数学卷·2018届北京市昌平区临川学校高二下学期3月月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届北京市昌平区临川学校高二下学期3月月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年北京市昌平区临川学校高二（下）3月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共60分．）‎ ‎1．已知x与y之间的关系如下表：‎ X ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ y ‎4‎ ‎8‎ ‎15‎ 则y与x的线性回归方程为y=bx+a必经过点（　　）‎ A．（3，7） B．（3，9） C．（3.5，8） D．（4，9）‎ ‎2．与命题：“若a∈P，则b∉P”等价的命题是（　　）‎ A．若a∉P，则b∉P B．若b∉P，则a∈P C．若a∉P，则b∈P D．若b∈P，则a∉P ‎3．对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i=1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（ui，vi）（i=1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（　　）‎ A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 ‎4．命题甲：“a，b，c成等差数列”是命题乙：“”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（　　）‎ A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）‎ ‎6．以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．函数单调递增区间是（　　）‎ A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C． D．（1，+∞）‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（　　）‎ A．105 B．16 C．15 D．1‎ ‎9．直线y=x+a与曲线y=lnx相切时a=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2‎ ‎10．函数f（x）=﹣x3+x2在区间[0，4]上的最大值是（　　）‎ A．0 B．﹣ C． D．‎ ‎11．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎12．曲线y=x3﹣2在点（﹣1，﹣）处的切线的倾斜角为　　．‎ ‎13．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为　　．‎ ‎14．函数f（x）=x+2cos x在区间[﹣，0]上的最小值是　　．‎ ‎15．已知：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；‎ ‎②命题“所有模相等的向量相等”的否定；‎ ‎③命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；‎ ‎④命题“若A∩B=A，则A⊇B的逆否命题．‎ 其中能构成真命题的是　　（填上你认为正确的命题的序号）．‎ ‎　‎ 三.解答题（6大题，共70分）‎ ‎16．求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．‎ ‎17．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．‎ ‎（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；‎ ‎（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．‎ 喜欢户外活动 不喜欢户外活动 合计 ‎18．户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，对本单位的50名员工进行了问卷调查，得到了如下联表：已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是 男性 ‎　　‎ ‎5‎ ‎　　‎ 女性 ‎10‎ ‎　　‎ ‎　　‎ 合计 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎50‎ ‎（1）请将列联表补充完整：‎ ‎（2）是否有99%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明理由．下面临界值仅供参考：（大于2.706﹣90%，大于3.841﹣95%，大于6.635﹣99%）‎ ‎（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）‎ ‎19．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：‎ 零件的个数x（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y（小时）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；‎ ‎（2）求出y关于x的线性回归方程y=x+；‎ ‎（3）试预测加工10个零件需要多少小时？（注： =， =﹣）‎ ‎20．受市场的影响，三峡某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡，现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足y=x﹣ax2﹣lnx+ln10，且∈[1，+∞）．当x=10时，y=9.2．‎ ‎（1）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范围：‎ ‎（2）求旅游增加值y取得最大值时对应的x的值．‎ ‎21．设函数f（x）=alnx+（a≠0）．‎ ‎（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，求实数a的值；‎ ‎（2）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（3）在（1）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年北京市昌平区临川学校高二（下）3月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共60分．）‎ ‎1．已知x与y之间的关系如下表：‎ X ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ y ‎4‎ ‎8‎ ‎15‎ 则y与x的线性回归方程为y=bx+a必经过点（　　）‎ A．