2018-2019学年湖南省浏阳一中、醴陵一中高二12月联考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年湖南省浏阳一中、醴陵一中高二12月联考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 湖南省浏阳一中、醴陵一中2018-2019学年高二12月联考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设数列的前项和，则的值为（ ）‎ A．15 B．37 C．27 D．64‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据当时，求解即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的项与前n项和之间的关系，考查变化能力和计算能力，属于基础题．‎ ‎2．设命题，则为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 全称性命题的否定是特称性命题，所以选C.‎ ‎3．若非零向量,满足，则与的夹角为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 依题意有，由于两个向量的模相等，故上式化简得.‎ ‎4．设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直,则( )‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以选B.‎ 考点：导数几何意义 ‎【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.‎ ‎（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.‎ ‎5．等比数列中，则的值为( 　)‎ A．10 B．20 C．36 D．128‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的性质可得，然后根据对数的运算性质可得所求结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵数列为等比数列，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 在等比数列的计算问题中，除了将问题转化为基本量的运算外，还应注意等比数列下标和性质的运用，即“若，则 ‎”，用此性质进行解题可简化运算，提高运算的效率．‎ ‎6．设都是不等于1的正数，则“”是“”成立的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 又及的到实数的关系，比较后可得结论．‎ ‎【详解】‎ 由可得；‎ 由得．‎ 所以当“”成立时，“”不成立；反之，当“”成立时，“”也不成立，‎ 所以“”是“”成立的既不充分也不必要条件．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 判断条件是条件的什么条件时，一般根据定义进行求解，也可转换为条件和条件对应的集合间的关系进行求解，而对于含有否定性词语的命题，在判定时常转化为其等价命题处理，解题时要注意转化的合理性和准确性，属于基础题．‎ ‎7．若，则等于（ ）‎ A．2 B．0 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎,选D.‎ ‎8．在等差数列中，，，则数列的前项和的最大值为（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，再根据可得，，从而可得前项和的最大值为．‎ ‎【详解】‎ ‎∵等差数列中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，，即数列的前15项为正值，从第16项开始为负值．‎ ‎∴数列的前项和的最大值为．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 求等差数列前n项和最大值的方法：‎ ‎（1）根据题意求出前项和的表达式，然后根据二次函数的知识求解；‎ ‎（2）根据题意求出等差数列中正负项的分界点，根据正项和负项的位置进行判断，即在等差数列中，若，则前项和有最大值；若若，则前项和有最小值．‎ ‎9．双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，将用、和表示出来，然后再根据双曲线的定义求解即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 如图，设内切圆的半径为．‎ 由得，‎ 整理得．‎ 因为P为双曲线右支上一点，‎ 所以，，‎ 所以．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题以焦点三角形的内切圆和三角形的面积为载体考查双曲线的定义，解题的关键在于转化，注意将条件中给出的三角形的面积用线段长度表示出来，然后再用定义求解，属于基础题．‎ ‎10．如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为 ‎ ‎ A． B．7 C． D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如下图，作连CE,所以ABDE为矩形，，AB=DE=4，,,选C.‎ ‎11．在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为( )．‎ A．4 B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，然后转化为椭圆上的点到点的距离的问题处理，根据二次函数的最值可得所求．‎ ‎【详解】‎ 由题意得．‎ 设椭圆上一点，则，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴当时，取得最小值．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 解答圆锥曲线中的最值问题时，可将所求的最值表示成某一参数的表达式，然后再根据不等式或函数的知识求解，由于解题中要涉及到复杂的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，适当运用换元等方法进行求解．‎ ‎12．函数的图象关于直线对称，当时，成立，若，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的图象关于直线对称可得函数的图象关于直线对称，即函数为偶函数．再根据题意构造函数，则为偶函数，且，故在上单调递减．最后通过比较到y轴距离的大小可得的大小关系．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数的图象关于直线对称，‎ ‎∴函数的图象关于直线对称，即函数为偶函数．‎ 设，则为偶函数，‎ 又当时，，‎ ‎∴在上单调递减．‎ 又，‎ ‎∴，即．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题综合考查函数性质和导数求导法则的应用，解题的关键是根据题意构造函数，然后根据此函数的奇偶性和单调性将比较函数值大小的问题，转化为比较自变量大小的问题．考查转化思想方法的运用和计算能力，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设等差数列的前项和为，若，则 ________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，然后根据等差数列的通项公式可得 ‎ ‎，即为所求．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，‎ 则，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 故答案为24．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列中基本量的运算，解题的关键在于将问题转化为和进行处理，属于基础题．‎ ‎14．已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得,因此的面积为 考点：抛物线定义 ‎【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．‎ ‎2．若P（x0，y0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎15．若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分离参数可得不等式对任意恒成立，设，求出函数在上的最小值后可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵关于的不等式对任意恒成立，‎ ‎∴对任意恒成立．‎ 设，则，‎ ‎∴当时，单调递减；当时，单调递增．