2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：9-5　抛物线及其性质（讲解部分）

2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：9-5　抛物线及其性质（讲解部分）

9.5 　抛物线及其性质 高考理数 考点一    抛物线的定义及标准方程 考点清单 考向基础 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个 定点 F 和一条 定直线 l ( F ∉ l )的距离 相等 的点的轨迹叫做 抛物线,定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线. (2)定义的实质可归结为“一动三定一转化”:一个动点 P ,一个定点 F (抛物 线的焦点),一条定直线 l (抛物线的准线),一个定值1(抛物线的离心率),一个 转化(抛物线上的点与焦点的距离可转化成该点到准线的距离). (3)定义中定点与定直线的位置关系为:定点 F 不能在定直线 l 上.若定点 F 在 定直线 l 上,则动点的轨迹为过点 F 且垂直于 l 的一条直线,因此在用抛物线 定义解决动点轨迹问题前,应首先判断定点与定直线的位置关系. 2.抛物线的标准方程 在抛物线中,记焦点 F 到准线 l 的距离为 p ,以抛物线的焦点 F 到准线 l 的垂线 段的中点为坐标原点,以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系,可以得到四种不 同形式的抛物线标准方程 y 2 = ± 2 px , x 2 = ± 2 py ,其中 p >0. 考向突破 考向一    抛物线定义的应用 例1     (2018河南豫南九校期末联考,9)若抛物线 y 2 =4 x 的准线为 l , P 是抛物线 上任意一点,则 P 到准线 l 的距离与 P 到直线3 x +4 y +7=0的距离之和的最小值 是   (　　) A.2　　　　    B.   　　　    C.   　　　　    D.3 解析 　由抛物线定义可知点 P 到准线 l 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离,由抛 物线 y 2 =4 x 及直线方程3 x +4 y +7=0可得直线与抛物线相离.∴点 P 到准线 l 的 距离与点 P 到直线3 x +4 y +7=0的距离之和的最小值为点 F (1,0)到直线3 x +4 y +7=0的距离,即   =2.故选A. 答案     A 考向二    抛物线的标准方程 例2     (2019课标Ⅲ卷地区大联考,9)已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴 上,△ ABC 三个顶点都在抛物线上,且△ ABC 的重心为抛物线的焦点,若 BC 边所在的直线方程为 x +4 y -20=0,则抛物线方程为   (　　) A. y 2 =16 x 　　　　    B. y 2 =8 x C. x 2 =16 y 　　　　    D. x 2 =8 y 解析 　由题意,设抛物线的方程为 x 2 =2 py . 由   得2 x 2 + px -20 p =0. 由 p 2 +160 p >0,得 p >0或 p <-160. 设 B ( x 1 , y 1 ), C ( x 2 , y 2 ),则 x 1 + x 2 =-   , ∴ y 1 + y 2 =   +   =10-   =10+   . 设 A ( x 3 , y 3 ),由△ ABC 的重心为 F   , 得   =0,   =   , ∴ x 3 =   , y 3 =   p -10. ∵点 A 在抛物线上, ∴   =2 p   , 解得 p =8( p =0舍去). ∴抛物线的方程为 x 2 =16 y . 答案     C 考点二    抛物线的几何性质 考向基础 1.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y 2 =2 px ( p >0) y 2 =-2 px ( p >0) x 2 =2 py ( p >0) x 2 =-2 py ( p >0) 图形           对称轴 x 轴 y 轴 顶点 O (0,0) 焦点 F   F   F   F   准线方程 x =-   x =   y =-   y =   范围 x ≥ 0, y ∈R x ≤ 0, y ∈R y ≥ 0, x ∈R y ≤ 0, x ∈R 离心率 e =1 2.抛物线的焦半径与焦点弦 抛物线上任意一点 P ( x 0 , y 0 )到焦点 F 的距离称为焦半径,过抛物线焦点的直 线与抛物线相交形成的线段称为抛物线的焦点弦.