【推荐】专题2-9 函数模型及其综合应用-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学
【真题回放】
1．【2017课标3文3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是 （ ）
A．月接待游客逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【考点解读】本题考查了函数的图象的具体运用，体会函数图像的实际应用。为基础题。
2.【2017北京高考文8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033 （B）1053
（C）1073 （D）1093
【答案】D
【解析】设 ，两边取对数，，
所以，即最接近，故选D.
【考点解读】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算，
及指数与对数运算的关系，难点是时，两边取对数，对数运算公式包含
，，.
3.【2017江苏高考文10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是
【答案】30
当
【考点解读】本题综合考查了函数建模能力，解法上即可运用基本不等式求解，也可运用导数求得最小值。
考点分析
考点
了解A
掌握B
灵活运用C
函数模型的应用
B
函数模型及其综合应用函数，体现了数学抽象和数学建模两种核心素养。这部分内容要求学生掌握常见的指数函数、对数函数、幂函数等函数模型，并体会函数模型在生活中的具体运用。解决问题中要培养学生针对问题建立数学模型，再运用数学知识求解模型，提升应用能力。
融会贯通
题型一 一次函数、二次函数模型
典例1. （1）(2017宝鸡一中高一期末) 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A．10元 B．20元 C．30元 D.元
【答案】A
【解析】设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的解析式为s＝k2t，当t＝100时，
100k1＋20＝100k2，所以k2－k1＝，当t＝150时，150k2－150k1－20＝150×(k2－k1)－20＝10.
（2）（2017年黑龙江佳木斯一中高一月考）将进货单价为40元的商品按60元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得最大利润，售价应定为（ ）
A.每个70元 B.每个85元 C.每个80元 D.每个75元
【答案】A
（3）（2017湖北襄阳高三模拟）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某测观点的车辆数，单位：辆/小时)
f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
【答案】（1）见解析；（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大3333辆/小时．
【解析】(1)由题意：当0≤x≤20时，v (x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
再由已知得解得
故函数v(x)的表达式为
解题技巧与方法总结
一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略
解决此类问题应注意三点：
（1）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，
否则极易出错．
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．
(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
【变式训练】
（1） (2017锦州高一期末)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为( )
【答案】 B
【解析】 由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.
（2）（2017北京大兴一模）国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )
A．2 800元 B．3 000元
C．3 800元 D．3 818元
【答案】 C
【解析】设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，
得y＝如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，∴稿费应在800～4 000元之间，∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3 800.
（3）（2017兰州模拟）星光机械生产厂每生产某产品（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入（万元）满足，假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：
(Ⅰ)写出利润函数的解析式（注：利润=销售收入-总成本）；
(Ⅱ)试问该工厂生产多少台产品时，可使盈利最多?
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)工厂生产400台时，可使赢利最大为万元
知识链接：
知识点1 . 几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b (k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
题型二 指数与对数函数模型
典例2. （1） (2017模拟银川一中高一期末)
当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】C
【解析】设死亡生物体内原有碳14含量为1，则经过n个半衰期后的含量为，由
得： ，故选C
（2）（2017哈尔滨模拟）抽气机每次抽出容器内空气的50%，则至少要抽__________次才能使容器内剩下的空气少于原来的0.1%．（参考数据：）
【答案】10
(3)（2017兰州模拟）已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t(单位：min)的变化规律是
θ＝m·2t＋21－(t≥0且m>0)．
①如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5 ℃；
②若物体的温度总不低于2 ℃，求m的取值范围．
【答案】① 经过1 min ② .
【解析】①若m＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2，当θ＝5时，2t＋＝，
令2t＝x≥1，则x＋＝，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝(舍去)，
∴2t＝2，即t＝1，∴经过1 min，物体的温度为5 ℃.
② 物体的温度总不低于2 ℃，即θ≥2恒成立，即m·2t＋≥2恒成立，
亦即m≥2恒成立．令＝x，则0
1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
①该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
②当x>0时，x＝时取最小值2，当x<0时，x＝－时取最大值－2.
2．必知联系
关注实际问题的自变量的取值范围，分清与函数定义域的区别与联系，合理确定函数的定义域．
课本典例解析与变式
例1.【必修1第九十五页例1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？
(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量。哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案，如下表：运用计算机可做出函数图像
答：从每天的回报量来看：第1-4天，方案一最多： 每5-8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；投资1-6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或二种投资方案；投资8-10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。
【原题解读】题中给出了一个现实情境，需要根据题意建立对应的函数模型，并通过对三种函数增长情况的比较（比较采用了表格，函数图象），从而做出合理的决定。同时让我们感受到三种函数，常函数，一次函数和指数型函数增长快慢差异明显。体会到数学的应用价值。
变式1. (2017届宁夏银川一中期末)某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式，这三种领奖方式如下：方式一：每天到该商场领取奖品，价值为40元；方式二：第一天领取的奖品的价值为10元，以后每天比前一天多10元；方式三：第一天领取的奖品的价值为0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。若商场的奖品总价值不超过600元，则促销奖的领奖活动最长设置为几天？在领奖活动最长的情况下，你认为哪种领奖方式让领奖者受益更多？
【答案】促销奖的领奖活动最长可设置10天，在这10天内选择方式二会让领奖者受益更多.
