2019-2020学年安徽省“庐巢六校联盟”高二上学期第二次段考数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省“庐巢六校联盟”高二上学期第二次段考数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省“庐巢六校联盟”高二上学期第二次段考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．关于空间直角坐标系中的一点有下列说法：‎ ‎①的中点坐标为；‎ ‎②点关于轴对称的点的坐标为；‎ ‎③点关于坐标原点对称的点的坐标为；‎ ‎④点关于平面对称的点的坐标为. ‎ 其中正确说法的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】类比平面直角坐标系中点的性质，对空间直角坐标系中点的坐标与对称性说法，判断正误即可.‎ ‎【详解】‎ 空间直角坐标系中，点，则：‎ 对于①，的中点坐标为，①正确；‎ 对于②，点关于轴对称的点的坐标为，②错误；‎ 对于③，点关于坐标原点对称的点的坐标为，③错误；‎ 对于④，点关于平面对称的点的坐标为，④正确. ‎ 综上所述：正确的说法序号是①④. ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间中点的坐标与对称性问题的应用，是基础题.‎ ‎2．下列图形中不一定是平面图形的是（ ）‎ A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．四边相等的四边形 ‎【答案】D ‎【解析】利用平面基本性质及推论求解．‎ ‎【详解】‎ 利用公理2可知：三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形，‎ 而四边相等的四边形可能是空间四边形不一定是平面图形．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查图形是否是平面图形有判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎3．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线都相交的两条直线；④两两相交的三条直线. 其中，能确定一个平面的条件有（    ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】A ‎【解析】依次判断每个选项：三个点共线时不成立；点在直线上时不成立；两直线异面时不成立；相交于一点时不成立，判断得到答案.‎ ‎【详解】‎ 在①中，空间共线的三个点能确定无数个平面，故①不成立；‎ 在②中，一条直线和直线上的一个点能确定无数个平面，故②不成立；‎ 在③中，和直线都相交的两条直线能确定一个或三个平面，故③不成立；‎ 在④中，两两相交的三条直线能确定一个或三个平面（相交于一点），故④不成立. ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意公理三及其推论的合理运用.‎ ‎4．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设正方体棱长为a,先由球的体积求球的半径r，直径2r为正方体体对角线，列等式即可求出棱长．‎ ‎【详解】‎ 正方体外接球的体积是则外接球的半径r=2，‎ 设正方体棱长为a,正方体的体对角线=2r=4，‎ 则棱长a=‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查正方体的外接球问题，掌握正方体的体对角线为球的直径是解题的关键.‎ ‎5．若集合，，则“”是“”的 （ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：根据题意，由于集合，，当m=2时，则可知，可知条件能推出结论，反之当，则说明m=2,或者m=-2，那么结论不能推出条件，故可知应该是充分不必要条件，选A.‎ ‎【考点】充分条件 点评：主要是考查了集合的交集运算，以及充分条件的判定，属于基础题。‎ ‎6．直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】时，直线分别化为：，此时两条直线不垂直. 时，利用两条直线垂直可得：，解得. 联立方程解出即可得出.‎ ‎【详解】‎ 时，直线分别化为：，此时两条直线不垂直. ‎ 时，由两条直线垂直可得：，解得. ‎ 综上可得：. ‎ 联立，解得，. ∴这两条直线的交点坐标为. ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线相互垂直、分类讨论方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎7．下列说法中，不正确的是( )‎ A．“若”与“若”是互逆的命题 B．“若非“与“若”是互否的命题 C．“若非”与“若”是互否的命题 D．“若非”与“若”是互为逆否的命题 ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 主要考查四种命题的概念及其关系。因为“若非“与“若”的否命题是若“，‎ 所以“若非“与“若”是互否的命题不正确，故选B ‎8．动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设出中点的坐标，根据中点坐标公式求出点的坐标，根据点在圆上，代入圆的方程即可求得中点的轨迹方程.‎ ‎【详解】‎ 设中点，则动点，∵在圆上，‎ ‎∴，即. ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 此题是个基础题. 考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力.‎ ‎9．已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线，化为：，‎ 令，可得直线经过定点，可得点到直线的距离的最大值为.‎ ‎【详解】‎ 直线，化为：，‎ 令，解得. ‎ 因此直线经过定点，‎ ‎∴点到直线的距离的最大值为. ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎10．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：，最短的弦长为，选C.‎ ‎【考点】直线与圆位置关系 ‎11．过点P(2,4)作圆的切线，则切线方程为( )‎ A． x－y＝1 B．2x－y＝0‎ C．x＋2y－10＝0 D．x－2y－8＝0‎ ‎【答案】C ‎【解析】判断点在圆上，根据切线和直线的垂直，求出切线的斜率，利用点斜式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为点P(2,4)在圆C上，‎ 所以切线与直线PC垂直，‎ 因为 ‎，所以切线方程为y－4＝－(x－2)，‎ 即x＋2y－10＝0，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的方程与性质以及圆的切线方程，属于基础题.求圆的切线方程时一点要注意运用切线的性质：切点与圆心连线与切线垂直.‎ ‎12．在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A，设中点为，易知与相交，故直线与平面不平行；‎ 对于选项B，由于，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；‎ 对于选项C，由于，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；‎ 对于选项D，由于，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．