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 解答不等式在某区间上的恒成立问题时，常用的方法是分离参数法，即通过参数的分离，把不等式化为一边只含有参数、另一边只含有变量的形式，然后通过构造函数并求出函数的最值后可得所求．解题中常用到以下结论：恒成立或恒成立，当函数的最值不存在时，可利用函数值域的端点值来代替．‎ ‎16．已知M是内的一点（不含边界），且，，若 和的面积分别为则的最小值是______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得的面积为1，故得，将所求式子变形得到 ‎，最后再利用基本不等式求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意得在中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴‎ ‎，当且仅当，即时等号成立，‎ ‎∴的最小值为9．‎ 故答案为9．‎ ‎【点睛】‎ 用基本不等式求最值时关键是得到能使用不等式的形式，为此往往需要对求值的式子进行变形，使之出现定值的形式．对于含有三个参数的式子，要根据条件化为含有两个参数的情况处理，另外，在应用不等式求最值时一定要注意等号成立的条件，这点在解题中容易忽视．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式得到条件对应的的集合，分别设为．由是的必要不充分条件可得是的必要不充分条件，从而得到Ü，进而得到关于的不等式组，解不等式组可得所求范围．‎ ‎【详解】‎ 由得，解得，‎ 设．‎ 由得，解得，‎ 设． ‎ ‎∵是的必要不充分条件，‎ ‎∴是的必要不充分条件，‎ ‎∴Ü，即Ü，‎ ‎∴，解得.‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 利用充要条件求参数的值或范围，关键在于合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．对于含有否定性词语的命题，一般要转化为它的等价命题求解．‎ ‎18．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．‎ ‎(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？‎ ‎(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)‎ ‎【答案】(1)3.‎ ‎(2)5.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）求出第年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；‎ ‎（2）利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设大货车运输到第年年底，该车运输累计收入与总支出的差为万元，‎ 则 由,可得 ‎∵，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；‎ ‎（2）∵利润=累计收入+销售收入−总支出，‎ ‎∴二手车出售后,小张的年平均利润为，‎ 当且仅当时，等号成立 ‎∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大。‎ 考点：根据实际问题选择函数类型, 基本不等式 ‎19．已知等差数列的首项，公差，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．‎ ‎(1) 求数列的通项公式；‎ ‎(2) 设，是否存在，使得对任意的均有总成立？若存在，求出最大的整数；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，且的最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意求出等差数列的公差，于是可得通项公式；（2）由（1）得到，然后根据裂项相消法求出，进而通过的单调性得到其最小值，解不等式可得的范围，从而可得所求最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，‎ 整理得，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴. ‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴‎ ‎． ‎ 又 ‎∴数列单调递增．‎ ‎∴．‎ 假设存在整数满足总成立，‎ 则，解得.‎ 又，‎ ‎∴‎ ‎∴适合条件的的最大值为8．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）求数列的和时，要根据数列通项公式的特点选择相应的方法．用裂项相消法求数列的和时，要注意相消后的结果具有前后对称的特点，即相消后前面剩几项后面就剩几项，前面剩第几项后面就剩第几项．‎ ‎（2）对于数列中的恒成立问题，求解时仍需要转化为数列的最值的问题求解，在解题中往往需要根据数列的单调性求出数列的最值．‎ ‎20．如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）线段上是否存在点使得⊥平面，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证线面平行，则要在平面找一线与之平行即可，显然分析即得证，（2）求二面角可借助空间直角坐标系将两个平面的法向量一一求出，再根据向量的数量积公式便可求解（3）存在问题可以根据结论反推即可，容易得因为，所以与不垂直，故不存在 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为，且，，所以，‎ 所以.‎ 因为为正三角形，所以，‎ 又由已知可知为平面四边形，所以.‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）由点在平面上的射影为可得平面，‎ 所以，.‎ 以分别为建立空间直角坐标系，则由已知可知，，，.‎ 平面的法向量，‎ 设为平面的一个法向量，则 由可得 令，则，所以平面的一个法向量，‎ 所以，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，，‎ 因为，‎ 所以与不垂直，‎ 所以在线段上不存在点使得⊥平面.‎ 点睛：对于立体几何问题，首先要明确线面平行，线面垂直，以及二面角的定义和判定定理，而对于二面角问题我们通常首选建立坐标系用向量来解题，但在写坐标时要求其注意坐标的准确性 ‎21．已知椭圆：（）经过点，离心率为，点为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆的左焦点任作一直线，交椭圆于，两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意利用待定系数法可得椭圆的标准方程是.‎ ‎(2)当直线的斜率不存在时；当直线的斜率存在时，联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系和平面向量数量积的坐标运算可得 ‎，据此可得的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，所以，‎ 从而，椭圆的方程为.‎ ‎（2），当直线的斜率不存在时，可得，，‎ 此时；‎ 当直线的斜率存在时，设：,,,‎ 联立与，可得，‎ 所以，，‎ ‎ ，‎ 所以 ‎ ‎，‎ 因为，，所以，从而，‎ 综上可得的取值范围是.‎ ‎22．已知函数，，其中.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设函数，当时，若，，总有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，然后根据导函数的符号判断出函数的单调性．（2）由题意可得问题等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”．所以分别求出函数在上的最大值和函数在上的最大值，根据题意建立不等式组，解不等式组可得所求结果．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵，‎ ‎∴．‎ ‎①当时，，此时在上单调递增；‎ ‎②当时，‎ 若，则单调递减；若，则单调递增．‎ 综上可得，当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎（2）当时，，‎ ‎∴， ‎ ‎∴当时，单调递增；当时，单调递减． ‎ ‎∴当时，．‎ 又在上的最大值为中的较大者．‎ 由题意得“，，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”， ‎ ‎∴，即，解得．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 对于双变量的恒成立、能成立的不等式问题，在求解的过程中要转化为两个函数的最值问题求解，解题时特别需要注意存在性和任意性的顺序和不等号的方向，常用到以下结论：‎ ‎① ； ‎ ‎② ；‎ ‎③ ； ‎ ‎ ④ ．‎