（3，7） B．（3，9） C．（3.5，8） D．（4，9）‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】先利用数据平均值的公式求出x，y的平均值，以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上，即样本中心点在线性回归直线上．‎ ‎【解答】解：∵ =3， ==9，‎ ‎∴线性回归方程y=bx+a所表示的直线必经过点（3，9）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．与命题：“若a∈P，则b∉P”等价的命题是（　　）‎ A．若a∉P，则b∉P B．若b∉P，则a∈P C．若a∉P，则b∈P D．若b∈P，则a∉P ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【分析】原命题和逆否命题是等价命题，所以命题“若a∈P，则b∉M”的等价的命题是它的逆否命题“若b∈P，则a∉P”．‎ ‎【解答】解：由原命题和逆否命题是等价命题，‎ 知“若a∈P则b∉P”的等价命题是“若b∈P，则a∉P”，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．对变量x，y有观测数据（xi，yi ‎）（i=1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（ui，vi）（i=1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（　　）‎ A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关 ‎【考点】两个变量的线性相关．‎ ‎【分析】通过观察散点图得出：y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，‎ u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．‎ ‎【解答】解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，‎ 由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．命题甲：“a，b，c成等差数列”是命题乙：“”的（　　）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】等差数列的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】先证明必要性，把左右两边同时乘以b，去分母后得到a+‎ c=2b，根据等差数列的性质得出a，b，c成等差数列；但反过来，当a，b，c三个数中，b=0，a与c互为相反数时，三个数成等差数列，但是不满足，进而得到命题甲是命题乙的必要不充分条件．‎ ‎【解答】解：先证必要性：‎ ‎∵，即a+c=2b，‎ ‎∴a，b，c成等差数列；‎ 又当b=0时，a，b，c可以成等差数列，‎ 但是不满足，‎ 则命题甲：“a，b，c成等差数列”是命题乙：“”的必要不充分条件．‎ 故选A ‎　‎ ‎5．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（　　）‎ A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】利用直线平行的性质，结合导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切点的坐标．‎ ‎【解答】解：因为直线y=4x﹣1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x﹣1，‎ 所以函数在p0处的切线斜率k=4，即f'（x）=4．‎ 因为函数的导数为f'（x）=3x2+1，‎ 由f'（x）=3x2+1=4，解得x=1或﹣1．‎ 当x=1时，f（1）=0，当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣4．‎ 所以p0的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】圆锥曲线的共同特征．‎ ‎【分析】先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．‎ ‎【解答】解：双曲线的顶点为（0，﹣2）和（0，2），焦点为（0，﹣4）和（0，4）．‎ ‎∴椭圆的焦点坐标是为（0，﹣2）和（0，2），顶点为（0，﹣4）和（0，4）．‎ ‎∴椭圆方程为．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．函数单调递增区间是（　　）‎ A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C． D．（1，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数y的导函数y′，因为要求单调递增区间，令y′＞0得到不等式求出x的范围即可．‎ ‎【解答】解：令 故答案为C．‎ ‎　‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（　　）‎ A．105 B．16 C．15 D．1‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1），由此能够求出结果．‎ ‎【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构，‎ 它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）‎ ‎∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．直线y=x+a与曲线y=lnx相切时a=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】设切点为P（x0，y0），由y′==1，可求得x0，从而可得y0，代入直线y=x+a可求得a的值．‎ ‎【解答】解：设切点为P（x0，y0），‎ 由y=lnx的导数为y′=，‎ 可得切线的斜率为=1得：x0=1，‎ ‎∴y0=lnx0=ln1=0，‎ ‎∴P（1，0）‎ 又P（1，0）在直线y=x+a上，‎ ‎∴1+a=0，‎ ‎∴a=﹣1‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．函数f（x）=﹣x3+x2在区间[0，4]上的最大值是（　　）‎ A．0 B．﹣ C． D．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】求出导函数，得到极值点，求出极值以及函数的端点值，然后求解最值即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=2x﹣x2，令f′（x）=0，解得x=0或2．