吉林省东北师范大学附属中学2020届高三第四次模拟考试数学（理）试题

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2019—2020 学年高三年级第四次模拟考试 理科数学 本试卷共 8 页．本试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清 楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答 题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1. 设集合 ，则 A． B． C． D． 2. 在复平面内，复数 对应的点与 对应的点关于实轴对称，则 A． B． C． D． 3．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高，2019 年全年总收入与 2018 年全年总收 入相比增长了一倍，同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生相应变化，下图给 出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法错误的是 2{ 6 0}, { 2 1, }A x x x B x x k k= − − ≤ = = − ∈Z A B = { 1, 1}− {1, 3} { 1, 1, 3}− { 1, 3}− z 3 i+ i z = 1 3i− − i3− + 1 3i− + i3− − x y O . . 2 π π O . . 2 π π x y O x y . . 2 π π 2 π π. .O x y 开始 输入 ,a b 输出 n 结束 否 是 1n n= + b b b= + 0n = A．该企业 2019 年研发的费用与原材料的费用超过当年总收入的 50% B．该企业 2019 年设备支出金额及原材料的费用均与 2018 相当 C．该企业 2019 年工资支出总额比 2018 年多一倍 D．该企业 2018 年与 2019 研发的总费用占这两年总收入的 20% 4．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中真命题的个数是 Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 5．记 为等差数列 的前 n 项和．已知 ，则 A． B． C．4 D．2 6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长 六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解 决此问题的一个程序框图，其中 为松长， 为竹长，则菱形框与矩形 框处依次填 A． B． C． D． 7．函数 的部分图象大致是 A． B． C． D． 8．已知双曲线 的左右焦点为 ，过 作 轴的垂线与 相交于 nS { }na 4 50 5S a= =， d = 1 2 1 4 a b ?; 2 aa b a a< = + ?; 2a b a a a< = + ?; 2 aa b a a≥ = + ?; 2a b a a a≥ = + ln( ) sin xf x x x = + ( )2 2 2 2: 1 , 0x yC a ba b − = > 1 2,F F 2F x C 两点， 与 轴相交于 ，若 ，则双曲线 的离心率为 A． B． C． D． 9．已知函数 是定义域为 偶函数，且在 单调递增，设 ，则 的大小关系是 A． B． C． D． 10．把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不 变）后得到函数 的图象，对于函数 有以下四个判断：①该函数的解 析式为 ；②该函数图象关于点 对称；③该函数在 上是 增函数；④函数 在 上的最小值为 ，则 ．其中，正确判 断的序号是 A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 11．已知圆 ： ，点 是圆 上的动点，点 ，线段 的中垂 线交 于 ，当 最大时， 所在直线的方程是 A． B． C． D． 12．已知 存在唯一零点，则实数 的取值范围 A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.已知非零向量 ， 满足 ，则 . 14.二项式 的展开式的常数项是 .（用数字作答） 15.设数列 的前 项和为 ，若 ，则 . 16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”， 是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原. ,A B 1F B y D 1BF AD⊥ C 2 3 2 3 ( )y f x= ( , )π π− (0, )π (log 3),a f π= 1 3 1 3 (log 9), ( )b f c f π= = , ,a b c b c a> > a b c> > c b a> > b a c> > sin2y x= x 6 π ( )y f x= ( )y f x= 2sin 2 3y x π = +   ,03 π     0, 6 π     ( )y f x a= + 0, 2 π     3 2 3a = C 2 2( 1) 12x y− + = P C ( 1, 0)M − PM PC Q MQC∠ QM 2( 1)y x= ± + 2( 1)y x= ± + 1 ( 1)2y x= ± + 2 ( 1)2y x= ± + ( ) ( ) sin ( 0)x xf x a e e x aπ−= − − > a ( , )2 π +∞ [ , )2 π +∞ 1( , )2 +∞ 1[ , )2 +∞ a b | | = | |−a a b 1( )2 − ⋅ =a b b 61(2 )x x − { }na n nS 1 12 2n n nS a −− = 2020S = E A B C M D P A B CD 如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可 以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则 该球表面积的最大值为____． 