高考数学复习专题模拟：第四章 三角函数及三角恒等变换 第一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式
【数学】2013版《6年高考4年模拟》
第四章 三角函数及三角恒等变换
第一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式
第一部分 六年高考荟萃
2013年高考题
．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知,则
A. B. C. D.
答案：C
因为，又sin2α+cos2α=1，
联立解得，或
故tanα==，或tanα=3，
代入可得tan2α===﹣，
或tan2α=== 故选C
．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）） ( )
A. B. C. D.
答案：C
【命题立意】本题考查两角和差的正弦公式以及倍角公式。
，选C.
．（2013年高考新课标1（理））设当时,函数取得最大值,则______
答案：.
f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），
因为x=θ时，函数f（x）取得最大值，
所以sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，
又sin2θ+cos2θ=1，联立解得cosθ=﹣．
．（2013年高考四川卷（理））设,,则的值是_________.
答案：
因为sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），
所以cosα=﹣，sinα==，
所以tanα=﹣，
则tan2α===．
．（2013年高考上海卷（理））若,则
答案：.
【解答】，，故．
．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知是第三象限角,,则____________.
答案：
由α是第三象限的角，得到cosα＜0，
又sinα=﹣，所以cosα=﹣=﹣
则cotα==2
．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））设为第二象限角,若,则________.
答案：
因为tan（θ+）==，所以tanθ=﹣，
因为θ为第二象限角，所以cosθ=﹣=﹣，sinθ==，
则sinθ+cosθ=﹣=﹣．
2012年高考题
1.[2012·湖北卷] 函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为( )
A．4 B．5C．6 D．7
答案：C [解析] 令f(x)＝0，得x＝0或cosx2＝0，由x∈，得x2∈.因为cos＝0，故方程cosx2＝0中x2的解只能取x2＝，，，，∈.所以零点个数为6.故选C.
2.[2012·辽宁卷] 已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝( )
A．－1 B．－ C. D．1
答案：A [解析]
本小题主要考查同角三角函数基本关系的应用．解题的突破口为灵活应用同角三角函数基本关系．∵sinα－cosα＝⇒2＝2⇒1－2sinαcosα＝2⇒sinαcosα＝－⇒＝－⇒＝－⇒tanα＝－1.故答案选A.
C5 两角和与差的正弦、余弦、正切
3.[2012·重庆卷] 设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案：A [解析] 因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
4.[2012·安徽卷] 在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是( )
A．(－7，－) B．(－7，) C．(－4，－2) D．(－4，2)
答案：A [解析] 本题考查三角函数的和角公式，点的坐标．
设∠POx＝α，因为P，所以＝(10cosα，10sinα)⇒cosα＝，sinα＝，
则＝＝(－7，－)．故答案为A.
5.[2012·全国卷] 已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝( )
A．－ B．－ C. D.
答案：A [解析] 本小题主要考查三角函数中和角公式与二倍角公式的运用，解题的突破口为原式两边平方后转化为二倍角结构及任何情况下均要考虑“符号看象限”．
由sinα＋cosα＝及α为第二象限角有2kπ＋<α<2kπ＋(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋(k∈Z)．原式两边平方得2sinαcosα＝sin2α＝－，∴cos2α＝－，故选A.
6.[2012·山东卷] 若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝( )A. B. C. D.
答案：D [解析] 本题考查三角函数的二倍角公式，考查运算求解能力，中档题．
法一：∵θ∈，sin2θ＝，∴cos2θ＝－＝1－2sin2θ，解之得sinθ＝.
法二：联立解之得sinθ＝.
7.[2012·湖南卷] 函数f(x)＝sinx－cos的值域为( )
A．[－2,2] B．[－，] C．[－1,1] D.
答案：B [解析] 考查三角函数化简求值，关键是三角函数的化简，三角公式的识记．
函数f(x)＝sinx－cos＝sinx－cosx＝sin，所以函数f(x)＝sinx－cos的值域为[－
，]，故选B.
8.[2012·江西卷] 若tanθ＋＝4，则sin2θ＝( )A. B. C. D.
答案：D [解析] 考查同角三角函数的关系、二倍角公式，以及“1”的代换及弦切互化等方法．解题的突破口是通过“1”的代换，将整式转化为齐次分式，再通过同除以cosθ达到化切目的．∵tanθ＋＝＝4，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝，故选D.
9.[2012·重庆卷] 设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案：A [解析] 因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
10.[2012·重庆卷] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.
答案： [解析] 因为cosA＝，cosB＝，所以sinA＝，sinB＝，因为sinC＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝，由正弦定理知＝，即＝，解得c＝.
11.[2012·四川卷] 如图所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝( )
A. B. C. D.
答案：B [解析] 法一：由已知，∠CED＝∠BED－∠BEC＝45°－∠BEC，
而结合图形可知tan∠BEC＝，∴tan∠CED＝tan(45°－∠BEC)＝＝，
∴sin∠CED＝.
法二：由已知，利用勾股定理可得DE＝，CE＝，又CD＝1，
利用余弦定理得：cos∠CED＝＝，∴sin∠CED＝.
