浙江省杭州建人高复2020届高三下学期4月模拟测试 数学

浙江省杭州建人高复2020届高三下学期4月模拟测试 数学

杭州建人高复2020届第二学期模拟测试数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥，那么 柱体的体积公式 ‎； ‎ 如果事件相互独立，那么 椎体的体积公式 ‎ ； ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 球的表面积公式 次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率 ‎ ‎(k = 0,1,…,n). 球的体积公式 台体的体积公式 ‎ 选择题部分（共40分）‎ 一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1、已知全集，集合，，则（）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、已知是虚数单位，，则“”是“”的（）‎ A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）‎ ‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎4、如果正数满足，那么（　　）‎ A. ，且等号成立时的取值唯一 B. ，且等号成立时的取值唯一 C. ，且等号成立时的取值不唯一 D. ，且等号成立时的取值不唯一 ‎5、设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）[来源:学科网]‎ A． B． C． D．[来源:‎ ‎6、已知实数,满足则的最小值是 ‎ A.5－ B.4－ C.－1 D.5 ‎7、定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，‎ 令⊙ 下面说法错误的是 ‎ A. 若与共线，则⊙ ‎ B. ⊙⊙‎ ‎ C. 对任意的⊙⊙ ‎ D. ⊙‎ ‎8、对于给定正数，定义，设，对任意和任意恒有，则( )‎ A．的最大值为2 B．的最小值为2 C．的最大值为1 D．的最小值为1‎ ‎9、如图，点在正方体的表面上运动，且到直线与直线 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点的轨迹在展开图中的形状是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10、设函数的最大值为，最小值为，则（）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ 非选择题部分（共110分）‎ 二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.‎ ‎11、已知，若，则______；‎ ‎12、已知方程，若该方程表示椭圆方程，则的取值范围是_______;‎ ‎13、已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为______；展开式中系数最大的项为______．‎ ‎14、将字母放入的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______； 若共有行字母相同，则得k分，则所得分数的数学期望为______；‎ ‎（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1,3行字母不同，该情况下）‎ a b c ‎ c a b ‎15 、已知正四面体和平面，，正四面体绕边旋转，当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为______‎ ‎16、双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于两点， 且，延长交双曲线右支于点，若，则该双曲线的离心率为_________‎ ‎17、已知都是单位向量，且，则的最小值为_____;最大值为________‎ 三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎18.（本小题14分）在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ．‎ Ⅰ 求角 的大小；‎ Ⅱ 求 的取值范围．‎ ‎19. （本小题15分）‎ 如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎20. （本小题15分）‎ 已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且 ‎（1）求{}的通项公式；‎ ‎（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：‎ ‎21. （本小题15分）‎ 已知是抛物线上位于轴两侧的不同两点 ‎（1）若在直线上，且使得以为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积。‎ ‎（2）求过、的切线与直线围成的三角形面积的最小值；‎ ‎22. （本小题15分）‎ 已知函数其函数图像与轴交于，且 ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）若也在图像上，且为正三角形，记，求的值 数学答案 选择题 AACAC ABBBD ‎11、，‎ ‎12、‎ ‎13、10，‎ ‎14、，（填0.6也对）‎ ‎15、‎ ‎16、‎ ‎17、，‎ ‎18、在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ．‎ Ⅰ 求角 的大小；‎ Ⅱ 求 的取值范围．‎ ‎（1）由题意 ‎（2）‎ ‎19、如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ 易得,所以，因此,从而得 ‎（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 易得B（0,0,0），A(0，-1，),D(,-1,0)，C(0,2,0),因而,所以，因此,从而，所以.‎ ‎20、已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且 ‎（1）求{}的通项公式；‎ ‎（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：‎ 解析：（1）由，因此 由 得，又，得 从而{}是首项为2公差为3的等差数列，故{}的通项公式为 ‎（2）由可得，从而 ‎=‎ 于是 ‎21、已知是抛物线上位于轴两侧的不同两点 ‎（1）若在直线上，且使得以为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积。‎ ‎（2）求过、的切线与直线围成的三角形面积的最小值；‎ ‎【解析】（1）设直线 联立直线与抛物线方程得：‎ 易得：‎ 直线与之间的距离为 令，可得 所以该正方形的边长为或 面积为或；‎ ‎（2）设，（由对称性不妨设）‎ 则处的切线方程为：，与直线交点记为M，则 则处的切线方程为：，与直线交点记为N，则 两条切线交点P ‎ 于是 当时取到等号 所以该三角形面积的最小值为 ‎22、已知函数其函数图像与轴交于，且 ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）若也在图像上，且为正三角形，记，求的值 ‎【解析】（1）‎ 若，则，函数在上单调递增，这与题设矛盾；‎ 易知在上单调递减，在上单调递增 且 ‎（2）先证：‎ 由于，又在上单调递增 所以欲证：‎ 只需证：‎ 只需证：‎ 由于 只需证：‎ 只需证：‎ 构造：，‎ 在上单调递增，又 所以当， ‎ 于是 综上可得：‎ 所以，‎ 所以 ‎（3）由 由为正三角形且也在图像上可知：‎ 即 即 两边同除以有： ‎ 即 由于，所以 于是：‎ 整理可得：‎ 所以