数学卷·2018届江西省抚州市临川一中高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届江西省抚州市临川一中高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年江西省抚州市临川一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．下调查方式中，不合适的是（　　）‎ A．浙江卫视“奔跑吧兄弟”综艺节目的收视率，采用抽查的方式 B．了解某渔场中青鱼的平均重量，采用抽查的方式 C．了解iphone6s手机的使用寿命，采用普查的方式 D．了解一批汽车的刹车性能，采用普查的方式 ‎2．若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|﹣2＜x＜a}，则“A∩B≠∅”的充要条件是（　　）‎ A．a＞3 B．a＞﹣1 C．a≥﹣1 D．a≥3‎ ‎3．椭圆5x2﹣ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．‎ ‎4．若曲线f（x）=ax2+x+lnx在点（1，f（1））处的切线与y=x﹣1平行，则a=（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎5．“a≠1或b≠3”是“a•b≠3”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎6．下列说法正确的是（　　）‎ A．a∈R，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件 B．“p∨q为真命题”的必要不充分条件是“p∧q为真命题”‎ C．命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”‎ D．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题 ‎7．已知函数f（x）=x﹣2sinx，则的大小关系为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．如图是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是（　　）‎ A．在区间（﹣2，1）上f（x）是增函数 B．当x=4时，f（x）取极大值 C．在（1，3）上f（x）是减函数 D．在（4，5）上f（x）是增函数 ‎9．点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为3，则a的值为（　　）‎ A． B．8 C． D．或﹣16‎ ‎10．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=a与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，O为坐标原．若△OAF的面积为a2，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（　　）‎ A．10 B．13 C．16 D．19‎ ‎12．设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为　　．‎ ‎14．设p：|4x﹣3|≤1；q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎15．已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是　　．‎ ‎16．已知点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且|F1F2|=，I为△PF1F2的内心，若λS=λS+S成立，则λ的值为　　．‎ ‎　‎ 三.解答题：本大题共6小题、共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知函数f（x）=﹣（x﹣2m）（x+m+3）（其中m＜﹣1），g（x）=2x﹣2．‎ ‎（1）若命题“log2g（x）＜1”是真命题，求x的取值范围；‎ ‎（2）设命题p：∀x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0；，若P是真命题，求m的取值范围．‎ ‎18．已知动点P到点A（﹣2，0）与点B（2，0）的斜率之积为﹣，点P的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D．求线段MN长度的最小值．‎ ‎19．已知函数f（x）=（x﹣k）ex（k∈R）．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；‎ ‎（3）设g（x）=f（x）+f′（x），若对及∀x∈[0，1]有g（x）≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎20．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元．设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x万元，且每万件国家给予补助万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数．）‎ ‎（Ⅰ）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）当月生产量在万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）．‎ ‎21．如图，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线l1：x=﹣和右准线l2：x=分别与x轴相交于A、B两点，且F1、F2恰好为线段AB的三等分点．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）过点D（﹣，0）作直线l与椭圆相交于P、Q两点，且满足=2，当△OPQ的面积最大时（O为坐标原点），求椭圆C的标准方程．‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）当a=1时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值和最大值；‎ ‎（2）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（3）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省抚州市临川一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．