高考数学精英备考专题讲座 概率与统计

高考数学精英备考专题讲座 概率与统计

概率与统计 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（重庆卷）从 5 张 100 元，3 张 200 元，2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张， 则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为（ ） A． 4 1 B．120 79 C． 4 3 D． 24 23 解：可从对立面考虑，即三张价格均不相同， 111 5 3 2 3 10 31.4 CCCP C    选 C 2．（辽宁卷）一个坛子里有编号为 1，2，…，12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到 6 号球 是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码 是偶数的概率是（ ） A． 1 22 B． 1 11 C． 3 22 D． 2 11 解： 从中任取两个球共有 662 12 C 种取法，其中取到的都是红球，且至少有 1 个球 的号码是偶数的取法有 122 3 2 6 CC 种取法，概率为 11 2 66 12  ，选 D. 3．(广东卷) 甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有 4 个红球、 2 个白球，乙袋装有 1 个红球、5 个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球是红球的概率为 ______(答案用分数表示) 解：P= 6 4  6 1 = 9 1 4．(上海卷) 在五个数字1 2 3 4 5，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的 概率是 （结果用数值表示）． 解： 21 23 3 5 3 10 CC C  = 3.0 5. 某篮球运动员在三分线投球的命中率是 1 2 ，他投球 10 次， 恰好投进 3 个球的概率为 ．（用数值作答） 解：由题意知所求概率 37 3 10 1 1 15 2 2 128pC          6．(全国 II) 在某项测量中，测量结果 服从正态分布 2(1 )( 0)N ， ．若 在 (01)， 内取值的概率为 0.4，则 在 (0 2)， 内取值的概率为 ． 解：在某项测量中，测量结果  服从正态分布 N（1，2）（ >0），正态分布图象 的对称轴为 x=1， 在（0，1）内取值的概率为 0.4，可知，随机变量 ξ 在 (1，2)内取值的概率于  在(0，1)内取值的概率相同，也为 0.4，这样随机 变量 ξ 在(0，2)内取值的概率为 0.8。 ★★★高考要考什么 1.（1）直接利用四种基本事件的概率基本原理，求事件发生的概率 （2）把方程思想融入概率问题，解决实际问题 （3）把概率问题与数列结合起来，运用数列方法解决概率问题 2．离散型随机变量的分布列。 (1)分布列：设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1, x2, …, xi, …， ξ 取每一个值 xi（i=1，2，……）的概率 P（ξ =xi）＝Pi， 则称下表为随机变量ξ 的概率分布，简称为ξ 的分布列． (2)分布列的性质：由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： <1> Pi≥0，i＝1，2，……；<2> P1＋P2＋……=1． (3)二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 是 ()k k n k nP k C p q  ，其中 k=0，1，…，n．q=1－p，于是得到随机变量ξ 的概率分布如下： 我们称这样的随机变量ξ 服从二项分布，记作ξ ~B（n，p）其中 n，p 为参数，记 k k n k nC p q  =b(k；n，p). （4）离散型随机变量ξ 的期望：Eξ =x1p1+x2p2+……+xipi+… （5）离散型随机变量ξ 的方差： 2 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )iiD x E p x E p x E p           2 (6) , ( , 0) , a b a b a E aE b D a D              若 为随机变量 则 为常数， 也为随机 变量，且 。 (7) B(n,p), E =np,D =np(1-p).  若 则 3. 若 标 准 正 态 分 布 2( , )N  总 体 取 值 小 于 0x 的 概 率 用 0()x 表 示 ， 即 ： 00( ) ( )x P x x  x-x F(x)= ( ).    2对于一般正态总体N( , )来说，取值小于 的概率 ★★★ 突 破 重 难 点 【范例 1】某批产品成箱包装，每箱 5 件．一用户在购进该批产品前先取出 3 箱，再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检 验．设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品，其余为一等品． （Ⅰ）用 ξ 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数，求 ξ 的分布列及 ξ 的数学期望； （Ⅱ）若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率． 解(1) 0,1,2,3  22 34 22 55 18 9P( 0)= 100 50 CC CC     , 2 1 112 3 3 244 2 2 2 2 5 5 5 5 C 24P( 1 )= C 50 C C CC C C C      , 111 2 2 324 4 2 2 2 2 2 5 5 5 5 15( 2) 50 CCC C CP C C C C       , 12 42 22 55 2( 3) 50 CCP CC     所以 的分布列为  0 1 2 3 P 9 50 24 50 15 50 2 50  的数学期望 E( )= 9 24 15 20 1 2 3 1.250 50 50 50        (2) P( 2  )= 15 2 17( 2) ( 3) 50 50 50PP      分析提示：本题以古典概率为背景，其关键是利用排列组合的方法求出 m，n，主要考察分布列的求法以及利用分布列 求期望和概率。 变式：袋中装着标有数学 1，2，3，4，5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分， 每个小球被取出的可能性都相等，用 表示取出的 3 个小球上的最大数字，求：（1）取出的 3 个小球上的数字互不相 同的概率； (2)随机变量 的概率分布和数学期望； (3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率． 