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R；命题q：不等式3x－9x＜a对一切正实数x均成立．如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎19（12分）．设是关于的一元二次方程．‎ ‎（1）若是从0,1,2,3四个数中任取一个数，是从0,1,2三个数中任取一个数，求方程有实根的概率；‎ ‎（2）若是从区间上任取一个数，是从区间上任取一个数，求方程有实根的概率．‎ ‎20（12分）．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，E是侧棱PC上的动点 ‎（1）求四棱锥P－ABCD的体积；‎ ‎（2）证明：BD⊥AE。‎ ‎（3）求二面角P-BD-C的正切值。‎ ‎21（12分）．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上 有一点到焦点的距离为6.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若抛物线与直线相交于不同的两点、，且中点横坐标为2，求的值.‎ ‎22（12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．是椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）当四边形面积取最大值时，求的值．‎ 理科数学参考答案 ‎1—5 CACAD;6—10 CBACB;11—12 CD ‎13． -1 ． 14． 21 ．15． 2 ．16．．‎ ‎17.解析 （1）∵各小组的频率之和为，第一、三、四、五小组的频率分别是，，，‎ ‎∴第二小组的频率为：‎ ‎∴落在的第二小组的小长方形的高，则补全的频率分布直方图如图所示 ‎（2）设九年级两个班参赛的学生人数为人 ‎∵第二小组的频数为人，频率为 ‎∴，解得 所以这两个班参赛的学生人数为人 因为，，，，‎ 即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为，，，，‎ 所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内 ‎18.解析　若命题p为真，即ax2－x＋a＞0恒成立，‎ 则有，∴a＞1.‎ 令y＝3x－9x＝－(3x－)2＋，由x＞0得3x＞1， ‎ ‎∴y＝3x－9x的值域为(－∞，0)．‎ ‎∴若命题q为真，则a≥0.‎ 由命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，得命题p、q一真一假．‎ 当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0≤a≤1.‎ ‎19.解析 方程有实根的充要条件为：，即．‎ ‎（1）基本事件有12个，其中，，，，，，，，满足条件，则．‎ ‎（2）试验的全部结果构成的区域为，‎ 满足题意的区域为：，‎ 所以，所求概率为． ‎ ‎20.解析（1）该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，‎ 侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2. ‎ ‎∴ ‎ ‎(2)连结AC，∵ABCD是正方形 ‎∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面 ∴BD⊥PC 又∵∴BD⊥平面PAC ‎ ‎∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC ‎ ‎∴BD⊥AE ‎ ‎（3）设相交于，连,由四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PC⊥底面ABCD知，是二面角P-BD-C的的一个平面角， ‎ ‎,即二面角P-BD-C的正切值为 ‎21.解析（1）设抛物线的方程为，其准线方程为，‎ 到焦点的距离为6，∴，∴.‎ 即抛物线的方程为.‎ ‎（2）设，，‎ 由消去，得，‎ 由条件，且，∴且，‎ 又，∴，解得或（舍）.‎ ‎22.解析（1）由题意知：＝ ∴，∴. ‎ 又∵圆与直线相切， ∴，∴， ‎ 故所求椭圆C的方程为 ‎ ‎（2）设，其中，‎ 将代入椭圆的方程整理得：，‎ 故．① ‎ 又点到直线的距离分别为，‎ ‎． ‎ ‎ ‎ 所以四边形的面积为 ‎ ‎ ‎， ‎ 当，即当时，上式取等号．‎ 所以当四边形面积的最大值时，=2. ‎