答：促销奖的领奖活动最长可设置10天，在这10天内选择方式二会让领奖者受益更多.
变式2. (2016福州外国语学校高一期末)国庆黄金周及其前后是旅游旺季.某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入与这20天中的第天的部分数据如下表：
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述与的变化关系：，
，，，并求出该函数的解析式；
（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入.
【答案】（1），；（2）或时，取得最大值万元．
变式3. (2016兰州模拟)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收
益是多少万元？
【答案】（1）；（2）即时，收益最大3 万元．
【解析】（1）设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为；
由已知得；，所以
（2）设投资债券产品为万元，则投资股票类产品为万元，
依题意得；
令；则；
所以当，即时，收益最大3 万元。
【课本回眸反思】
1. 注重运用概念思考解决教材中的例题。例题常常是高考题目生成和变化的源头；
2. 在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；
3． 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。
练习检测
1．(2017汕头一中高一期末)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2 x
【答案】 D
考点：函数模型及其应用.
2.（2017北京昌平区一模）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【解析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．
考点：函数图像及其应用.
3.（2017江西省南昌高三一模）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱.
A. 28 B. 32 C. 56 D. 70
【答案】B
【解析】设甲乙丙各有x,y,z钱，则有x+y2+z2=90,x2+y+z2=70,x2+y2+z=56, 解得x=72,y=32,z=4，选B.
考点：函数模型及其应用.
4.（2017甘肃高台县一中月考）一批价值万元的设备由于使用时磨损，每年比上一年的价值降低，则年后，这批设备的价值为（ ）
A．万元 B．万元
C．万元 D．万元
【答案】D
考点：函数模型及其应用.
5.（2017湖北省重点高中联考高一期末）某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
考点：二次函数模型及其应用.
6.（2017四川成都六校协作体模拟）制作一个面积为，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济（够用，又耗材最少）的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设一条直角边为x，则另一条直角边是，斜边长为，故周长l=x++
≥2+≈4.82当且仅当x=时等号成立，故较经济的（既够用又耗材量少）是5m
考点：函数模型，基本不等式
7.（2017四川南充一中高一期末）某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
【答案】 24
【解析】 由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln 192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k
＝1 92(e11k)2，∴e11k＝设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×3＝24.
考点：指数型函数模型及其应用
8．(2017宁波模拟)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元的水费收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为_______ m3
【答案】 13
【解析】设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝
则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.
考点：分段函数模型及其应用
9．(2017北京大兴一模)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为_______分钟
【答案】3.75
考点：二次函数数模型及其应用
10.（2017东北师大附中高一期末）国际视力表值（又叫小数视力值，用表示，范围是）和我国现行视力表值（又叫对数视力值，由繆天容创立，用表示，范围是）的换算关系式为.
（1）请根据此关系式将下面视力对照表补充完整.
1.5
②
0.4
④
①
5.0
③
4.0
（2）甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的小数视力值的2倍，求乙的对数视力值.（所求值均精确到小数点后面一位数字，参考数据：，）
【答案】（1）对照表见解析； （2）.
考点：对数应用问题.
11.（2016长沙模拟）研究表明：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2010年、2011年、2012年大气中的CO2浓度分别比2009年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位．若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的可比单位数与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋
r(其中p，q，r为常数)或函数g(x)＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，且又知2014年大气中的CO2浓度比2009年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？
【答案】选f(x)＝x2＋x作为模拟函数较好．
【解析】：若以f(x)＝px2＋qx＋r作模拟函数，则依题意得：
解得p＝，q＝，r＝0，所以f(x)＝x2＋x.
若以g(x)＝a·bx＋c作模拟函数，则
解得a＝，b＝，c＝－3. 所以g(x)＝·－3.
利用f(x)，g(x)对2014年的CO2浓度作估算，则其数值分别为：f(5)＝15可比单位，g(5)＝17.25
可比单位，∵|f(5)－16|＜|g(5)－16|，故选f(x)＝x2＋x作为模拟函数较好．
考点：函数模型及应用.
12.（2017北京石景山区高一期末）某机床厂2011年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用．计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元；该机床使用后，每年的总收入为50万元．
设使用年后数控机床的盈利额为万元．
（Ⅰ）写出与之间的函数关系式；
（Ⅱ）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
方案一：当年平均盈利额达到最大值时，以万元价格处理该机床；
方案二：当盈利额达到最大值时，以万元价格处理该机床；
请你研究一下哪种方案处理较为合理？并说明理由．
【答案】（1）（） （2）方案一
考点：二次函数模型及基本不等式在最值问题中的应用
13.（2017湖南师范大学附属中学高一期末）今年入秋以来, 某市多有雾霾天气, 空气污染较为严重. 市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与时刻 (时)的函数关系为:, 其中为空气治理调节参数，且.
（1）若,求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
（2）規定每天中的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过,
则调节参数应控制在什么范围内？
【答案】（1）点； （2）.
考点：函数模型及其应用
14.（2016衡水金卷）有一个湖泊受污染,其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合．用，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），表示湖水污染初始质量分数．
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；
（2）分析时，湖水的污染程度如何．
【答案】（1）；（2）湖水污染越来越严重．
【解析】
考点：函数模型及其应用