设两交点分别为 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则有以下结论: 标准方程 y 2 =2 px ( p >0) y 2 =-2 px ( p >0) x 2 =2 py ( p >0) x 2 =-2 py ( p >0) 焦半径长   + x 0   - x 0   + y 0   - y 0 焦点弦长 p +( x 1 + x 2 ) p -( x 1 + x 2 ) p +( y 1 + y 2 ) p -( y 1 + y 2 ) 考向突破 考向    抛物线的几何性质 例     (2018贵州贵阳一模,8)过点 M   作圆 x 2 + y 2 =1的切线 l , l 与 x 轴的 交点为抛物线 E : y 2 =2 px ( p >0)的焦点, l 与抛物线 E 交于 A 、 B 两点,则 AB 的中 点到抛物线 E 的准线的距离为       (　　) A.   　　　　    B.3   　　　　     C.   　　　　    D.4   解析　 过点 M   作圆 x 2 + y 2 =1的切线 l ,点 M 在圆上,可得切线的斜率 为1,故切线方程为 y +   = x -   ,即 x - y -   =0,直线与 x 轴的交点坐标为(   , 0),可得抛物线方程为 y 2 =4   x ,由   可得 x 2 -6   x +2=0,设 l 与抛物线 E 交于 A ( x 1 , y 1 )、 B ( x 2 , y 2 ),可得 x 1 + x 2 =6   ,则 AB 的中点到抛物线 E 的准线的距 离为3   +   =4   .故选D. 答案     D 考点三    直线与抛物线的位置关系 考向基础 1.点 P ( x 0 , y 0 )与抛物线 y 2 =2 px ( p >0)的位置关系 (1)点 P ( x 0 , y 0 )在抛物线内 ⇔   <2 px 0 ; (2)点 P ( x 0 , y 0 )在抛物线上 ⇔   =2 px 0 ; (3)点 P ( x 0 , y 0 )在抛物线外 ⇔   >2 px 0 . 2.直线与抛物线的位置关系 (1)设直线 l : y = kx + b ,抛物线 y 2 =2 px ( p >0),直线与抛物线交点的个数等价于方 程组   解的个数,也等价于方程 ky 2 -2 py +2 bp =0解的个数. ①当 k ≠ 0时,若 Δ >0,则直线和抛物线相交,有两个公共点;若 Δ =0,则直线和 抛物线相切,有一个公共点;若 Δ <0,则直线和抛物线相离,无公共点. ②当 k =0时,直线 y = b 与抛物线 y 2 =2 px ( p >0)相交,有一个公共点.特别地,当直 线 l 的斜率不存在时,设 l : x = m ,则当 m >0时, l 与抛物线相交,有两个公共点;当 m =0时, l 与抛物线相切,有一个公共点;当 m <0时, l 与抛物线相离,无公共点. (2)直线与抛物线相离(无交点)时,常求抛物线上的点到此直线的距离的最 小值.方法有两种,一是将距离 d 写成一个变量的函数,利用函数求之,二是利 用切线法求. (3)相切时,求切线斜率,一种方法是利用 Δ =0求,另一种方法是利用导数求. 3.焦点弦的性质 以抛物线 y 2 =2 px ( p >0)为例,设 AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦), F 是 抛物线的焦点, A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), A 、 B 在准线上的射影为 A 1 、 B 1 ,则有以下结论: (1) x 1 x 2 =   , y 1 y 2 = - p 2 ; (2)若直线 AB 的倾斜角为 θ ,且 A 位于 x 轴上方, B 位于 x 轴下方,则| AF |=   , | BF |=   ; (3)| AB |= x 1 + x 2 + p =   (其中 θ 为直线 AB 的倾斜角),抛物线的通径长为2 p , 通 径是最短的焦点弦 ; (4) S △ AOB =   (其中 θ 为直线 AB 的倾斜角); (5)   +   =   为定值; (6) 以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 ; (7) 以 AF (或 BF )为直径的圆与 y 轴相切 ; (8)以 A 1 B 1 为直径的圆与直线 AB 相切,切点为 F ,∠ A 1 FB 1 =90 ° ; (9) A , O , B 1 三点共线, B , O , A 1 三点也共线. 【知识拓展】 (1)如图所示, AB 是抛物线 x 2 =2 py ( p >0)的过焦点的一条弦(焦点弦),分别过 A , B 作抛物线的切线,交于点 P ,连接 PF ,则有以下结论:   ①点 P 的轨迹是一条直线,即抛物线的准线 l : y =-   ; ②两切线互相垂直,即 PA ⊥ PB ; ③ PF ⊥ AB ; ④点 P 的坐标为   . (2)非焦点弦性质 ①已知直线 l 与抛物线 y 2 =2 px ( p >0)交于 A 、 B 两点,若 OA ⊥ OB ,则直线 l 过定 点(2 p ,0),反之亦成立; ②已知 M ( x 0 , y 0 )是抛物线 y 2 =2 px ( p >0)上任意一点,点 N ( a ,0)是抛物线的对称 轴上一点,则| MN | min =   (3)弦中点 设 AB 为抛物线的一条弦, AB 中点为 M ( x 0 , y 0 ). ①若抛物线为 y 2 =2 px ,则 k AB =   ; ②若抛物线为 x 2 =2 py ,则 k AB =   .