解：（I）解法一：“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A ， 则 3 1 1 1 5 2 2 2 3 10 2() 3 C C C CPA C  解法二：“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A”，“一次取出的 3 个小球上有两个数字相同”的事件记为 B ，则事件 和事件 是互斥事件，因为 1 2 1 5 2 8 3 10 1() 3 C C CPB C  ，所以 12( ) 1 ( ) 1 33P A P B     ． （II）由题意 有可能的取值为：2，3，4，5． 2 1 1 2 2 2 2 2 3 10 1( 2) ;30 C C C CP C      2 1 1 2 4 2 4 2 3 10 2( 3) ;15 C C C CP C      2 1 1 2 6 2 6 2 3 10 3( 4) ;10 C C C CP C      2 1 1 2 8 2 8 2 3 10 8( 5) ;15 C C C CP C      所以随机变量 的概率分布为 2 3 4 5 P 1 30 2 15 3 10 8 15 因此 的数学期望为 1 2 3 8 132 3 4 530 15 10 15 3E          （Ⅲ）“一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为C ，则 2 3 13( ) (" 3" " 4") (" 3") (" 4") 15 10 30P C P P P            或 【范例 2】甲、乙、丙 3 人投篮,投进的概率分别是1 3, 2 5 , 1 2 ． (Ⅰ)现 3 人各投篮 1 次,求 3 人都没有投进的概率; (Ⅱ)用 ξ 表示乙投篮 3 次的进球数,求随机变量 ξ 的概率分布及数学期望 Eξ． 解: (Ⅰ)记"甲投篮 1 次投进"为事件 A1 ， "乙投篮 1 次投进"为事件 A2 ， "丙投篮 1 次投进"为事件 A3，"3 人都没有投 进"为事件 A ．则 P(A1)= 1 3，P(A2)= 2 5，P(A3)= 1 2， ∴ P(A) = P( 1A ． 2A ． 3A )=P( 1A )·P( 2A )·P( 3A ) = [1－P(A1)] ·[1－P (A2)] ·[1－P (A3)]=(1－1 3)(1－2 5)(1－1 2)=1 5 ∴3 人都没有投进的概率为1 5 ． (Ⅱ)解法一: 随机变量 ξ 的可能值有 0，1，2，3， ξ~ B(3， 2 5)， P(ξ=k)=C3k(2 5)k(3 5)3－k (k=0，1，2，3) ， Eξ=np = 3×2 5 = 6 5 ． 解法二: ξ 的概率分布为: ξ 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 Eξ=0× 27 125 +1× 54 125 +2× 36 125 +3× 8 125 = 6 5 ． 分析提示：已知概率求概率，主要运用加法公式（互斥）和乘法公式（独立）以及 n 次独立重复试验（二项分布），注 意条件和适用的范围，另外利用二项分布期望和方差结论使问题简洁明了。 变式：假设每一架飞机引擎飞机中故障率为 P，且个引擎是否发生故障是独立的，如果有至少 50%的引擎能正常运行， 问对于多大的 P 而言，4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全？ 解 飞机成功飞行的概率： 4 引擎飞机为： 2322 44 4 33 4 222 4 )1(4)1(6 )1()1( PPPPP PCPPCPPC   2 引擎飞机为： 222 2 1 2 )1(2)1( PPPPCPPC  要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全，只要 02783)1(2)1(4)1(6 2324322  pPPPPPPPPPP 所以 3 2,023  PP 【范例 3】某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司 缴纳每辆 900 元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获 9000 元 的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率 分别为 1 1 1, , ,9 10 11 且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中： （1）获赔的概率；(4 分) （2）获赔金额 的分布列与期望。(9 分) 解：设 kA 表示第 k 辆车在一年内发生此种事故， 1 2 3k  ，，．由题意知 1A ， 2A ， 3A 独立， 且 1 1()9PA  ， 2 1()10PA  ， 3 1()11PA  ． （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为 1 2 3 1 2 3 8 9 10 31 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 9 10 11 11P A A A P A P A P A        ． （Ⅱ） 的所有可能值为0 ，9000，18000， 27000 ． 1 2 3 1 2 3 8 9 10 8( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 10 11 11P P A A A P A P A P A        ， 1 2 3 1 2 3 1 2 3( 9000) ( ) ( ) ( )P P A A A P A A A P A A A     1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A P A P A P A P A P A   1 9 10 8 1 10 8 9 1 9 10 11 9 10 11 9 10 11         242 11 990 45 ， 1 2 3 1 2 3 1 2 3( 18000) ( ) ( ) ( )P P A A A P A A A P A A A     1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A P A P A P A P A P A   1 1 10 1 9 1 8 1 1 9 10 11 9 10 11 9 10 11         27 3 990 110 ， 1 2 3 1 2 3( 27000) ( ) ( ) ( ) ( )P P A A A P A P A P A    1 1 1 1 9 10 11 990    ． 综上知， 的分布列为  0 9000 18000 27000 P 8 11 11 45 3 110 1 990 求 的期望有两种解法： 解法一：由 的分布列得 8 11 3 10 9000 18000 2700011 45 110 990E         29900 2718.1811 ≈ （元）． 