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22 23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ， 为正三角形， ， 为线段 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求二面角 的大小． 18.（本小题满分 12 分） 如 图 ， 点 在 的 边 上 ， （1）求 和 ； （2）若 ，求 . 19.（本小题满分 12 分） 设函数 （ ）， . （1）求 的极值； （2）当 时，函数 的图象恒在直线 的上方，求实数 的取值 范围； 2   P ABCD− ABCD 60ABC∠ =  PAB∆ 6PC = E AB PE ⊥ ABCD 3PM PD=  M EC D− − D ABC∆ BC , 5, 1.4ADC AB BD π∠ = = = AD sin B (1 tan )(1 tan ) 2B C+ + = sinC ( ) 1f x mx= + m∈R ( ) lng x x= ( ) ( ) ( )h x f x g x= − 0 1x< < 1( ) ( 1)y a g xx = + + 1y = a …… …… 1 1 2 2 n n A B方案①： ……1 1 2 2 n nA B方案②： 20.（本小题满分 12 分） 随着现代电子技术的迅猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科 ——可靠性理论．在可靠性理论中，一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性．元件组 成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性． 现 有 （ ， ） 种 电 子 元 件 ， 每 种 2 个 ， 每 个 元 件 的 可 靠 性 均 为 （ ）．当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路．现要用这 个元件 组成一个电路系统，有如下两种连接方案可供选择，当且仅当从 A 到 B 的电路为通路状态时， 系统正常工作． （1）（i）分别写出按方案①和方案②建立的电路系统的可靠性 、 （用 和 表示）； （ii）比较 与 的大小，说明哪种连接方案更稳定可靠； （2）设 ， ，已知按方案②建立的电路系统可以正常工作，记此时系统中损坏的 元件个数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望． 21.（本小题满分 12 分） 已知 为坐标原点，直线 过椭圆 右焦点 且交椭圆 于 两点， 为直线 上动点，当 时，直线 平分线段 ． （1）求椭圆方程； （2）记直线 斜率分别为 ，直线 斜率为 ，求证： ． （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题 计分． n *n∈N 2n ≥ p 0 1p< < 2n 1P 2P n p 1P 2P 4n = 4 5p = X X O : 1l x my= + 2 2 2 2 1 ( 0)x y a ba b + = > > F ,A B P 4x = PF l⊥ OP AB ,PA PB 1 2,k k PF k 1 2 2k k k+ = 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，将曲线 ( 为参数) 上任意一点 经 过伸缩变换 后得到曲线 ．以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极 坐标系，直线 的极坐标方程为 ． （1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 交于 两点， ，求 的值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲 若关于 的不等式 在实数范围内有解． （1）求实数 的取值范围； （ 2 ） 若 实 数 的 最 大 值 为 ， 且 正 实 数 满 足 ， 求 证 ： . xOy 1 1 cos: 2sin xC y θ θ = +  = θ ( , )M x y ' 2 ' x x y y =  = 2C O x l (cos sin ) 1ρ θ θ+ = l 2C l 2C ,A B (1, 0)P || | | ||PA PB− x | 2 2 | | 2 1| 0x x t+ − − − ≥ t t m , ,a b c 2 3a b c m+ + = 1 2 3a c b c + ≥+ + 2019—2020 学年高三年级第四次模拟考试 理科数学参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共计 60 分） （1）C （2）A （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）B （9）A （10）D （11）A （12）B 二、填空题（每小题 5 分，共计 20 分） （13） 0 （14）240 （15） （16） ； 三、解答题 17. 解：（1）证明：连接 ， ∵ 是边长为 2 的正三角形，且 是 中点，∴ 又∵ 是边长为 2 的菱形， ，∴ 是正三角形， ， 又∵ ，∴ ，即 ，又 ， ， ∴ 平面 ． ………6 分 （2）由（1）可得：以 为原点，分别以 ， ， 为 ， ， 轴的正方向，建立空 间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ． 