下调查方式中，不合适的是（　　）‎ A．浙江卫视“奔跑吧兄弟”综艺节目的收视率，采用抽查的方式 B．了解某渔场中青鱼的平均重量，采用抽查的方式 C．了解iphone6s手机的使用寿命，采用普查的方式 D．了解一批汽车的刹车性能，采用普查的方式 ‎【考点】收集数据的方法．‎ ‎【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．‎ ‎【解答】解：浙江卫视“奔跑吧兄弟”综艺节目的收视率，采用抽查的方式合适，A不合题意；‎ 了解某渔场中青鱼的平均重量，采用抽查的方式合适，B不合题意；‎ 了解iPhone6s手机的使用寿命，采用普查的方式不合适，C符合题意；‎ 了解一批汽车的刹车性能，采用普查的方式合适，D不合题意，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|﹣2＜x＜a}，则“A∩B≠∅”的充要条件是（　　）‎ A．a＞3 B．a＞﹣1 C．a≥﹣1 D．a≥3‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】解出关于集合A的不等式，根据A∩B≠∅”求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，‎ B={x|﹣2＜x＜a}，‎ 若“A∩B≠∅”，则a＞﹣1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．椭圆5x2﹣ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】把椭圆5x2﹣ky2=5化为标准方程x2=1，则c2=﹣﹣1=4，解得k，再进行判定即可．‎ ‎【解答】解：椭圆5x2﹣ky2=5化为标准方程x2=1，则c2=﹣﹣1=4，解得k=﹣1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．若曲线f（x）=ax2+x+lnx在点（1，f（1））处的切线与y=x﹣1平行，则a=（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求得f（x）的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：f（x）=ax2+x+lnx的导数为f′（x）=2ax++，‎ 曲线f（x）=ax2+x+lnx在点（1，f（1））处的切线斜率为k=2a++1=2a+，‎ 由切线与y=x﹣1平行，可得2a+=，‎ 解得a=1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．“a≠1或b≠3”是“a•b≠3”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据互为逆否命题的真假一致，将判断“a≠1或b≠3”是“a•b≠3”成立的什么条件转换为判断a•b=3是a=1且b=3成立的什么条件．‎ ‎【解答】解：由题意得：‎ ‎∵命题若a≠1或b≠3则a•b≠3与命题若a•b=3则a=1且b=3互为逆否命题，‎ 因为当a=，b=6有a•b=3，‎ 所以“命题若a•b=3则a=1且b=3”显然是假命题，‎ 所以命题若a≠1或b≠，3则a•b≠3是假命题，‎ 所以a≠1或b≠3推不出a•b≠3，不是充分条件；‎ ‎“若a=1且b=3则a•b=3”是真命题，‎ ‎∴命题若a•b≠3则≠1或b≠3是真命题，‎ ‎∴a•b≠3⇒a≠1或b≠3，是必要条件，‎ ‎“a≠1或b≠3”是“a•b≠3”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．下列说法正确的是（　　）‎ A．a∈R，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件 B．“p∨q为真命题”的必要不充分条件是“p∧q为真命题”‎ C．命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”‎ D．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据充要条件的定义，可判断A，B；写出原命题的否定，可判断C；判断原命题的真假，可判断D．‎ ‎【解答】解：“＜1”⇔“a＞1或a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，即A正确；‎ ‎“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；‎ 命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故C错误；‎ 命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”是真命题，则￢p是假命题，故D错误；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数f（x）=x﹣2sinx，则的大小关系为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数值的大小即可．‎ ‎【解答】解：f（x）=x﹣2sinx，f′（x）=1﹣2cosx，‎ 令f′（x）＞0，解得：2kπ﹣＜x＜2kπ﹣，‎ 令f′（x）＜0，解得：2kπ﹣＜x＜2kπ+，‎ 故f（x）在（﹣，）递减，‎ 而﹣＜﹣1＜﹣＜3log1.2＜，‎ 故f（﹣1）＞f（﹣）＞f（log31.2），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．如图是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是（　　）‎ A．在区间（﹣2，1）上f（x）是增函数 B．当x=4时，f（x）取极大值 C．在（1，3）上f（x）是减函数 D．在（4，5）上f（x）是增函数 ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】利用导函数值的符号判断函数的单调性，推出选项即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知导函数在x∈（4，5），导函数为正，f（x）是增函数．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为3，则a的值为（　　）‎ A． B．