高一数学同步辅导教材(第12讲)

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高一数学同步辅导教材（第 12 讲） 一、本讲教学进度 2.7 对数 2.8 对数函数 二、本讲教学内容 1．对数及对数运算性质 2．对数函数 3．对数换底公式 三、重点、难点选讲 1．对数及对数运算性质 （1）对数概念 由 对 数 的 定 义 ， NbNa a b log . 但 是 应 注 意 其 中 的 字 母 必 须 满 足 条 件 ： .0,1,0  Naa （2）对数恒等式 由对数定义，当 1,0  aa 时，若 Nab  ，则 Nb alog ，因此有 Na Na log .等式 aa Na log 叫做对数恒等式. （3）对数的运算性质 ;loglog)(log NMMN aaa  NMN M aaa logloglog  ； MnM a n a loglog  . 必须注意上述运算性质的条件是 0a ，且 .0,0,1  NMa 应避免发生下列错误： ;loglog)(log NMMN aaa  N M N M a a a log loglog  ； NMNM aaa loglog)(log  ； MnM a n a log)(log  . (3)如果把运算分等级，“加”、“减”为一级运算，“乘”、“除”为二级运算，“乘方”、“开方”为三 级运算，则通过取对数，可以把运算降低一个等级，即把二级运算转化为一级运算，把三级运算转化为 二级运算. 例 1 计算下列各式的值： （1） 128log8 ； （2） 81log 27 （3） 81log 33 ； （4） )32(log )32(  解 （1）设 ,128log8 x 则 1288 x . 7373 22,2)2(  xx ， ,3 7,73  xx 即 ,3 7128log8  （2）设 ,81log 27 x 则 8127 x . .32,3)3( 4343  xx 3 4,43  xx ， 即 .3 481log 27  （3）设 x81log 33 ，则 ,81)3(3 x 4343 1 33,3)3(  x x 12,43  xx , 即 .1281log 33  （4）设 x )32(log )32( ，则 32)32(  x .     1 3232, 32 1)32(     xx . ,1x 即 1)32(log )32(  . 例 2 求下列各式中 x 的值： （1）   1)123(log 2 12 2  xxx ； （2） 0)](log[loglog 345 x . 解 （1）由已知，得 123)12( 212  xxx . 2,0,022  xxxx 或 . 当 012,0 2  xx ； 当 712,2 2  xx . 2x . （2）∵1 的对数等于 0， ∴ 1)(loglog 34 x . ∵底的对数等于 1， ∴ 4log3 x . ∴ ,34 x 81x . 例 3 计算：（1） ;3272log3272log 22  （2） 2lg72.0lg2 2lg23lg   ； （3） 5lg9lg4lg  . （ 4771.03lg,3010.02lg  ） 解 （1）原式= )]3272)(3272[(log 2  = 42log42log4log)32()72(log 2 4 22 22 2  . （2）原式= 2 1 12lg 12lg 144lg 12lg )272.0100lg( )43lg( 2lg72.0lg100lg 4lg3lg 2    . （3） )2lg1(3lg22lg22 10lg3lg2lg5lg9lg4lg 22  = .8572.014711.023010.0313lg22lg3  例 4 已知 632 1243  yx ，求 yx 23  的值. 解 对 取以 12 为底的对数， 得 64log33log2 1212  yx ,3log3 12 x .4log2 12y .1)43(log4log3log23 121212  yx 例 5 已知关于 x 的函数 axaxxf lg84lg)( 2  有最大值 4，求实数 a 及 )(xf 取得大值时 x 的值. 解 aaaxaxf lg8lg 4)log 2(lg)( 2  有 最 大 值 4 ， 0lg  a 且 ,4lg8lg 4  aa 01lglg2 2  aa .2 1lg,1lg  aa 或 2 1lg,0lg  aa ， 10 1010 2 1   a . 当 )(xf 取最大值时， .4lg 2  ax 例 6 已知 x 、 y 、 z     ,11,0  ，且 .0lglglg  zyx y 0 x=a 1 y=log x y=lgx x 图12-1 y=log x 2 2 1 求 yxxzzy zyx lg 1 lg 1 lg 1 lg 1 lg 1 lg 1   的值. 解 设 yxxzzy zyxu lg 1 lg 1 lg 1 lg 1 lg 1 lg 1   则 zyxyxzxzyu lg)lg 1 lg 1(lg)lg 1 lg 1(lg)lg 1 lg 1(lg  z yx y xz x zy lg lglg lg lglg lg lglg  .3lg lg lg lg lg lg  z z y y x x .1000 110 3lg 1 lg 1 lg 1 lg 1 lg 1 lg 1   yxxzzy zyxu 评析 由于直接计算 u 值有困难，且难以运用已知条件，所以采用取对数的方法，先求出 ulg 的 值再计算 u 的值，当指数部分的式子比较复杂时，常用这种方法进行化简或计算. 2．对数函数 对数函数 )1,0(log  aaxy a 且 是指数函数 xay  的反函数. 由指数函数的性质，对数函数 xy alog 的定义域是 ),0(  ，值域是 ),(  .对数函数的图像 可以由指数函数的图像及互为反函数的函数图像的关系得到.对数函数的性质，可以通过三条曲线： xy 2log ， xy lg ， xy 2 1log 的图像来记忆. 由图 12—1 可见，函数 和 xy a 1log 的图像关于 x 轴 对称，实际上， xxy a a loglog 1  .当 1a 时，对数函数的底数越 大，它的图像在第一象限部分越“靠近 轴，”在第四象限部分越“靠 近 y 轴”.因此当 10  a 时，对数函数的底数越小，它的图像在第四 象限部分越“靠近 x 轴”，在第一条象限部分越“靠近 y 轴”. 例7、 求函数 )45(log)( 2 2 1 xxxf  的单调区间. 分析 函数的单调区间是函数定义区间的子区间，因此首先必须求出函数的定义区间. 解 由对数函数的定义域， ,045 2  xx 即 .0542  xx ,0)5)(1(  xx .51  x y=f(x)的定义域是{x|-11, 若 ,10 21  xx 则 ,0loglog 21  xx aa ∵ ,0loglog,0loglog 2121  xxxx aaaa .0)()( 21  xfxf 若 ,1 21 xx  则 .loglog0 21 xx aa  ∵ （2）当 ,10  a 若 ,10 21  xx 则 ,0loglog 21  xx aa ∵ ,0loglog,0loglog 2121  xxxx aaaa .0)()( 21  xfxf 若 ,1 21 xx  则 ,0loglog 12  xx aa ∵ 由上可知，当 a>1 时，f(x)在区间(0,1)及( ,1 )上分别都是增函数. 当 00,且 1a )，求证： xaaz log1 1  . 13、已知 0)](log[loglog)](log[loglog)](log[loglog 5 5 153 3 132 2 12  zyx ，比较实数 x,y,z 之间 的大小关系. 14 、已知 ,03log5log2 2 1 2 2 1  xx 求函数 )4(log)8(log)( 2 12 x xxf  的值域. 答 案 与 提 示 [答案] 一、1、B 2、C 3、D 4、A 5、C 6、C 二、7、0.06 8、x=y=z=0,或 zyx 2 1 36 1  9、2 10、{ 3 93 1 3 1|  xx } 三、11、a=-1,b=-1 12、z

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