解法二：设 k 表示第 k 辆车一年内的获赔金额， 1 2 3k  ，，， 则 1 有分布列 1 0 9000 P 8 9 1 9 故 1 19000 10009E    ． 同理得 2 19000 90010E    ， 3 19000 818.1811E    ． 综上有 1 2 3 1000 900 818.18 2718.18E E E E          （元）． 变式：猎人在距离 100 米处射击一野兔，其命中率为 0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离 150 米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为 200 米. 已知猎人的命中概率与距离的平 方成反比，求猎人命中野兔的概率. 解 记三次射击依次为事件 A，B，C，其中 2 1)( AP ,由 2100)(2 1 kAP  ，求得 k=5000。 8 1 200 5000P(C),9 2 150 5000P(B) 22  ,命中野兔的概率为 .144 95 8 1)9 21)(2 11(9 2)2 11(2 1 )()()()()()()()AP(P(A)   CPBPAPBPAPAPCBAPB 配套练习 1． 设随机变量 服从标准正态分布 (01)N ， ，已知 ( 1.96) 0.025  ， 则 (| | 1.96)P   =（ ） A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 解： 服从标准正态分布 ， (| | 1.96) ( 1.96 1.96)PP       (1.96) ( 1.96) 1 2 ( 1.96) 1 2 0.025 0.950.           选 C 2． 以 )(x 表示标准正态总体在区间（ x, ）内取值的概率，若随机变量 服从正态分布 ),( 2N ，则概率 )(  P 等于 （A） )(   - )(   （B） )1()1(  （C） )1(    （D） )(2   解： ()P    = ( ) ( )PP      = ()     － ()     = ，选 B。 3．连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ，记向量 ()mn，a= 与向量 (1 1)，b 的夹角为 ，则 0   ， 的概率是（ ） A． 5 12 B． 1 2 C． 7 12 D． 5 6 解： 由向量夹角的定义，图形直观可得，当点  ,A m n 位于直线 yx 上及其下方时， 满足 ，点 的总个数为66 个，而位于直线 上及其下方 的点 有 1 1 1 1 2 3 4 56 1 21C C C C      个，故所求概率 21 7 36 12 ，选 C 4．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ） Ａ． 1 9 Ｂ． 1 12 Ｃ． 1 15 Ｄ． 1 18 解： 一骰子连续抛掷三次得到的数列共有 36 个，其中为等差数列有三类： （1）公差为 0 的有 6 个；（2）公差为 1 或-1 的有 8 个；（3）公差为 2 或-2 的 有 4 个，共有 18 个，成等差数列的概率为 12 1 6 18 3  ，选 B 5. 15 名新生，其中有 3 名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班 5 人，则每班都分到优秀生的概率是 5 10 5 15 4 8 4 12 3 3 CC CCA ． 6. 如图，已知电路中 3 个开关闭合的概率都是 0.5， 且是相互独立的，则灯亮的概率为 0.625 7.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为  1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元． 表示经销一件该商品的利润． （Ⅰ）求事件 A ：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 ()PA； （Ⅱ）求 的分布列及期望 E ． 解：（Ⅰ）由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”． 知 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款” 3( ) (1 0.4) 0.216PA   ， ( ) 1 ( ) 1 0.216 0.784P A P A     ． （Ⅱ） 的可能取值为 200 元， 250 元，300元． ( 200) ( 1) 0.4PP    ， ( 250) ( 2) ( 3) 0.2 0.2 0.4P P P          ， ( 300) 1 ( 200) ( 250) 1 0.4 0.4 0.2P P P            ．  的分布列为  200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 200 0.4 250 0.4 300 0.2E       240 （元）． 8. 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量 q 的函数关系式为 3 23 20 10( 0)3 qC q q q     该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品 价格 p 与产量 q 的函数关系式如下表所示： 市场情形 概率 价格 p 与产量 q 的函数关系式 好 0.4 164 3pq 中 0.4 101 3pq 差 0.2 70 3pq 设 1 2 3L L L， ， 分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量 q ，表示当产量为 q 而市场前景无法确定的利润． （I）分别求利润 与产量 q 的函数关系式； （II）当产量 q 确定时，求期望 qE ； （III）试问产量 q 取何值时， qE 取得最大值． (Ⅰ)解:由题意可得 L1= 2 2(164 3 ) ( 3 20 10)3 qq q q q      101443 3  qq (q＞0). 同理可得 10813 3 2  qqL (q＞0) 10503 3 3  qqL (q＞0) (Ⅱ) 解:由期望定义可知 1 2 30.4 0.4 0.2qE L L L    )10503(2.0)10813(4.0)101443(4.0 333  qqqqqq .101003 3  qq (Ⅲ) 解:由(Ⅱ)可知 qE 是产量 q 的函数,设 3 ( ) 100 10( 0),3q qf q E q q      得  )(.100)( 2 qfqqf 令 0 解得 10,10  qq (舍去). 由题意及问题的实际意义(或当 0＜q＜10 时, ()fq ＞0;当 q＞10 时, ( ) 0)fq  可知,当 q=10 时, f(q)取得最大值,即 qE 最大时的产量 q 为 10.