8 C． D．或﹣16‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】求出抛物线的准线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．‎ ‎【解答】解：抛物线y=ax2化为：x2=y，它的准线方程为：y=﹣，‎ 点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为3，‎ 可得|1+|=3，解得a=或﹣．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x=a与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，O为坐标原．若△OAF的面积为a2，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用△OAF的面积为a2，建立方程，即可求出双曲线C的离心率．‎ ‎【解答】解：由题意，A（a，b），‎ ‎∵△OAF的面积为a2，‎ ‎∴bc=a2，‎ ‎∴2c2﹣3bc﹣2b2=0，‎ ‎∴c=2b或c=﹣b（舍去），‎ ‎∴a==b，‎ ‎∴e==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（　　）‎ A．10 B．13 C．16 D．19‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2；‎ 圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，‎ 设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），‎ 连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得 ‎|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）‎ ‎=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）‎ ‎=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3‎ ‎=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3=2•8﹣3=13．‎ 当且仅当P为右顶点时，取得等号，‎ 即最小值13．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】构造辅助函数，由f（x）是奇函数，g（﹣x）+g（x）=0，可知g（x）是奇函数，求导判断g（x）的单调性，，即g（1﹣m）≥g（m），解得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：令，‎ ‎∵，‎ ‎∴函数g（x）为奇函数，‎ ‎∵x∈（0，+∞）时，‎ g′（x）=f′（x）﹣x2＜0，‎ 函数g（x）在x∈（0，+∞）为减函数，‎ 又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，‎ 所以函数g（x）在R上为减函数，‎ ‎，即g（1﹣m）≥g（m），‎ ‎∴1﹣m≤m，‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为　3000　．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】设全校学生的人数为n和要抽取的样本容量，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：设全校学生的人数为n，‎ 则，‎ 解得n=3000，‎ 故答案为：3000．‎ ‎　‎ ‎14．设p：|4x﹣3|≤1；q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】解绝对值不等式|4x﹣3|≤1，我们可以求出满足命题p的x的取值范围，解二次不等式（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，我们可求出满足命题q的x的取值范围，根据p是q的充分不必要条件，结合充要条件的定义，我们可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：命题p：|4x﹣3|≤1，即≤x≤1‎ 命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，即a≤x≤a+1‎ ‎∵p是q的充分不必要条件，‎ ‎∴‎ 解得0≤a≤‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是　2x+y+1=0　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．‎ ‎【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），‎ 当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有 x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，‎ 可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，‎ 则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），‎ 即为2x+y+1=0．‎ 故答案为：2x+y+1=0．‎ ‎　‎ ‎16．已知点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且|F1F2|=，I为△PF1F2的内心，若λS=λS+S成立，则λ的值为　﹣1　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），三角形PF1F2的内切圆的半径为r，运用双曲线的a，b，c的关系和离心率公式可得e=1+，运用双曲线的定义和三角形的面积公式，化简整理可得λ==，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），三角形PF1F2的内切圆的半径为r，‎ 由，即为2ac=b2=c2﹣a2，‎ 由e=，可得e2﹣2e﹣1=0，‎ 解得e=1+（1﹣舍去），‎ 由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，‎ 由，可得 r|PF1|=r|PF2|+λr|F1F2|，‎ 即为|PF1|﹣|PF2|=λ|F1F2|，‎ 即有2a=2λc，‎ 即λ===﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ 三.