‎ 又∵f（0）=0，f（2）=，f（4）=﹣，‎ ‎∴函数f（x）在[0，4]上的最大值为．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用a与b表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出 ‎，接着利用a，b表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意得椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，‎ 所以=．‎ 所以．‎ 所以双曲线的离心率=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎12．曲线y=x3﹣2在点（﹣1，﹣）处的切线的倾斜角为　45°　．‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】先求曲线y=x3﹣2在点（﹣1，﹣）处的导数，根据导数的几何意义时曲线的切线的斜率，就可得到切线的斜率．再根据斜率是倾斜角的正切值，可求出倾斜角．‎ ‎【解答】解：∵点（﹣1，﹣）满足曲线y=x3﹣2的方程，‎ ‎∴点（﹣1，﹣）为切点．‎ ‎∵y′=x2，‎ ‎∴当x=﹣1时，y′=1‎ ‎∴曲线y=x3﹣2在点（﹣1，﹣）处的切线的斜率为1，倾斜角为45°‎ 故答案为45°‎ ‎　‎ ‎13．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为　‎ ‎﹣=1　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意，可得e=2，c=4，再由e=解出a的值，由b2=c2﹣a2解出b2，即可得出双曲线的方程 ‎【解答】解：由题意e=2，c=4，‎ 由e=，可解得a=2，‎ 又b2=c2﹣a2，解得b2=12‎ 所以双曲线的方程为﹣=1‎ 故答案为﹣=1‎ ‎　‎ ‎14．函数f（x）=x+2cos x在区间[﹣，0]上的最小值是　﹣　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x）=1﹣2sin x，分析可得x∈[﹣，0]时，f′（x）=1﹣2sin x在[﹣，0]上恒大于0，即可得f（x）在区间[﹣，0]上为增函数，则有f（x）min=f（﹣），代入计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，函数f（x）=x+2cos x，‎ 则其导数f′（x）=1﹣2sin x，‎ 当x∈[﹣，0]时，﹣1＜sin x＜0，则f′（x）=1﹣2sin x＞0，‎ 即f′（x）=1﹣2sin x在[﹣，0]上恒大于0，‎ ‎∴f（x）在区间[﹣，0]上为增函数，‎ ‎∴f（x）min=f（﹣）=﹣．‎ 答案：﹣‎ ‎　‎ ‎15．已知：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；‎ ‎②命题“所有模相等的向量相等”的否定；‎ ‎③命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；‎ ‎④命题“若A∩B=A，则A⊇B的逆否命题．‎ 其中能构成真命题的是　①②③　（填上你认为正确的命题的序号）．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】利用逆命题的真假判断①的正误；命题的否定形式判断②的正误；逆否命题判断③的正误；逆否命题的真假判断④的正误．‎ ‎【解答】解：①逆命题：若x，y互为倒数，则xy=1．是真命题．‎ ‎②“所有模相等的向量相等”的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题．‎ 如， =（1，1），=（﹣1，1）有||=||=，但．‎ ‎③命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0”是真命题．这是因为当m＜0时△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m＞0恒成立．故方程有根．所以其逆否命题也是真命题．‎ ‎④若A∩B=A，则A⊆B，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题．‎ 故答案为：①②③．‎ ‎　‎ 三.解答题（6大题，共70分）‎ ‎16．求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】根据椭圆方程求得焦点坐标，进而得到双曲线的焦点，设双曲线方程，根据离心率和焦点求得a和b，方程可得．‎ ‎【解答】解：椭圆的焦点为（±，0）‎ 设双曲线方程为=1‎ 则a2+b2=5‎ ‎=，‎ 联立解得a=2，b=1‎ 故双曲线方程为 ‎　‎ ‎17．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．‎ ‎（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；‎ ‎（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．‎ ‎【考点】相互独立事件的概率乘法公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是：‎ ‎{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，‎ ‎{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}；‎ ‎（Ⅱ）不正确．理由如下：‎ 由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：‎ ‎{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，‎ ‎∴中奖的概率为．‎ 不中奖的概率为：1﹣．‎ 故这种说法不正确．‎ ‎　‎ 喜欢户外活动 不喜欢户外活动 合计 ‎18．户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，对本单位的50名员工进行了问卷调查，得到了如下联表：已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是 男性 ‎　20　‎ ‎5‎ ‎　25　‎ 女性 ‎10‎ ‎　15　‎ ‎　25　‎ 合计 ‎　30　‎ ‎　20　‎ ‎50‎ ‎（1）请将列联表补充完整：‎ ‎（2）是否有99%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明理由．