命题“”的否定是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ 特称命题的否定是全称命题，则命题的否定为：“”‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键. 比较基础.‎ ‎14．中，已知，则边上的中线所在的直线的一般式方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用中点坐标公式可得线段的中点. 得到边上的中线所在的直线的点斜式方程，即可化为一般式方程.‎ ‎【详解】‎ 线段的中点. ‎ 边上的中线所在的直线的方程：，‎ 化简为一般式方程：. ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了中点坐标公式、点斜式与一般式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎15．已知直线与直线关于轴对称，则直线的方程为 。‎ ‎【答案】4x+3y-5=0‎ ‎【解析】试题分析：因为直线与直线关于轴对称，所以直线与直线上的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以直线的方程为4x+3y-5=0.‎ ‎【考点】本小题主要考查两条直线的关系.‎ 点评：求解此类问题时，一般是遵循“求谁设谁”的原则.‎ ‎16．已知，，是三个平面，，是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果，，那么；‎ ‎②如果，，那么；‎ ‎③如果，，那么；‎ ‎④如果，，，那么．‎ 其中正确的命题有______________（写出所有正确命题的序号）‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】由题意可得：‎ ‎①由面面垂直的判断定理，如果，，那么；该说法正确；‎ ‎②如果，，可能；该说法错误；‎ ‎③如果，，可能；该说法错误；‎ ‎④如果，，，那么．该说法正确；‎ 综上可得：正确的命题有①④.‎ 三、解答题 ‎17．已知三角形的顶点坐标为、、，是边上的中点. ‎ ‎（1）求边所在的直线方程；‎ ‎（2）求中线的长.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）根据两点式写出直线的方法化简得到所在的直线方程；‎ ‎（2）根据中点坐标公式求出的坐标，然后利用两点间的距离公式求出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线的斜率为，‎ 直线的方程为，即. ‎ ‎（2）设的坐标为 则由中点坐标公式得，故. ‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 考查学生会根据条件写出直线的一般式方程，以及会利用中点坐标公式求线段中点坐标，会用两点间的距离公式求两点间的距离，属于基础题.‎ ‎18．已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求分别满足下列条件的a，b的值．‎ ‎(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；‎ ‎(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．‎ ‎【答案】（1）a＝2，b＝2（2）或 ‎【解析】(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0. ①‎ 又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0. ②‎ 由①②得，a＝2，b＝2.‎ ‎(2)∵l1∥l2，∴＝1－a，∴b＝，故l1和l2的方程可分别表示为 ‎(a－1)x＋y＋＝0，(a－1)x＋y＋＝0，‎ 又原点到l1与l2的距离相等，∴4＝，‎ ‎∴a＝2或a＝，∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.‎ ‎19．如图，四棱锥中，底面， ，点在线段上，且. ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】（1）由已知容易证，由直线与平面垂直的判定定理可得；‎ ‎（2）由（1）可知，从而有四边形为矩形，且可得到平面的距离，代入锥体体积公式可求.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：因为平面，平面，所以，‎ 因为，所以，‎ 又，平面PAD，​平面PAD，‎ 所以平面. ‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 在中，，，‎ 所以，‎ 又因为，所以四边形为矩形，‎ 所以，‎ 又平面，，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，运算求解的能力；考查数形结合思想，化归与转化的思想，属于中档题.‎ ‎20．如图所示，在中，已知，直角顶点，点在轴上. ‎ ‎（1）求外接圆的方程；‎ ‎（2）求过点且与外接圆相切的直线的方程.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）或 ‎【解析】（1）求出圆心为，半径为3，即可求外接圆的方程；‎ ‎（2）设所求直线方程为，即，当圆与直线相切时，有，即可求过点且与外接圆相切的直线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知点在轴的正半轴上，可设其坐标为，‎ 又，则，即，解得. ‎ 则所求圆的圆心为，半径为3，故所求圆的方程为. ‎ ‎（2）由题意知直线的斜率存在，故设所求直线方程为，即. ‎ 当圆与直线相切时，有，解得，或，‎ 故所求直线方程为或，即或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎21．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，是侧棱上的动点. ‎ ‎（1）求四棱锥的体积；‎ ‎（2）如果是的中点，求证：平面；‎ ‎（3）不论点在侧棱的任何位置，是否都有？证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）证明见解析 ‎（3）不论点在何位置，都有,证明见解析 ‎【解析】（1）根据棱锥的体积公式即可求四棱锥的体积；‎ ‎（2）根据线面平行的判断定理即可证明平面；‎ ‎（3）根据线面垂直的性质定理即可证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵平面，正方形的边长为1，，‎ ‎∴，即四棱锥的体积为；‎ ‎（2）如图所示，连结交于，连结. ‎ ‎∵四边形是正方形，∴是的中点. ‎ 又∵是的中点，∴. ‎ ‎∵平面，平面，∴平面；‎ ‎（3）不论点在何位置，都有. ‎ 证明如下：∵四边形是正方形，∴. ‎ ‎∵底面，且平面，∴. ‎ 又∵，∴平面. ‎ ‎∵不论点在何位置，都有平面. ‎ ‎∴不论点在何位置，都有. ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间直线和平面平行以及线面垂直的判断和性质，考查多面体体积的求法，是中档题.‎ ‎22．已知圆过两点，，且圆心在上．‎ ‎（）求圆的方程．‎ ‎（）设是直线上的动点，，是圆的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设圆心坐标为，根据圆心在直线上以及得到关于，的方程组，解出方程组得圆心坐标，半径，故而可得圆的方程；（2）‎ 试题解析：（）设圆心坐标为，‎ ‎∴，联立方程：，，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的方程为．‎ ‎（）由题知，四边形的面积为，又，，所以，而，即，因此要求的最小值，只需求的最小值即可，即在直线上找一点，使得 的值最小，所以，所以四边形面积的最小值为.‎