设点 坐标为 ，由 ，得 ，∴ ， ∴ ， ， 设平面 的法向量为 ， 1010 2 1( 1)3 4 − 2 3 16 27 π CE PAB△ E AB 3PE = ABCD 60ABC∠ =  ABC△ 3CE = 6PC = 2 2 2PC PE CE= + PE CE⊥ PE AB⊥ CE AB E= PE ⊥ ABCD E EB EC EP x y z E xyz− ( )0 0 0E ，， ( )1 0 0B ，， ( )0 0 3P ，， ( )0 3 0C ， ， ( )2 3 0D − ， ， M ( )x y z， ， 3PM PD=  ( ) ( )3 3 2 3 3x y z − = − −， ， ， ， 2 3 2 3 3 3 3M  −    ， ， 2 3 2 3 3 3 3EM  = −     ， ， ( )0 3 0EC = ， ， CEM ( )x y z= ， ，n A B C D P E x y z M 则 ，解得 ． ∵ 平面 ，∴平面 的法向量 ， ∴ ， ∴二面角 的大小为 ． ………12 分 18. 解：解：（Ⅰ） ，设 ， 在 中, ，即 ，解得 （舍）， ， . 在 中， . 故 ， . ………6 分 （Ⅱ）由 得 ， , 由（1）知 ， .………12 分 19. 解：（1）∵ ， ，∴ ， . 当 时，∵ ，∴ ，所以 在区间为 单调递减，所以 无极 2 3 2 3 03 3 3 3 0 EM x y z EC y  ⋅ = − + + =  ⋅ = =   n n ( )3 0 1= ，，n PE ⊥ ABCD ABCD ( )0 0 1= ，，m cos = 1 1= =2 1 2 ⋅= ⋅ ×， n mn m n m M EC D− − 60° 3 4 4ADB π ππ∠ = − = AD x= ABD∆ 2 2 2 2 cosAB AD BD AD BD ADB= + − ⋅ ∠ 2 25 1 2 ( )2x x= + − × − 2 2x = − 2x = 2AD∴ = ABD∆ 22sin 52sin 55 AD ADBB AB ×∠= = = 2AD = 5sin 5B = (1 tan )(1 tan ) 2B C+ + = tan tan 1 tan tanC B C B+ = − tan tantan tan( ) 11 tan tan C BBAC C B C B +∠ = − + = − = −− (0, )BAC π∠ ∈ 3 4BAC π∴∠ = 5sin 5B = (0, )2B π∈ 2 1 2 5cos 1 sin 1 5 5B B∴ = − = − = 2 10sin sin( ) (cos sin )4 2 10C B B B π= − = − = ( ) 1 lnh x mx x= + − 0x > 1 1( ) mxh x m x x −′ = − = 0x > 0m ≤ 0x > ( ) 0h x′ < ( )h x (0, )+∞ ( )h x 值； 当 时，令 ，解得 ，当 时， ，当 时， 所以 在区间为 递减，在区间为 递增，所以当 时 取得极小值 ，无极大值. ……… 5 分 （2）由题可知，不等式 对 恒成立. 当 时，取 代入上述不等式，此时 ，不符合题意； 当 时，因为 在 上恒成立， 所以不等式等价于 令 ， .则 ， . 当 ， ，所以 在 递减，所以 ，不符合题意； 当 ，即 时， ，所以 在 递增，所以 ， ，符合题意； 当 ，即 且 时，取 ，当 时，必有 ，所以 在 上递减，所以 ， ，不符合题意. 综上： 的取值范围是 . ……… 12 分 20. 解：（1）（i）按方案①建立的电路系统的可靠性 ； 按方案②建立的电路系统的可靠性为 ； （ii） ． 令 ， 且 ，则 ． 当 时， ，从而 ，所以 在 上单调递增； 0m > ( ) 0h x′ = 1x m = 1(0, )x m ∈ ( ) 0h x′ < 1( , )x m ∈ + ∞ ( ) 0h x′ > ( )h x 1(0, )m 1( , )m +∞ 1x m = ( )h x 1( ) ln 2h mm = + 1( )ln( 1) 1a xx + + > (0, 1)x∈ 1a < − 1 (0,1)x a = − ∈ 0 1> 1a ≥ − 1 1 0axax x ++ = > (0,1)x∈ ln( 1) 0 (0 1)1 xx xax + − > < <+ ( ) ln( 1) 1 xF x x ax = + − + 0 1x< < 2 2 [ (1 2 )]( ) (1 ) ( 1) x a x aF x ax x − −′ = + + 0 1x< < 0a = ( ) 01 xF x x −′ = <+ ( )F x (0,1) ( ) (0) 0F x F< = 2 1 2 0a a − ≤ 1 2a ≥ ( ) 0F x′ > ( )F x (0,1) ( ) (0) 0F x F> = 0 1x< < 2 1 2 0a a − > 11 2a− ≤ < 0a ≠ 0 2 1 2min{ ,1}ax a −= 0(0, )x x∈ ( ) 0F x′ < ( )F x 0(0, )x ( ) (0) 0F x F< = 0(0, )x x∈ a 1 2a ≥ ( ) ( )2 1 1 1 2n n nP p p p= − − = − ( ) ( )2 2 1 1 2 n nnP p p p = − − = −  ( )1 2 2 2 nn nP P p p p − = − − −  ( ) ( )2 2 nnf x x x= − − − *n∈N 2n ≥ ( ) ( ) 1 12 n nf x n x x− − ′ = − −  ( )0,1x∈ ( ) 1 12 1n nx x− −− > > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,1 当 时， ，即 ． 所以， ，按方案②建立的电路系统更稳定可靠． ……… 6 分 （2）在方案②电路系统可以正常工作的条件下，编号相同的两个并联元件中至多有一个损坏， 且有一个损坏的条件概率为 ，由此可知， ． ， ， ， ， ； 所以，随机变量 的分布列为 0 1 2 3 4 ． ………12 分 21. 