解答题：本大题共6小题、共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知函数f（x）=﹣（x﹣2m）（x+m+3）（其中m＜﹣1），g（x）=2x﹣2．‎ ‎（1）若命题“log2g（x）＜1”是真命题，求x的取值范围；‎ ‎（2）设命题p：∀x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0；，若P是真命题，求m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（I）由于命题“log2g（x）≥1”是假命题，由log2g（x）≥1解出，进而得出；‎ ‎（II）由于当x＞1时，g（x）＞0，要p是真命题，可得f（x）＜0在（1，+∞）恒成立，可得m的取值范围 ‎【解答】解：∵命题“log2g（x）＜1”是真命题，即，‎ ‎∴0＜2x﹣2＜2，解得1＜x＜2，∴x的取值范围是（1，2）；‎ ‎（2）∵p是真命题，‎ 当x＞1时，g（x）=2x﹣2＞0，要使p是真命题，必须f（x）＜0‎ ‎∵m＜﹣1，∴2m＜﹣m﹣3，∴f（x）＜0⇒x＜2m或x＞﹣m﹣3‎ ‎∴﹣m﹣3≤1，解得﹣1＞m≥﹣4‎ m的取值范围：﹣4≤m＜﹣1．‎ ‎　‎ ‎18．已知动点P到点A（﹣2，0）与点B（2，0）的斜率之积为﹣，点P的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D．求线段MN长度的最小值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（I）设P（x，y），由题意知利用斜率计算公式即可得到，化简即可；‎ ‎（2）思路一：满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y=k（x+2），由（Ⅰ）知，所以，设直线QB方程为（x﹣2），分别求出点M，N的坐标，再利用两点间的距离公式即可得到|MN|，利用基本不等式的性质即可得出；‎ 思路二：满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y=k（x+2），与椭圆的方程联立，可得到根与系数的关系．设Q（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），即可得到直线BQ的斜率，以下同思路一；‎ 思路三：设Q（x0，y0），则直线AQ的方程为，直线BQ的方程为，即可得到点M，N的坐标，利用两点间的距离公式即可得到|MN|，利用导数即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由题意知 ，即 化简得曲线C方程为：‎ ‎（Ⅱ）思路一 满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y=k（x+2），‎ 由（Ⅰ）知，所以，设直线QB方程为（x﹣2），‎ 当x=4时得N点坐标为，易求M点坐标为M（4，6k）‎ 所以=，‎ 当且仅当时，线段MN的长度有最小值．‎ 思路二：满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y=k（x+2），‎ 联立方程：‎ 消元得（4k2+1）x2+16k2x+16k2﹣4=0，‎ 设Q（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 由韦达定理得：，‎ 所以，代入直线方程得，‎ 所以，又B（2，0）‎ 所以直线BQ的斜率为 以下同思路一 思路三：设Q（x0，y0），则直线AQ的方程为 直线BQ的方程为 当x=4，得，即 当x=4，得，即 则 又 所以 利用导数，或变形为二次函数求其最小值．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=（x﹣k）ex（k∈R）．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；‎ ‎（3）设g（x）=f（x）+f′（x），若对及∀x∈[0，1]有g（x）≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）由f（x）=（x﹣k）ex，求导f′（x）=（x﹣k+1）ex，令f′（x）=0，求得x=k﹣1，令f′（x）＜0，解得函数的单调递减区间，f′（x）＞0，解得函数的单调递增区间，根据函数的单调性即可求得f（x）的极值；‎ ‎（2）当k﹣1≤1时，f（x）在[1，2]单调递增，f（x）的最小值为f（1），当k﹣1≥2时，f（x）在[1，2]单调递减，f（x）的最小值为f（2），当1＜k﹣1＜2时，则x=k﹣1时，f（x）取最小值，最小值为：﹣ek﹣1；‎ ‎（3）由g（x）=（2x﹣2k+1）ex，求导g′（x）=（2x﹣2k+3）ex，当g′（x）＜0，解得：x＜k﹣，求得函数的单调递减区间，当g′（x）＞0，解得：x＞k﹣，求得函数的单调递增区间，由题意可知g（x）≥λ，∀x∈[0，1]恒成立，等价于g（k﹣）=﹣2e≥‎ λ，由﹣2e≥λ，对∀k∈[，]恒成立，根据函数的单调性，即可求得实数λ的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=（x﹣k）ex（k∈R），求导f′（x）=（x﹣k）ex+ex=（x﹣k+1）ex，‎ 令f′（x）=0，解得：x=k﹣1，‎ 当x＜k﹣1时，f′（x）＜0，‎ 当x＞k﹣1时，f′（x）＞0，‎ ‎ x ‎ （﹣∞，k﹣1）‎ k﹣1‎ ‎ （k﹣1，+∞）‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ f（x）‎ ‎↓‎ ‎﹣e﹣k﹣1‎ ‎↑‎ ‎∴f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞），单调递减区间（﹣∞，k﹣1），极小值为﹣ek﹣1，无极大值；‎ ‎（2）当k﹣1≤1时，即k≤2时，f（x）在[1，2]单调递增，‎ f（x）的最小值为f（1）=（1﹣k）e；‎ 当k﹣1≥2时，即k≥3时，f（x）在[1，2]单调递减，‎ ‎∴当x=2时，f（x）的最小值为f（2）=（2﹣k）e3；‎ 当1＜k﹣1＜2时，解得：2＜k＜3时，‎ ‎∴f（x）在[1，k﹣1]单调递减，在[k﹣1，2]单调递增，‎ ‎∴当x=k﹣1时，f（x）取最小值，最小值为：﹣ek﹣1；‎ ‎（3）g（x）=f（x）+f'（x）=（x﹣k）ex+（x﹣k+1）ex=（2x﹣2k+1）ex，‎ 求导g′（x）=（2x﹣2k+1）ex+2ex=（2x﹣2k+3）ex，‎ 令g′（0）=0，2x﹣2k+3=0，x=k﹣，‎ 当x＜k﹣时，g′（x）＜0，‎ 当x＞k﹣时，g′（x）＞0，‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，k﹣）单调递减，在（k﹣，+∞）单调递增，‎ 故当x=k﹣，g（x）取最小值，最小值为：g（k﹣）=﹣2e，‎ ‎∵k∈[，]，即k﹣∈[0，1]，‎ ‎∴∀x∈[0，1]，g（x）的最小值，g（k﹣）=﹣2e，‎ ‎∴g（x）≥λ，∀x∈[0，1]恒成立，等价于g（k﹣）=﹣2e≥λ，‎ 由﹣2e≥λ，对∀k∈[，]恒成立，‎ ‎∴λ≤（﹣2e）最小值，‎ 令h（k）=﹣2e，k∈[，]，‎ 由指数函数的性质，函数h（k）在k∈[，]单调递增，‎ ‎∴当k=时，h（k）取最小值，h（）=﹣2e，‎ ‎∴λ≤﹣2e．‎ ‎∴实数λ的取值范围（﹣∞，﹣2e）．‎ ‎　‎ ‎20．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元．设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x万元，且每万件国家给予补助万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数．）‎ ‎（Ⅰ）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）当月生产量在万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，即可列出函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，可得 ‎（Ⅱ）f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2的定义域为，‎ 且 列表如下：‎ x ‎（1，e）‎ e f'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f（x）‎ 增 极大值f（e）‎ 减 由上表得：f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2在定义域上的最大值为f（e）．‎ 且f（e）=e2﹣2．即：月生产量在万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f（e）=e2﹣2，此时的月生产量值为e（万件）．‎ ‎　‎ ‎21．如图，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线l1：x=﹣和右准线l2：x=分别与x轴相交于A、B两点，且F1、F2恰好为线段AB的三等分点．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）过点D（﹣，0）作直线l与椭圆相交于P、Q两点，且满足=2，当△OPQ的面积最大时（O为坐标原点），求椭圆C的标准方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）通过焦点F2（c，0），右准线l2：，得到a，c关系，然后求解离心率．‎ ‎（2）由（1）知，求出b2=2c2，设椭圆方程为2x2+3y2=6c2．设直线l的方程为，联立方程组，利用判别式以及韦达定理，求解三角形的面积，利用基本不等式求解面积的最大值，然后求解椭圆方程．‎ ‎【解答】解：（1）焦点F2（c，0），右准线l2：，由题知|AB|=3|F1F2|，‎ 即，即a2=3c2，解得．‎ ‎（2）由（1）知，得a2=3c2，b2=2c2，可设椭圆方程为2x2+3y2=6c2．‎ 设直线l的方程为，代入椭圆的方程有，，‎ 因为直线与椭圆相交，所以△=48m2﹣4（2m2+3）（6﹣6c2）＞0，‎ 由韦达定理得，，又，所以y1=﹣2y2，‎ 得到，，，得到，‎ 所以，‎ 当且仅当时，等号成立，此时c2=5，代入△满足△＞0，‎ 所以所求椭圆方程为．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）当a=1时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值和最大值；‎ ‎（2）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（3）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）当a=1时，；对f（x）求导，利用导函数判断函数的单调性与求出函数的最值；‎ ‎（2）f（x）的定义域为（0，+∞），，对参数a分类讨论逐步判断原函数单调性即可；‎ ‎（3）假设存在实数a，设0＜x1＜x2，，即f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1，；转化为：使g′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，求a的范围．‎ ‎【解答】（1）当a=1时，．‎ 则，x∈[1，e]‎ ‎∴当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，e）时，f′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，e）上是增函数．‎ ‎∴当x=2时，f（x）取得最小值，其最小值为f（2）=﹣2ln2．‎ 又，.，∴f（e）＜f（1）‎ ‎∴．‎ ‎（2）f（x）的定义域为（0，+∞），，‎ ‎①当﹣2＜a≤0时，f（x）在（0，﹣a）上是增函数，在（﹣a，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．‎ ‎②当a=﹣2时，在（0，+∞）上是增函数．‎ ‎③当a＜﹣2时，则f（x）在（0，2）上是增函数，在（2，﹣a）上是减函数，在（﹣a，+∞）上是增函数．‎ ‎（3）假设存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有恒成立，‎ 不妨设0＜x1＜x2，若，即f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1，‎ 令 只要g（x）在（0，+∞）为增函数 要使g′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，只需﹣1﹣2a≥0，，‎ 故存在满足题意．‎ ‎　‎