江苏省泰州市2020届高三下学期调研测试数学试题(含答案)

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江苏省泰州市2020届高三下学期调研测试数学试题(含答案)

江苏省泰州市2020届高三下学期调研测试试题 第I卷(必做题,共160分)‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)‎ ‎1.已知集合A={l,2},B={2,4,8},则AB= .‎ ‎2.若实数x,y满足x+yi=﹣1+(x﹣y)i(i是虚数单位),则xy= .‎ ‎3.如图是容量为100的样本的频率分布直方图,则样本数据落在区间[6,18)内的频数为 ‎ ‎ .‎ ‎4.根据如图所示的伪代码,可得输出的S的值为 .‎ ‎5.若双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为 .‎ ‎6.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,这两次出现向上的点数分别记为x,y,则的概率是 .‎ ‎7.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是它到y轴距离的3倍,则点P的横坐标为 .‎ ‎8.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”它的大意是:有人要到某关口,路程为378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都是前一天的一半,一共走了六天到达目的地.那么这个人第一天走的路程是 里.‎ ‎9.若定义在R上的奇函数满足,,则++ 的值为 .‎ ‎10.将半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面,若圆锥的体积为,则R= .‎ ‎11.若函数只有一个零点,则实数a的取值范围为 .‎ ‎12.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(,),B(,)在圆O:上,且满足,则的最小值是 .‎ ‎13.在锐角△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上,若,,且,,则实数的值为 .‎ ‎14.在△ABC中,点D在边BC上,且满足AD=BD,3tan2B﹣2tanA+3=0,则的取值范围为 .‎ 二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 如图,在三棱锥P— ABC中,PA⊥平面ABC,AB=AC,点D,E,F分別是AB,AC,BC的中点.‎ ‎(1)求证:BC∥平面PDE;‎ ‎(2)求证:平面PAF ⊥平面PDE.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 已知函数,xR .‎ ‎(1)求函数的最大值,并写出相应的x的取值集合;‎ ‎(2)若,(,),求sin2的值.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 某温泉度假村拟以泉眼C为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池,如图所示,M,N是圆C上关于直径AB对称的两点,以A为四心,AC为半径的圆与圆C的弦AM,AN分别交于点D,E,其中四边形AEBD为温泉区,I、II区域为池外休息区,III、IV区域为池内休息区,设∠MAB=.‎ ‎(1)当时,求池内休息区的总面积(III和IV两个部分面积的和);‎ ‎(2)当池内休息区的总面积最大时,求AM的长.‎ ‎18.(本小题满分16分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆M:(a>b>0)的左顶点为A,过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B,以AB为边作矩形ABCD,其中直线CD过原点O.当点B为椭圆M的上顶点时,△AOB的面积为b,且AB=.‎ ‎(1)求椭圆M的标准方程;‎ ‎(2)求矩形ABCD面积S的最大值;‎ ‎(3)矩形ABCD能否为正方形?请说明理由.‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 定义:若一个函数存在极大值,且该极大值为负数,则称这个函数为“YZ函数”.‎ ‎(1)判断函数是否为“YZ函数”,并说明理由;‎ ‎(2)若函数(mR)是“YZ函数”,求实数m的取值范围;‎ ‎(3)已知,x(0,),a,bR,求证:当a≤﹣2,且0<b<1时,函数是“YZ函数”.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 已知数列,,满足,.‎ ‎(1)若数列是等比数列,试判断数列是否为等比数列,并说明理由;‎ ‎(2)若恰好是一个等差数列的前n项和,求证:数列是等差数列;‎ ‎(3)若数列是各项均为正数的等比数列,数列是等差数列,求证:数列是等差数列.‎ 第II卷(附加题,共40分)‎ ‎21.【选做题】本题包括A,B,C三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ A.选修4—2:矩阵与变换 已知列向量在矩阵M=对应的变换下得到列向量,求.‎ B.选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,点P为曲线C上任一点,求点P到直线l距离的最大值.‎ C.选修4—5:不等式选讲 已知实数a,b,c满足a>0,b>0,c>0,,求证:.‎ ‎【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,在多面体ABCDEF中,平面ADE⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形,△ADE是等腰直角三角形,且∠ADE=,EF⊥平面ADE,EF=1.