(其中 p ≠ 0, y 0 ≠ 0) 考向突破 考向    直线与抛物线的位置关系 例     (2017课标Ⅰ,10,5分)已知 F 为抛物线 C : y 2 =4 x 的焦点,过 F 作两条互相垂 直的直线 l 1 , l 2 ,直线 l 1 与 C 交于 A , B 两点,直线 l 2 与 C 交于 D , E 两点,则| AB |+| DE |的 最小值为   (　　) A.16　　　　    B.14　　　　    C.12　　　　    D.10 解析　 解法一:由抛物线的方程可知焦点 F 的坐标为(1,0),设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), D ( x 3 , y 3 ), E ( x 4 , y 4 ),过点 F 的直线 l 1 的方程为 x = my +1( m ≠ 0),由   得 y 2 -4 my -4=0,所以 y 1 + y 2 =4 m , y 1 y 2 =-4,所以| y 1 - y 2 |=   =4   ,所以| AB |=   | y 1 - y 2 |=4(1+ m 2 ).同理可得| DE |=4   ,因此| AB |+| DE |=4(1+ m 2 )+4   ≥ 16,当且仅当 m = ± 1时,等号成立.所以| AB |+| DE |的最小值为16,故选A. 解法二:由题意知焦点 F 的坐标为(1,0),直线 l 1 , l 2 的斜率不存在时,不合题意. 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), D ( x 3 , y 3 ), E ( x 4 , y 4 ),过 F 的直线 l 1 的方程为 y = k 1 ( x -1),直线 l 2 的方 程为 y = k 2 ( x -1),则 k 1 k 2 =-1,联立直线 l 1 的方程与抛物线方程,得   ,消去 y ,得   x 2 -2   x -4 x +   =0,所以 x 1 + x 2 =   . 同理,直线 l 2 与抛物线的交点满足 x 3 + x 4 =   . 由抛物线定义可知| AB |+| DE |= x 1 + x 2 + x 3 + x 4 +2 p =   +   +4=   +   +8 ≥ 2   +8=16, 当且仅当 k 1 =- k 2 =1或-1时,取得等号. 所以| AB |+| DE |的最小值为16,故选A. 解法三:不妨设 A 在第一象限,如图所示, 设直线 AB 的倾斜角为 θ ,过 A , B 分别 作准线的垂线,垂足为 A 1 , B 1 ,   则| AF |=| AA 1 |,| BF |=| BB 1 |,过点 F 向 AA 1 引垂线 FG ,得   =   =cos θ , 则| AF |=   ,同理,| BF |=   , 则| AB |=| AF |+| BF |=   ,即| AB |=   , 因 l 1 与 l 2 垂直,故直线 DE 的倾斜角为 θ +   或 θ -   , 则| DE |=   ,则| AB |+| DE |=   +   =   =   =   , 则易知| AB |+| DE |的最小值为16.故选A. 答案     A 方法      抛物线焦点弦问题的求解方法 (1)求抛物线的焦点弦长时,可应用公式求解,解题时,需要依据抛物线的标 准方程确定弦长是由 p 与交点横坐标确定,还是由 p 与交点纵坐标确定,进一 步还要确定是 p 与交点横(纵)坐标的和还是差,这是正确解题的关键. (2)熟练掌握与焦点弦有关的结论是快速解决与焦点弦有关的选择题和填 空题的关键. 方法技巧 例     (2018清华大学学术能力诊断,10)已知抛物线 C : y 2 =2 px ( p >0),过焦点 F 且斜率为   的直线与 C 相交于 P , Q 两点,且 P , Q 两点在准线上的射影分别为 M , N 两点,则 S △ MFN =   (　　) A.   p 2 　　　　    B.   p 2 　　　　    C.   p 2 　　　　    D.   p 2 解题导引   解析 　不妨设 P 在第一象限,过 Q 作 QR ⊥ PM ,垂足为 R ,设准线与 x 轴的交点 为 E ,∵直线 PQ 的斜率为   ,∴直线 PQ 的倾斜角为60 ° .由抛物线焦点弦的 性质可得| PQ |=| PF |+| QF |=   +   =   =   p .在Rt△ PRQ 中, sin∠ RPQ =   ,∴| QR |=| PQ |·sin∠ RPQ =   p ×   =   p ,由题意可知| MN |=| QR |=   p ,∴ S △ MNF =   | MN |·| FE |=   ×   p × p =   p 2 .故选B.   答案     B