法三：同法二，得DE＝，CE＝，又CD＝1，有S△CED＝CD·AD＝，
又S△CED＝CE·EDsin∠CED＝sin∠CED，对比得sin∠CED＝.
12.[2012·上海卷] 在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
答案：C [解析]
考查正弦定理和判断三角形的形状，考查考生的转化思想，关键是利用正弦定理，把角转化边，再利用边之间的关系，判断三角形的形状．由正弦定理可把不等式转化为a2＋b2
c2，则C<；②若a＋b>2c，则C<；③若a3＋b3＝c3，则C<；
④若(a＋b)c<2ab，则C>；⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>.
答案：①②③ [解析] 本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等．对于①，由c2＝a2＋b2－2abcosC＝＋≥2，则cosC>，因为03即8cosC＋2>3≥6，则cosC>，因为0＋≥，可得>c，所以ab>c2，因为a2＋b2≥2ab>ab>c2，所以C<，④错误；对于⑤，c2<2a2b2可变为＋<，即>，所以c2≥，所以C<，故⑤错误．故答案为①②③.
21.[2012·福建卷] 已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．
答案：－ [解析] 根据题意设三角形的三边分别是：a、a、a，最大角所对的边是a，根据大边对大角定理结合余弦定理得：cosα＝＝－，所以最大角的余弦值是－.
22.[2012·福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：解法一：
(1)选择(2)式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
解法二：
(1)同解法一．
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α
＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)＝1－cos2α－＋cos2α＝.
23.[2012·重庆卷] 设f(x)＝4cossinωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.
(1)求函数y＝f(x)的值域；(2)若f(x)在区间上为增函数，求ω的最大值．
解：(1)f(x)＝4sinωx＋cos2ωx＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx
＝sin2ωx＋1.因－1≤sin2ωx≤1，所以函数y＝f(x)的值域为[1－，1＋]．
(2)因y＝sinx在每个闭区间(k∈Z)上为增函数，故f(x)＝sin2ωx＋1(ω＞0)在每个闭区间(k∈Z)上为增函数．
依题意知⊆对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，于是
解得ω≤，故ω的最大值为.
24.[2012·课标全国卷] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
解：(1)由acosC＋asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.
因为B＝π－A－C，所以sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.
由于sinC≠0，所以sin＝.又00，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
解：(1)由＝10π得ω＝.(2)∵－＝f＝2cos＝2cos＝－2sinα，＝f＝2cos＝2cosβ，∴sinα＝，cosβ＝.
∵α，β∈，∴cosα＝＝＝，
sinβ＝＝＝.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.
27.[2012·安徽卷] 设函数f(x)＝cos2x＋＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)．求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．
解：(1)f(x)＝cos＋sin2x＝＋＝－sin2x.
故f(x)的最小正周期为π.
(2)当x∈时，g(x)＝－f(x)＝sin2x，故①当x∈时，x＋∈.由于对任意x∈R，g＝g(x)，从而g(x)＝g＝sin＝sin(π＋2x)＝－sin2x.
②当x∈时，x＋π∈，从而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin2x.
综合①②得g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝
28.[2012·北京卷] 已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)＝＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝sin－1，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sinx的单调递增区间为(k∈Z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为和(k∈Z)．
29.[2012·福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：解法一：(1)选择(2)式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
解法二：
(1)同解法一．
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)＝1－cos2α－＋cos2α＝.
30.[2012·安徽卷] 设函数f(x)＝cos2x＋＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)．求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．
解：(1)f(x)＝cos＋sin2x＝＋＝－sin2x.
故f(x)的最小正周期为π.
(2)当x∈时，g(x)＝－f(x)＝sin2x，故
①当x∈时，x＋∈.由于对任意x∈R，g＝g(x)，从而
g(x)＝g＝sin＝sin(π＋2x)＝－sin2x.
②当x∈时，x＋π∈，从而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin2x.
综合①②得g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝
31.[2012·湖北卷] 已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ
＝2sin＋λ.
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－.故f(x)＝2sin－，由0≤x≤，有－≤x－≤，
所以－≤sin≤1，得－1－≤2sinx－－≤2－.
故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．
32.[2012·安徽卷] 设函数f(x)＝cos2x＋＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)．求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．
解：(1)f(x)＝cos＋sin2x＝＋＝－sin2x.
故f(x)的最小正周期为π.
(2)当x∈时，g(x)＝－f(x)＝sin2x，故
①当x∈时，x＋∈.由于对任意x∈R，g＝g(x)，从而
g(x)＝g＝sin＝sin(π＋2x)＝－sin2x.
②当x∈时，x＋π∈，从而
g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin2x.
综合①②得g(x)在[－π，0]上的解析式为
g(x)＝
33.[2012·湖北卷] 已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ
＝2sin＋λ.
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－.故f(x)＝2sin－，由0≤x≤，有－≤x－≤，
所以－≤sin≤1，得－1－≤2sinx－－≤2－.
故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．
34.[2012·江西卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a.(1)求证：B－C＝；(2)若a＝，求△ABC的面积．
解：(1)证明：由bsin－csin＝a，应用正弦定理，得sinBsin－sinCsin＝sinA，sinB－sinC＝.
整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1，
由于0
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