解：（1）由 联立并化简得 ， 设 ，则 ， 设 中点 ，则 ， ( )0,1p∈ ( ) ( )1 0f p f< = ( )2 2 0nnp p− − − < 1 2P P< ( ) ( ) 1 2 2 1 1 31 1 C p p p − = − − 14, 3X B     ( ) 42 160 3 81P X  = = =   ( ) 3 1 4 1 2 321 3 3 81P X C  = = ⋅ ⋅ =   ( ) 2 2 2 4 1 2 82 3 3 27P X C    = = =       ( ) 3 3 4 1 2 83 3 3 81P X C  = = ⋅ ⋅ =   ( ) 4 1 14 3 81P X = = = X X P 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 ( ) 1 44 3 3E X = ⋅ = 2 2 2 2 1 1 x y a b x my  + =  = + 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0b m a y b my b a b+ + + − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 2 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2 2 ,b m b a by y y yb m a b m a − −+ = =+ + AB 0 0( , )M x y 2 2 1 2 0 0 02 2 2 2 2 2, 12 y y b m ay x myb m a b m a + −= = = + =+ + 2 2 2 2 2 2 2 2( , )a b mM b m a b m a − + + 2 2OM b mk a −= 设 ， ， ， ， 依题意， ，即 ， ，得 ， 又 ，解得 ，椭圆方程为 ．………6 分 （2）由（1）知 ， ， 所以 ． ………12 分 （22）解：（1）设曲线 上任意一点 ，则有 . 消去 得 . 所以，曲线 的直角坐标方程为 . 由 得 的普通方程为 . ……… 5 分 （ 2 ） 直 线 的 参 数 方 程 为 . 将 其 代 入 得 ， 设 对应的参数分别为 ，则 ， (4, )P n 3FP nk = 1 lk m = 4OP nk = OM OPk k= 2 2 4 b m n a − = 13FP l nk k m = = − 2 2 3 4 b a = 2 2 2 1a b c− = = 2 24, 3a b= = 2 2 14 3 x y+ = 1 2 1 22 2 6 9,3 4 3 4 my y y ym m − −+ = =+ + 3FP nk k= = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 24 4 3 3 y n y n y n y nk k x x my my − − − −+ = + = +− − − − 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 3( ) ( ) 6 3 ( ) 9 my y y y nm y y n m y y m y y − + − + += − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 18 18 6 63 4 3 4 3 4 9 18 93 4 3 4 m m nm nm m m m m m m − + + ++ + += − + ++ + 2 2 2 2 6 6 (3 4) 2 9 27 36 3 nm n m n m m + += =+ + 1 2 2k k k+ = 2C ( , )M x y′ ′ ′ ' 2(1 cos ) ' 2sin x y θ θ = +  = θ 2 2 4 0x y x′ ′ ′+ − = 2C 2 2 4 0x y x+ − = (cos sin ) 1ρ θ θ+ = l 1 0x y+ − = l 21 2 ( ) 2 2 x t t y t  = −  = 为参数 2 2 4 0x y x+ − = 2 + 2 3 0t t − = ,A B 1 2,t t 1 2 1 22, 3t t t t+ = − = − 1 2 3 0t t = − < 所以， . ………10 分 （23）解：（Ⅰ）因为 ，所以 ， 又因为 ， 等号成立当且仅当 ，所以 . ………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，则 ， ， . ………10 分 方法二：利用柯西不等式 , . 方法三：设 ， ，则 ， 所以 . || | | || =PA PB− 1 2 1 2|| | | || | | 2t t t t− = + = 2 2 2 1 0x x t+ − − − ≥ 2 2 2 1x x t+ − − ≥ 2 2 2 1 2 2 (2 1) 3x x x x+ − − ≤ + − − = (2 2)(2 1) 0 1 | 2 2 | | 2 1| 2 x x xx x + − ≥ ⇔ ≥ + ≥ − 3t ≤ 3m = 1 2 1 1 4( )[( ) (2 2 )]3 2 2 a c b ca c b c a c b c + = + + + ++ + + + 1 2 2 4( ) 1 2 2 4( )[1 4 ] (1 4 2 ) 33 2 2 3 2 2 b c a c b c a c a c b c a c b c + + + += + + + ≥ + + ⋅ =+ + + + 1 2 3a c b c ∴ + ≥+ + 1 2 1 1 4( )[( ) (2 2 )]3 2 2 a c b ca c b c a c b c + = + + + ++ + + + 21 1 4( 2 2 ) 33 2 2a c b ca c b c ≥ ⋅ + + ⋅ + =+ + 1 2 3a c b c ∴ + ≥+ + 0x a c= + > 0y b c= + > 2 3x y+ = 1 2 1 2 2 1 2 2 1( ) (5 ) (5 2 4) 33 3 3 x y y x a c b c x y x y ++ = + = + + ≥ + =+ +