‎ ‎(1)求异面直线AE和DF所成角的余弦值;‎ ‎(2)求二面角B—DF—C的余弦值.‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 给定n(n≥3,n)个不同的数1,2,3,…,n,它的某一个排列P的前k(k,1≤k≤n)项和为,该排列P中满足的k的最大值为.记这n个不同数的所有排列对应的之和为.‎ ‎(1)若n=3,求;‎ ‎(2)若n=4l+1,l,①证明:对任意的排列P,都不存在k(k,1≤k≤n)使得;②求(用n表示).‎ 参考答案 一、填空题 ‎1. 2. 3. 4. 5. ‎ ‎6. 7. 8. 9. 10. ‎ ‎11. 12. 13. 14. ‎ 二、解答题 ‎ ‎15.(本题满分14分)‎ 证明:(1)在中,因为分别是的中点,‎ 所以, ……………2分 因为,,‎ 所以. ……………6分 ‎(2)因为,,‎ 所以,‎ 在中,因为,分别是的中点,‎ 所以, ……………8分 因为,所以,‎ 又因为,,‎ 所以, ……………12分 因为,所以. ……………14分 ‎16.(本题满分14分)‎ 解:(1)因为,‎ 所以 ……………2分 ‎ ……………4分 ‎ 当,即时,取最大值,‎ 所以的最大值为,此时的取值集合为.………7分 ‎(2)因为,则,即,‎ 因为,所以,‎ 则, ……………10分 所以 ‎. ……………14分 ‎17.(本题满分14分)‎ 解:(1)在中,因为,,‎ 所以,,‎ 所以池内休息区总面积.‎ ‎ ……………4分 ‎(2)在中,因为,,‎ 所以, ,‎ 由得, ……………6分 则池内休息区总面积,;‎ ‎ ……………9分 设,,因为 ‎,‎ 又,所以,使得,‎ 则当时,在上单调增,‎ 当时,在上单调减,‎ 即是极大值,也是最大值,所以,‎ 此时. ……………13分 答:(1)池内休息区总面积为;‎ ‎(2)池内休息区总面积最大时的长为.………14分 ‎ ‎ ‎18.(本题满分16分)‎ 解:(1)由题意:,解得,‎ 所以椭圆的标准方程为. ……………4分 ‎(2)显然直线的斜率存在,设为且,‎ 则直线的方程为,即,‎ 联立得,‎ 解得,,所以,‎ 直线的方程为,即,所以,‎ 所以矩形面积,‎ 所以当且仅当时,矩形面积的最大值为.……………11分 ‎(3)若矩形为正方形,则,‎ 即,则 ,‎ 令,‎ 因为,又的图象不间断,‎ 所以有零点,所以存在矩形为正方形.‎ ‎……………16分 ‎19.(本题满分16分)‎ 解:(1)函数是“YZ函数”,理由如下:‎ 因为,则,‎ 当时,;当时,,‎ 所以的极大值,‎ 故函数是“YZ函数”. ……………4分 ‎(2)定义域为, ,‎ 当时,,函数单调递增,无极大值,不满足题意;‎ 当时,当时,,函数单调递增,‎ 当时,,函数单调递减,‎ 所以的极大值为,‎ 由题意知,解得. ……………10分 ‎(3)证明: ,‎ 因为,,则,‎ 所以有两个不等实根,设为,‎ 因为,所以,不妨设,‎ 当时,,则单调递增;‎ 当时,,则单调递减,‎ 所以的极大值为, ……………13分 由得,‎ 因为,,‎ 所以 ‎.‎ 所以函数是“YZ函数”. ……………16分 ‎(其他证法相应给分)‎ ‎20.(本题满分16分)‎ 解:(1)设等比数列的公比为,则,‎ 当时,,数列不是等比数列, ……………2分 当时,因为,所以,所以数列是等比数 列. ……………5分 ‎(2)因为恰好是一个等差数列的前项和,设这个等差数列为,公差为,‎ 因为,所以,‎ 两式相减得,‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以数列是等差数列. ……………10分 ‎(3)因为数列是等差数列,所以,‎ 又因为,所以,‎ 即 ,则,‎ 又因为数列是等比数列,所以,则,‎ 即,‎ 因为数列各项均为正数,所以, ……………13分 则,‎ 即,‎ 又因为数列是等差数列,所以,‎ 即,‎ 化简得,将代入得 ‎,‎ 化简得,所以数列是等差数列. ……………16分 ‎(其他证法相应给分)‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21. A. [选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)‎ 解:因为,所以,解得,……………4分 设,则,‎ 即,解得, 所以, ……………8分 所以. ……………10分 ‎ ‎ B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ 解:由题:直线方程即为,‎ 由,得直线的直角坐标方程为,……………4分 设点的坐标为,‎ 点到直线的距离,……………8分 当,即时,取得最大值,‎ 此时点的坐标为. ……………10分 C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)‎ 证明:由柯西不等式,得 ‎ ………………5分 所以. ………………10分 ‎22.(本小题满分10分)‎ 解:因为平面平面,又,‎ 即,因为,, 平面,‎ 由四边形为边长为2的正方形,‎ 所以两两互相垂直.‎ 以为坐标原点,为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2分 由平面且,‎ ‎(1),,‎ 则,‎ 所以和所成角的余弦值为. ……………5分 ‎(2),,设平面的一个法向量为,‎ 由 ,取,得,‎ 平面的一个法向量为,‎ ‎,‎ 由二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为.……10分 ‎23.(本小题满分10分)‎ 解:(1)的所有排列为,‎ 因为,所以对应的分别为,所以; ……………3分 ‎(2)(i)设个不同数的某一个排列为,‎ 因为,所以为奇数,‎ 而为偶数,所以不存在使得; ……………5分 ‎(ii) 因为,即,‎ 又由(i)知不存在使得,‎ 所以;‎ 所以满足的最大下标即满足①‎ 且②,‎ 考虑排列的对应倒序排列,‎ ①②即,,‎ 由题意知,‎ 则; ……………8分 又,这个不同数共有个不同的排列,可以构成个对应组合,‎ 且每组中,所以. ……………10分
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