下面临界值仅供参考：（大于2.706﹣90%，大于3.841﹣95%，大于6.635﹣99%）‎ ‎（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人的概率是，可得喜欢户外活动的男女员工共30人，其中男员工20人，从而可得列联表；‎ ‎（2）计算K2，与临界值比较，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是，‎ ‎∴喜欢户外活动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：‎ 喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计 男性 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女性 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎…‎ ‎（2）K2=≈8.333＞7.879，…‎ ‎∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关．…‎ ‎　‎ ‎19．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：‎ 零件的个数x（个）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y（小时）‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；‎ ‎（2）求出y关于x的线性回归方程y=x+；‎ ‎（3）试预测加工10个零件需要多少小时？（注： =， =﹣）‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）利用描点法作图；‎ ‎（2）利用公式计算，及系数a，b，可得回归方程；‎ ‎（3）把x=10代入回归方程可得y值，即为预测加工10个零件需要的时间．‎ ‎【解答】解：（1）散点图如图．‎ ‎（2）由表中数据得： =3.5， =3.5， xiyi=52.5， xi2=5，‎ ‎∴b==0.7，‎ ‎∴a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，‎ ‎∴Y=0.7x+1.05．‎ ‎（3）将x=10代入回归直线方程，得Y=0.7×10+1.05=8.05，‎ ‎∴预测加工10个零件需要8.05小时．‎ ‎　‎ ‎20．受市场的影响，三峡某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡，现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足y=x﹣ax2﹣lnx+ln10，且∈[1，+∞）．当x=10时，y=9.2．‎ ‎（1）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范围：‎ ‎（2）求旅游增加值y取得最大值时对应的x的值．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】（1）由已知条件推导出f（x）=x﹣0.01x2﹣lnx+ln10，6＜x≤12，由此能求出结果．‎ ‎（2）f′（x）=﹣，当x∈（6，12]时，f′（x）＞0恒成立，由此能求出投入12万元进行改造升级，取得最大的增加值．‎ ‎【解答】解：（1）因为y=x﹣ax2﹣lnx+ln10，‎ 当x=10时，y=9.2，解得a=0.01．‎ 所以f（x）=x﹣0.01x2﹣lnx+ln10．‎ 因为∈[1，+∞），所以6＜x≤12，‎ 即投入x的取值范围是（6，12]．…‎ ‎（2）对f（x）求导，得f′（x）=﹣．‎ 当x∈（6，12]时，f′（x）＞0恒成立，‎ 因此f（x）在区间（6，12]上是增函数．‎ 从而当x=12时，f（x）取得最大值，‎ 即投入12万元进行改造升级，取得最大的增加值．…‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=alnx+（a≠0）．‎ ‎（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，求实数a的值；‎ ‎（2）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（3）在（1）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）由，知f（x）的定义域为{x|x＞0}，，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，知f′（1）=a﹣2a2=2﹣3a，由此能求出a．‎ ‎（2）由=，利用a的取值范围进行分类讨论，能够得到函数f（x）的单调性．‎ ‎（3）由（1）知，f（x）=lnx+，设g（x）=f（x）﹣（3﹣x），则g（x）=lnx++x﹣3， ==，x＞‎ ‎0．列表讨论，能够证明对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．‎ ‎【解答】解：（1）∵，‎ ‎∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，‎ ‎，‎ ‎∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，‎ ‎∴f′（1）=a﹣2a2=2﹣3a，‎ 解得a=1．‎ ‎（2）=，‎ ‎①当a＜0时，∵x＞0，∴x﹣2a＞0，a（x﹣2a）＜0，‎ ‎∴f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ ‎②当a＞0时，若0＜x＜2a，则a（x﹣2a）＜0，f′（x）＜0，‎ 函数f（x）在（0，2a）上单调递减；‎ 若x＞2a，则a（x﹣2a）＞0，f′（x）＞0，函数在（2a，+∞）上单调递增．‎ 综上所述，当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ 当a＞0时，函数f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．‎ ‎（3）由（1）知，f（x）=lnx+，‎ 设g（x）=f（x）﹣（3﹣x），则g（x）=lnx++x﹣3，‎ ‎∴==，x＞0‎ 当x变化时，g′（x），g（x）的变化如下表：‎ ‎ x ‎ （0，1）‎ ‎ 1‎ ‎（1，+∞） ‎ ‎ g′（x）‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ g（x）‎ ‎↓‎ ‎ 极小值 ‎↑‎ ‎∴x=1是g（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，‎ 从而也是g（x）的最小值点，‎ ‎∴g（x）≥g（1）=ln1+2+1﹣3=0，‎ ‎∴g（x）=f（x）﹣（3﹣x）≥0，‎ ‎∴对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．‎